2013年安徽普高专升本统考《高等数学》试题答案解析

安徽省2012年普通高等学校专升本招生考试

高等数学

注意事项：

1．试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。 2．答题前将密封线内的项目填写完整。

一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题，每小题3分，共30分）

3ex,x01.若函数f(x)sinx在x0在处连续，则a（ C ）

a,x0xA. 0 B. 1 C. 2 D. 3

解：由f(00)f(00)f(0)得a13a2,故选C.

sin2x参见教材P26，5. f(x)x3x22xkx0x0 在x0处连续，则k . 2.当x0时，与函数f(x)x是等价无穷小的是（ A ） A. ln(1x) B. sinx C.

22tanx D. 1cosx

f(x)x2解：由limlim1,故选A.

x0ln(1x2)x0ln(1x2)参见教材P15,例19. 当x1时，与无穷小量(1x)等价的是（ ） A. 1x B. 311(1x) C. (1x2) D. 1x 22 x3.设yf(x)可导，则[f(e)]=（ D ）

1

A. f(ex) B. f(ex) C. exf(ex) D. exf(ex)

解：[f(ex)]f(ex)(ex)exf(ex),故选D. 参见教材P44, 1．设yf(e)eA. f(e)eC. f(e)exxf(x)xf(x)，且f(x)存在，则y（ ） f(ex)ef(x) B. f(ex)ef(x)f(x) D. f(e)eexxf(x)f(x)f(ex)ef(x)f(x) 4.设

13是f(x)的一个原函数，则xf(x)dx（ B ） x

A.

11112xC B. x2C C. x3C D. x4lnxC

2342111解：因是f(x)的一个原函数,所以f(x)2,所以

xxx

123xf(x)dxxdxxC故选B. 2参见教材P101,73．设sinx为f(x)的一个原函数，求x2f(x)dx. 2 5.下列级数中收敛的是（ C ）

4n7nA.  B. n3n1n11 C.

3n2n3 D. n2n1sinn11 2n(n1)333n1n1(n1)1解：因lim23lim1,所以n收敛,故选C. 3nnn2n2n12

n2参见模考试卷2,6．下列级数中收敛的是( ） 3nn1n1A． B．(1) C．3 D． 3n1ln(n1)nnn1n1n1n1

2

6.交换Ix210dy1f(x,y)dxdy1f(x,y)dx的积分次序，则下列各项正确的

2y12yy21是（ B ） A. C.

y dx012xx2f(x,y)dy B.

dy012xx2y=2x y=x2 f(x,y)dy f(x,y)dy

2 1 21dxf(x,y)dy D.

2x21dx2xx2解：由题意画出积分区域如图:故选B.

112222O 1 x 参见冲刺试卷12,6．交换I序，则I（ A ） A．dy1f(x,y)dxdyf(x,y)dx的积分顺y1y21dx1f(x,y)dy xx B．21dxf(x,y)dy 1xx1xxC．112dx1f(x,y)dy xx D．112dxf(x,y)dy 7.设向量1,2是非齐次线性方程组AX=b的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（ D ） A.

12 B. 12 C. 212 D. 212

解：因A(12)A1A2bb2b,同理得

A(12)0,A(212)3b,A(212)b,故选D.

参见教材P239, 14．设1,2是线性方程组AXb的解，则（ ） (A). 12是AX0的解 (B). 12是AXb的解 (C). k11k22是AXb的解（k1k21） (D). k11k22是Ax0的解（k1k21） 3

8.已知向量1(1,2,1,1),2(2,0,k,0),3(0,4,5,2)线性相关,则k（ D ） A. -2 B. 2 C. -3 D. 3

1112111121112解:20k004k2204k22 20452045200k303由于1,2,3线性相关,所以r(1,2,3)2,因此k3

参见教材P230,例4．设向量组1(1,10,a),2(1,a11,a),3(2,a,1,a1)线性相关,则a1. 10a110a110a11解: 1a11a0a2100a210, 22a1a100a10a21a103由于1,2,3线性相关,所以r(1,2,3)2,因此矩阵(1,2,3)任意3阶子式为0,从而a1. 9.设A,B为事件，且P(A)0.6,P(B)0.4,P(AB)0.2,则P(AB)（ A ） A.0.2 B. 0. 4 C. 0.6 D. 0.8

解: P(AB)P(AB)1P(AB)1[P(A)P(B)P(AB)]0.2 参见模考试卷1,20．设A和B是两个随机事件，P(A)0.3,P(B)0.6,P(AB)0.2,则P(A|B)_________. 10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（ B ） A.

3711 B. C. D.

201232117 4520 解: 由全概率公式得p参见教材及冲刺试卷中的全概率公式的相关例题和习题.

