数学教育学包括数学学习论

2011040111 数学教育概论知识点总结

数学教育学包括数学学习论（基础），数学教学论（关键），数学课程论（核心）。

数学教育学研究方法：调查法，文献分析法，实验法。

数学的本质是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究。

数学对象存在的两种基本方式：数学研究的对象是一种形式化的“思想事物”；数学研究的对象普遍存在于一切事物之中。

数学主要特点：理论抽象性，逻辑严谨性，广泛适用性。

数学严谨性体现在推理的逻辑性，公理化方法和结论的精确性。

数学观念是指人们对数学的本质、数学思想及数学与现实世界的联系的根本看法和认识。

数学能力:学生在进行数学活动中能迅速、透彻掌握数学知识、技能、数学思想方法的个性心理特征。

中学生的数学能力：数学思维能力（各种能力的核心），数算能力，数学想象能力和数学应用能力。

数学探究，数学建模，数学文化是贯穿整个高中的重要内容。

数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题自主探究，学习的过程。

数学探究特点：①探究性研究课题的结论是未知的②数学探究学习主要由学生自己完成，学生具有高度的主体性③开放性④注重学生在学习过程中的体验，与常规数学教学只重视学习的成绩不同，探究学习注重学生学习过程。

数学建模是运用数学思想，方法和知识来解决实际问题的过程。

数学文化表现在数学的起源，发展，完善和应用的过程中体现出的对于人类发展具有重大影响的方方面面（包括对于人的观念、思想和思维方式的潜移默化的作用，对于人的思维的训练功能和发展人的创造性思维的功能，也包括在人类认识和发展数学过程中体现出来的探索和进取精神。）

新课程标准理念：人人学有价值的数学；人人获得必要的数学；不同的人在数学上得到不同的发展，因材施教。

（简答题）中学数学教学原则：抽象与具体相结合原则；理论与实践；严谨性与量力性；数与形；传授知识与培养能力；巩固与发展。

数学化就是指人们运用数学的方法观察世界，分析研究各种具体现象并加以整理组织以发现其规律的过程。

数学化对象：一是现实客观事物；而是数学本身。

水平方向的数学化指的是将某一问题向水平方向扩展，比如将现实问题转化为数学问题。垂直方向的数学化指的是将某一问题向垂直方向深入，比如由特列推广建立一般公式。

弗赖登搭尔将数学教学分为机械的，经验的，结构的，现实的四种教学模式。

基本的中学数学教学方法：讲解法也称讲授法，是指老师对教学内容进行讲述与分析，学生集中注意力倾听，以达到一定教学目标的教学方法。特点是教师讲，学生听。

建构主义基本理论观点：知识观，学习观，学生观，教师观，教学观。皮亚杰的认知发展理论对当代教育教学产生了极大影响,对当代教育具有重要的启示作用。因此,在当代教育教学中,教育目标应着重于提高学生的知识理解力;教学内容应适用于学生的认知发展水平,不断打破学生已有的平衡,建立新的平衡;教学要重视学生的个体差异性,因材施教;应强调活动的重要性,充分发挥学生的主体性;要重视学生自我调节能力的培养;教师应树立新的教育观念。在一个以学生为主题的环境中，教师要由知识的灌输者转变为学生知识建构的促进者，教师教学的目的要转变为帮助学生顺利完成知识的建构过程。因此在教学中，教师要想方设法在各个环节中使学生主动学习，积极思考。

数学变式教学是指通过从不同的角度对数学教学对象变换其形式或结构，使学生逐步深入理解对象的数学本质，体验对象的生成过程，在变式的过程中学生理解数学知识，掌握数学方法，发展数学技能，培养数学能力等教学目标的教学方法。这种教学方法的核心在于通过教学设计实现对数学对象变换形式或结构，并通过辨析达到对数学对象本质的理解。主要有概念性变式，过程性变式，问题性变式。

