七年级数学平行线的有关证明及答案

练习题

温故而知新： 1.平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补. 2.平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行； （2）内错角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行互补. 例1已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数； （2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系． 解析： 在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补. 例2如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2. 解析：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系. 例3（1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明． 解析：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化. 例4如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？ 解析：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答. 举一反三： 1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（） A.60°B.72°C.90°D.100° 2.已知如图所示，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数. 3.已知：如图2-10，AB∥EF，BC∥ED，AB，DE交于点G． 求证：∠B=∠E． 例4如图2-6，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立，并说明理由． 解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因. 5.如图1-7，已知直线l1l2，且l3和l1、l2分别交于A、两点，点P在AB上，l4和l1、l2分别交于C、D两点，连接PC、PD。 （1） 试求出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由。 （2） 如果点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化。 （3） 如果点P在AB两点的外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B不重合） 6.如图2-11，CD平分∠ACB，DE∥AC，EF∥CD，EF平分∠DEB吗？请说明理由． 7.如图1-12，CD∥EF,∠1+∠2=∠ABC, 求证：AB∥GF 8.如图2-13，已知AB∥CD，∠ECD=125°，∠BEC=20°，求∠ABE的度数． 答案： 1.根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解. （标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN） 答案：（标注∠MND=∠AMN=60°， ∠DNP=∠EPN=80°） 解：（1）∵AB∥CD∥EF， ∴∠MND=∠AMN=60°， ∠DNP=∠EPN=80°， ∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°， 又NQ平分∠MNP， ∴∠MNQ=∠MNP=×140°=70°， ∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°， ∴∠MNP，∠DNQ的度数分别为140°，10°.(下一步) （2）（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN） 由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN， ∴∠MNQ=∠MNP=（∠AMN+∠EPN）， ∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND =（∠AMN+∠EPN）-∠AMN =（∠EPN-∠AMN）， 即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN. 2.（标注：∠1＝∠2=∠DCB，DG∥BC，CD∥EF）答案：（标注：∠1＝∠2=∠DCB） 证明：因为∠AGD=∠ACB， 所以DG∥BC， 所以∠1＝∠DCB， 又因为CD⊥AB,EF⊥AB， 所以CD∥EF， 所以∠2＝∠DCB， 所以∠1=∠2. 3.（1） 动画过点C作CF∥AB 由平行线性质找到角的关系.(标注∠1=∠ABC，∠2=∠CDE) 答案：证明：如图，过点C作CF∥AB， ∵直线AB∥ED， ∴AB∥CF∥DE， ∴∠1=∠ABC，∠2=∠CDE. ∵∠BCD=∠1+∠2， ∴∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2） 解析：动画过点C作CF∥AB,由平行线性质找到角的关系. （标注∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°） 答案：∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°． 证明：如图，过点C作CF∥AB， ∵直线AB∥ED， ∴AB∥CF∥DE， ∴∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°. ∵∠BCD=∠1+∠2， ∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°． 4.动画过点B作BD∥AE， 答案： 解：过点B作BD∥AE，∵AE∥CF， ∴AE∥BD∥CF，∴∠A=∠1，∠2＋∠C=180° ∵∠A=120°，∠1+∠2=∠ABC=150°， ∴∠2=30°， ∴∠C=180°-30°=150°． 例题 1.解析：∠AEG=180°-120°=60°,由外凸角和等于有60°+30°+30°＝x+48°，解得x=72°. 答案:B. 2.解:∵AB∥EF∥CD, 内凹角和∴∠B=∠BEF,∠DEF=∠D. ∵∠B+∠BED+∠D=192°, 即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°, ∴2(∠B+∠D)=192°, 即∠B+∠D=96°. ∵∠B-∠D=24°, ∴∠B=60°, 即∠BEF=60°. ∵EG平分∠BEF, ∴∠GEF=∠BEF=30°. 3.解析：标注AB∥EF，BC∥ED 答案：证明：∵AB∥EF， ∴∠E=∠AGD. ∵BC∥ED， ∴∠B=∠AGD， ∴∠B=∠E. 4.解析：标注AB∥CD，∠1=∠2 答案：方法一：（标注CF∥BE） 解：需添加的条件为CF∥BE， 理由：∵AB∥CD， ∴∠DCB=∠ABC. ∵CF∥BE， ∴∠FCB=∠EBC， ∴∠1=∠2； 方法二：（标注CF，BE，∠1=∠2=∠DCF=∠ABE）解：添加的条件为CF，BE分别为∠BCD，∠CBA的平分线． 理由：∵AB∥CD， ∴∠DCB=∠ABC. ∵CF，BE分别为∠BCD，∠CBA的平分线， ∴∠1=∠2． 5.解：（1）解析：在题目中直接画出辅助线 ∠3=∠1+∠2。理由：如图（1）所示 过点P作PE∥l1交l4于E，则∠1=∠CPE， 又因为l1∥l2，所以PE∥l2，则∠EPD=∠2， 所以∠CPD=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2 （2）解析:点P在A、B两点之间运动时，∠3=∠1+∠2的关系不会发生改变。 （3）解析：如图（2）和（3）所以，当P点在A、B两点外侧运动时，分两种情况： 6.解析：标注CD平分∠ACB，DE∥AC，EF∥CD 答案：标注∠CDE=∠ACD=∠DCE=∠DEF=∠BEF 解：EF平分∠DEB．理由如下： ∵DE∥AC，EF∥CD， ∴∠CDE=∠ACD，∠CDE=∠DEF， ∠BEF=∠DCE. ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCE=∠ACD， ∴∠DEF=∠BEF， 即EF平分∠DEB． 7.解析：如图，作CK∥FG,延长GF、CD交于H，则∠H+∠2+∠KCB=180°.因为CD∥EF，所以∠H=∠1,又因为∠1+∠2＝∠ABC，所以∠ABC+∠KCB=180°，所以CK∥AB,所以AB∥FG.8.解析：（过E点作EF∥CD）标注AB∥EF∥CD 答案：解：过E点作EF∥CD， ∴∠ECD+∠CEF=180°， 而∠ECD=125°， ∴∠CEF=180°-125°=55°， ∴∠BEF=∠BEC+∠CEF=20°+55°=75°. ∵AB∥CD，∴AB∥EF， ∴∠ABE=∠BEF=75°．