二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。)

4

11．设函数yarcsinx11，则函数的定义域为[2,4). 2316x解：12x4x11,16x202x4. 34x4arcsin(lnx) 的定义域为 ( ) 2x11A．0x2 B．ex2 C．exe D．2xe x22x0解：1e1x2B． 1lnx1exe参见冲刺试卷9,1题：函数y 12．设曲线yx2x2在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标是(1,0). 解：y2x1，由y2x13x1，从而y0，故填(1,0).

参见教材P46, 16．已知直线y2x是抛物线yxaxb上点(2,4)处的切线，求a,b. 13．设函数yxarctanx，则y22. 22(1x)x11x22x22解：yarctanx,. y1x2(1x2)2(1x2)21x2参见教材P46，15．求下列函数的二阶导数（4）y(4x)arctan 2x214．

(lnx1)2012(lnx1)2013dx C.

2013x(lnx1)2012(lnx1)20132012dx(lnx1)d(lnx1)C. x2013解：

5

参见教材P90,例30．已知f(x)dxF(x)C，则f(lnx)dx . x15．解：

00xex1dx= e . xex1dxe0xexdxe.

参见教材P128,例10．计算【解】0xexdx x0xexdxxd(ex)[xexex]01lim[0xxe]1. xe(x2)n16．幂级数n的收敛域为[3,7).

nn15(x2)n1n1x2u(x)n5n1lim解：由limn1limx21.

nu(x)n(x2)nn5n15n5nn得3x7级数收敛,

(1)n1当x3时,级数为收敛; 当x7时,级数为发散;

nnn1n1故收敛域为[3,7).

(x3)n参见教材P182,例13．求下列级数的收敛半径和收敛域:（4）2n; n1n5(2)n3n(x1)n的收敛域． 冲刺试卷1,26题:求幂级数nn117．设A是n阶矩阵，E是n阶单位矩阵，且AA3E0，则(A2E)解：AA3E0(A2E)(AE)E(A2E)

6

2121AE.

(AE)

参见教材P213,例6．矩阵的综合运算知识 ⑤设A2A4E,则(A2E)122AE2 解:AA4EAA2E2E(A2E)(AE)2E (A2E)[(AE)AE]E(A2E)122. 2参见冲刺试卷2,19题．已知n阶方阵A满足AA2E0,其中E是n阶单位阵,则(AE)= ． 解：AA2E0(AE)A2E 21AA(AE)E,(AE)1 220118．设A100011*1，记A表示A的逆矩阵, A表示A的伴随矩阵,则 1011(A1)*101.

0011参见冲刺试卷3,18．已知A＝00(A*)1 ． 012103，A*为A的伴随阵，则252解：由A*A=|A|E=1*1,A*(-4A)=E(A)4040 4A026041019．设型随机变量X~N(1,8),且P(Xc)P(Xc),则c=

7

1.

解：由正态分布的对称性得c1.

2参见冲刺试卷4, 20．设随机变量X~N(,)(0),且二次方程y24yX0无实根的概率为解：由于X~N(,)(0) 21,则= ． 2方程 y4yX0有实根,则164X0X4 此方程无实根的概率为pP{X4}21,故=4. 213.

20．设型随机变量X在区间[2,4]上服从均匀分布,则方差D(X)(42)21. 解：直接由均匀分布得D(X)123参见教材P277, 3.设随机变量X在(0,)(0)上服从均匀分布,则D(23X)3,则等于 (A)233(B)33(C)2(D)4 三、计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。

xsinx.

x0tan2xxsinx解：原式= lim

x0x21cosx=lim x02xsinx=lim=0. x0221．计算极限lim

8

参见冲刺试卷4, 21．求 limx(1xsin)． x21x解：令t1，则 x1tsint1costsint1lim[x2(1xsin)]limlimlim 32xt0t0t0x6t6t3t 22．求由方程yxxy确定的隐函数的导数解：两边取对数得xlnylnxlny, 两边求导得lnydy. dxx11yy, yxy从而

dyy(1xlny). dxx(x1)参见模考试卷1, 22．设函数yf(x)由方程ylnxln(xy)所确定，求dy. dx 23．计算定积分

221x2x12dx

解：令xsect,则dxsecttantdt,当x2时, t4;当x2时, t3.

secttant所以原式= dt= 2secttant43costdt= sint|3=

3441(32). 29

参见教材P115,例33．求1dxxx122. 【解】运用第二换元积分法，令xsect,dxsecttantdt，当x2时，t当x1时，t，则 2；3 1dxxx2122secttantdt2(1)dt 33sect(tant)3 24．求微分方程y2yex0的通解.

x解：原方程可整理为y2ye

这是一阶线性微分方程,其中P(x)2,Q(x)e. 所以原方程的通解为

P(x)dxP(x)dxdxC yeQ(x)exe2dx2dx(exedxC).

e2x(exdxC)e2x(exC)

exCe2x

参见冲刺试卷11,24题．求微分方程解. 25．计算二重积分

dye3x4y满足初始条件y|x03的特dx xD2yd,其中D是由直线x2、y2x和xy2所围成的区

域.