概念性变式是通过与概念相关的例子促进学生对概念本质的理解。过程性变式是针对学生学习数学程序性知识的逻辑过程，历史过程和心理过程而设计的不同层次的学习活动。问题性变式是指通过变换形式和结构的一系列问题进行教学。

发现式教学法又称问题教学法。

新课程标准倡导的教学法：合作学习教学法；探究式教学法：是指基于探究需要的分析，学生围绕某一探究课题而展开探究活动，为达到一定的教学目标的教学方法。有两层含义：一是探究什么？即探究目标的指向和内容要求。二是探究需要具备哪些条件？即探究的可行性分析。数学建模教学法是指学生利用数学建模进行学习，从而实现一定教学目标的方法。

数学建模教学法的过程和要求：知识准备；精心设计和选择数学建模课题；分析问题，建立模型，并求解模型；结论的反馈、评估与应用，并写出数学建模报告。

备教材：确定教学目的；把握教材的科学性；把握教材的重点、难点和关键。所谓重点就是教材中贯穿全局，带动全面，起核心作用的内容。难点是教材中理解、掌握或运用上会产生困难的内容。关键是理解、掌握某部分知识或解决某一问题的突破口。

说课内容围绕三大问题进行：教什么（内容）；怎样教（教材的呈现顺序、教法、教到什么程度）；为什么这样教（教育理论、大纲的依据）

数学概念是反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维形式。产生途径：从现实模型中抽象概括而来，比如点、线、面、体；已有数学概念基础上，经过进一步多层次的抽象概括而来，比如群、环、域；将客观事物的属性理想化、纯粹化得到的，比如利用“直”可以“无限延伸”等特征来描述直线这个概念；在一定数学对象结构中产生，如三线八角；根据数学本身的发展需要而产生的，如负数，虚数，n维空间。

概念的内涵（内包）是对概念质的规定。

概念的外延（外包）是对概念量的描述。

相容关系：同一关系，属种关系，交叉关系。属种关系是相对的，如实数是有理数的属概念，但同时又是复数的种概念。

不相容关系：矛盾关系（A并B等于C），反对关系（A并B不等于C)

概念的定义规则：定义要相称如不循环小数叫无理数定义过宽；定义不得循环类似图形叫做相似性；定义要简明不用比喻如两组对边分别平行且相等的平面四边形叫做平行四边形；定义一般不用否定形式。

命题的基本运算：否定，合取，析取，蕴涵，等价。

数学命题教学的基本要求是使学生认识命题的条件和结论，掌握命题推理证明的方法，运用所学命题进行推理论证并解答实际问题，进而弄清数学命题间的关系，将所学的命题系统化，形成结构紧密的知识体系，从而发展和提高学生的认知水平和数学能力。

推理种类：（1）归纳推理①完全归纳推理②不完全归纳推理（2）类比推理（3）演绎推理，一般到特殊的推理。①三段论②关系推理

证明就是根据一些已经确定真实性的命题来断定某一命题真实性的思维过程。由论题，论据，论证组成。

数学中常用证明方法：按证明中推理的方式分，有归纳法、演绎法。按思维的方向分，有分析法、综合法。按形式分，有直接证法和间接证法（反证法，同一法）。主要区别：①证明方法不同②逻辑依据不同③适用范围不同，同一法的局限性很大。

数学认知结构具有三个变量（1）在认知结构中是否有适当的起固定作用的观念可以利

用。如在解方程组的学习中，是否有消元和降次的观念（2）新的学习材料和起固定作用的观念之间的可辨别程度。如学习一元二次方程的求根公式是建立在配方法的基础上，即配方法是学习一元二次方程求根公式的起固定作用的观念。（3）原有起固定作用的观念的稳定性和清晰性。如一元二次方程的求根公式的学习过程中，配方法使用是否正确、熟练。

数学认知结构构成要素：内化了的数学理论；内化了的数学技能；数学活动经验。如学生掌握换元法的具体步骤，则获得换元技能，而在什么背景和条件下应用换元法更为有效，就是一种活动经验。

