1999年全国初中数学竞赛试卷(含答案)

一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里）

1、一个凸n边形的内角和小于1999，那么n的最大值是（ ）

A、11 B、12 C、13 D、14

2、某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费。已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（ ）

A、60元 B、66元 C、75元 D、78元 3、已知A、

11|a|1，那么代数式|a|的值为（ ） aa55 B、 C、5 D、5 224、在ABC中，D是边BC上的一点，已知AC5，AD6，BD10，CD5，那么ABC的面积是（ ）

A、30 B、36 C、72 D、125 5、如果抛物线yx2k1xk1与x轴的交点为A，B，项点为C，那么ABC的面积的最小值是（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

6、在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得PCD与BCD的面积相等，并且

ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（ ）

A、2 B、3 C、4 D、5 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

117、已知x，y，那么x2y2的值为 ．

32328、如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB10cm，点P在边DC上运动，EP与AB的交点为F．设DPxcm，EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是 （0x10）

E

F B 图 1

C

O 图 2

A

D P

C A x y D

9、已知ab0，a2ab2b20，那么

2ab的值为 ． 2ab10、如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第Ⅰ象限内，OA

与x轴的夹角为30，那么点B的坐标是 ．

11、设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是 ．

图 3

图 4

图 5

12、江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等。如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完。如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台。

三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）

13、设实数s，t分别满足19s299s10，t299t190，并且st1，求值。

2

st4s1的t14、如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，ABBD，且PC0.6，求四边形ABCD的周长。

1999年全国初中数赛试题及详解——第 3 页 共 6 页

B A C

O P D 图 6

15、有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，

3223481030． 30可以这样得到：1（1）（10分）证明：可以得到22；

（2）（10分）证明：可以得到21002972．

4

1999年全国初中数学竞赛试卷参

一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里）

1、C 2、B 3、D 4、B 5、A 6、D 二、填空题

7、10 8、y5x50 9、三、解答题 13、解：∵s0

11∴第一个等式可以变形为：99190

ss2131351 11、 12、6 或 10、，32393又∵st1

1∴，t是一元二次方程x299x190的两个不同的实根，于是，有 s11t99，t19 ss即st199s，t19s ∴

st4s199s4s5 t19s14、解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H． ∵ABBD，O是圆心 ∴BHAD 又∵ADC90 ∴BH//CD 从而OPB∽CPD

A O H 图 6

P D C B CDCPCD0.6，即 BOPO1.51.50.6∴CD1

于是ADAC2CD29122 又OH11C，于是 22ABAH2BH2246，BCAC2AB2965 所以，四边形ABCD的周长为12236．

222222248102022 15、证明：（1）122222220108421 也可以倒过来考虑：22222322481122 或者11999年全国初中数赛试题及详解——第 5 页 共 6 页

222222324322322432223234 （2）123323232不短乘以2，再加23296-43296-1299296-3299296-1221002972

或倒过来考虑：

2233221002972299296129929633296132964 222232962329543294232944（不断地除以2，再减去2）

323-222

2222021028242221

注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分。

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