解：区域D如图阴影部分所示.

y 故

22dxxxyd2ydy 22xD14 y=2x x10

2 xy=2 O 1 2 x 12222xxy|2dy 12x124(4x4)dx 12222x5(2x)|10.

155参见教材P162,例4．计算二重积分Dx2dxdy，其中D由直线2yy 2 y=x y2,yx及双曲线xy1所围成. 【解】画出区域D的图形，如图5-7， 如图三个顶点分别为A(,2),B(1,1),C(2,2) 1 O x 由积分区域的形状可知，采用先x后y的积分次序较好， 图5-7 即先对x积分. 12x1 yD22yx211x23dxdydydx(x)dy 1222111yy3yyy2y12111127(y5)dy(y24) 31y324y1

126．设矩阵A10112，30B3,且满足AXBABX,求矩阵X.

2230解：由AXBA2BX可得(AE)X(A2E)B(AE)(AE)B

0因|AE|10421020,所以AE可逆, 4011

2因此X(AE)B10022110035

222201100参见冲刺试卷9,28题．已知A020,B010，若X满足 202001AX- BA=B+X．求X．

x127．设行列式D(x)1x12222x13333x133322x13333x1x7x7x7x7101x12200x1122x13000x2

,求D(x)在x0处的导数.

111x1解：D(x)1x12222x13333x1

111x11(x7)111221x1(x7)1x1111x(x7)(x1)(x2)(x27x)(x23x2).

故D(x)(2x7)(x23x2)(x27x)(2x3). 从而D(0)14.

本题是考一种特殊行列式的计算,即行列式中每行元素之和相同. 参见教材P200,例1,P201,例8, P202,例9,(2),P204填空题2. 12

x0,0,a,0x1,28．已知离散型随机变量X的密度函数为F(x)1且数学期望

1x2,2,x2.1, E(X)4. 3求: (1) a的值; (2) X的分布列；(3)方差D(X )．

解：(1) 由分布函数的性质知,随机变量X的可能取值为0、1、2，且

11a,P(X2) 221134因E(X)0a1(a)2a

22231所以a.

6P(X0)a,P(X1)(2) 由（1）即得X的分布列为 X P 0 1 2 1 612117222(3) E(X)012,

63231 31 213

参见冲刺试卷2,20题．设随机变量X的概率分布律为 X P －1 0 1 1/6 a b 且E(X)=1/3，则D(X)＝________． 解：由题意知: 11111ab1,E(X)b a,b 66332112215E(X2),故D(X)E(X2)(EX)2. 623399参见模考试卷1,29．设离散型随机变量的分布列为  P(k) 1 2 0.3 3 4 0.2 a b 且的数学期望E2.7.求（1）常数a,b的值；（2）的分布函数F(x)；（3）的方差D.

四、证明题与应用题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。 29．设uxy2f()，其中f(t)可微，证明:xxyzzy3u. xy证明：因为

uxx1y2f()xy2f() xyyy2 yf()xyf(),

xyxyuxxx2xyf()xy2f()2 yyyyxx2xyf()x2f(),

yy14

故xuuxxxxyxy2f()x2yf()2xy2f()x2yf() xyyyyy 3xyf()3u. (9分)

2xy参见冲刺试卷2,16题．设zxyf()，且f(x)可导，则yxxzzy= ． xy 30．设D是由曲线ylnx,xe及x轴所围成的的平面区域

求: (1) 平面区域D的面积S; (2) D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V． 解:区域D如图阴影部分所示。曲线ylnx与x轴及 y xe的交点坐标分别为(1,0),(e,1) (e,1) （1）平面区域D的面积

y=lnx eSlnxdx(xlnxx)|1.

11e O 1 e x （2）D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V

Ve21(ey)2dy01e2e2ydye2012e2y|

012(e21).

这是最基本的题型,每套试卷都有. 31．证明不等式：当abe时，

blnba(e2.71828). alnab证明: 设f(x)xlnx,x(e,),则f(x)1lnx0,x(e,), 所以f(x)xlnx在x(e,)上单调递增,从而当当abe时,有

lnba; lnablnx1lnx,x(e,),则g(x)0,x(e,), 令g(x)2xxf(a)f(b),即alnablnb,即

15

lnx在x(e,)上单调递减,从而当当abe时,有 xlnalnbblnb,从而. f(a)f(b),即

abalnablnba综上所述:当abe时，有.

alnab所以g(x)

参见教材P71,例8．设bae，证明：ab 证：选择适当的函数f(x)，要证ab，只需证明blnaalnb. baba16