数学学习四个阶段：输入阶段，相互作用阶段（基本形式同化：刺激输入的过滤和改变和顺应），操作阶段和输出阶段。

数学概念学习两种基本形式：概念的形成；概念的同化。

概念形成过程：辨别一类事物的不同例子，概括出各例子的共同属性；提出他们的共同本质属性的各种假设，并加以检验；把本质属性与原有认知结构中适当的知识联系起来，使新概念与已知的有关概念区别开来；把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，以明确它的外延；扩大或改组原有数学认知结构。

概念的同化过程：首先，要将新概念的本质属性与原有认知结构中的适当概念相联系，明确新概念是原有概念的“限定”，并能从原有概念中分离出来；其次，要把新概念与原有认知结构中的有关概念融合在一起，纳入认知结构中，以便于记忆和应用。最后，通过例题的学习以及练习、习题的解答，加深对梯形本质属性的认识，使它在认知结构中得到巩固。

概念形成主要依靠对具体事物的抽象，而概念同化则主要依靠学生对新旧知识的联系。

常规数学问题是指教材中解决这些问题的一般规则和原理已经确定，并且对这些问题的解法程序和每个步骤都是完全确定的数学问题。

对学生而言，构成问题三条件：（1）可接受性（2）障碍性（3）探究性

好的数学问题标准：第一，具有较强的探究性。第二，具有一定启发性和发展空间。第三，具有一定的开放性。

思维概括性有两层意思：第一，把同一类事物的共同特征和本质属性抽取出来加以概括；第二，将多次感知到的事物之间的联系和区别加以概括，得出有关事物之间的内在联系的结论。

数学思维的概括性是由于数学思维能揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系这些本质特征和规律，能够把握这一类事物共有的数学属性。如自然数其实并不“自然”，现实中并不存在。

数学思维问题性是与数学知识的问题性相联结的。

数学思维相似性是思维相似律在数学活动中的反映。

数学思维按思维活动形式分；逻辑思维，形象思维，直觉思维

按思维指向分：集中思维和发散思维

按智力品质分：再现性思维（是指已获得的知识经验，按现成的方案和程序，用惯常的方法，固定的模式来解决问题的思维方式）和创造性思维（以新颖的，独创的方式来解决问题的思维，是在已有的知识和经验的基础上，对问题找出新的答案，发现新关系或创造新方法的思维）

数学创造性思维活动过程：第一阶段：选择与准备。第二酝酿于构思。第三领悟与突破。第四完善与检验。

如何优化数学课堂教学结构：一问题情境原则。二暴露数学思维过程原则。三学生主动参与知识的发现以及再创造过程原则。四加强基本数学思想方法教学原则。五归纳整理。六反馈调整。七变式训练。

探索在数学教育中的重大意义：①在探索过程中，学生真正是主体，因而主动性积极性能最大限度的激发起来。②学生通过自己探索后所获得的知识，理解最深，掌握最牢③探索过程是学生从已有知识出发，去分析推理，从而导出新知识的过程，加强了逻辑推理能力训练，使之得到提高。④思维方向是发散的，有利于培养学生和发展学生的创造性思维能力。

能力是指人们顺利完成某种活动的一种必需的个性心理特征。

运算能力，逻辑思维能力，空间想象能力是三种基本的数学能力。运算能力是指在这些运算活动中起调节作用的个性心理特征。运算能力培养：①牢固掌握数学基础知识②加强基本技能、技巧的训练③加强运算练习④不断总结经验、随时吸收有关能力研究的结果，以便更有效的培养运算能力。

空间想象能力是指人们对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考从而创立新思想、新形象的能力。如何培养：①学好有关空间形式的基础知识（根本保证）②通过数形结合③丰富学生的表象（重要手段）：一运用实物，模型进行直观教学，学生形成空间形式的形象；二教师示范，学生实践绘制草图，形象具体化；三对草图或示意图进行剖析，深入了解空间形式的内部结构和特性；四根据给出条件，使用绘图工具做出图形，学生切实掌握空间形式的表达方法④加强训练（有效途径）