《二次函数的应用》专题练习

《二次函数的应用》专题练习

1．某一型号的飞机着陆后滑行的路程s（单位：m）米与时间t（单位：s）之间的函数关系式为：

s＝60t－，试问飞机着陆后滑行多远才能停止

2．如图拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y米

。

1225x，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为多少 33

3．如图是抛物线形拱桥，拱顶离水面2m，水面宽度4m，水面下降1m，水面宽度增加多少

$

4．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB＝18m。一同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面 立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处。根据这些条件，请你求出该大门的高h。

?

5．某地要建造一个圆形喷水池，在水池垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安装在柱子顶 端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线的 形状如图(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是

5，请你寻求： 4 （1）柱子OA的高度为多少米

（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少

（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外。

y＝－x＋2x＋

2

（

yA

x 0B(1)(2)

6．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到 ,

最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；

(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是

多少

？

7．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米。以最高点O为坐

标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求： （1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；

（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道 【

O x A B C

\"

8．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的且距地

面6m，建立如图所示的坐标系： （1）求抛物线的解析式；

（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么

（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么 y

P

A B

、 x O

\\

9．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米。 现以O点为原点，OM所在直 线为x轴建立直角坐标系。

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；

(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－ DC－ CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑 架”总长的最大值是多少

：

10．某服装商销售每件进价为40元的衬衫，市场调查显示，若每件以50元的价格销售，平均每天可销售500件，

价格每提高1元，则平均每天少销售10件。当每件衬衫提价x元时，可以获得利润y元。 （1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当每件衬衫提价多少元时，可以获得最大利润最大利润是多少

|

11．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中运动路线是如图所示坐标系下的经过原点

O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下该运动员在空中的最高处

距水面10!

2m，入水距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并 3

调整好入水的姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解析式；

（2）在某次试跳时，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，

距池边的水平距离为33m，问此次跳水会不会失误并通过计算说明理由。 5

~

12．如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛

物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米。

已知山坡PA与水平方向PC的夹角为30°，AC⊥PC于点C，P、A两点相距83米。请你建立适 当的平面直角坐标系解决下列问题。 ·

（1）求水平距离PC的长；

（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；

（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从P点直接打入球洞A点。

~

13．某水果商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元。市场调查显示，若每箱以

50元的价格销售，平均每天可销售90箱，价格每提高1元，则平均每天少销售3箱。 （1）求平均每天销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的函数关系； （2）求平均每天销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系； ！

（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润最大利润是多少

：

14．为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产。方案一：生产甲产品，每

件产品成本为a万美元（a为常数，且3＜a＜8），每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；方 案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件。另外，

年销售x件乙产品时需上交0.05x万美元的特别关税。在不考虑其它因素的情况下： ．．．

（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1、y2与相应生产件数x（x为正整数）之间的函数关系式，并指 出自变量的取值范围；

（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；

（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案

|

2

、

15．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表： -时间t（天） 1 3 6 10 36 … *日销售量m（件） 94 90 84 76 24 … 未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1＝1t＋25 4（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为 y2＝1t＋40（21≤t≤40且t为整数）。下面我们就来研究销售这种商品的有关问题： 2（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满 足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式； （2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少 （3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工 程。公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的 增大而增大，求a的取值范围。 *

^

|

《二次函数的应用》专题练习答案1．解：s＝60t－

＝－（t2－40 t）2

＝－（t－20）2

＋600 （

∵－＜0，

∴函数有最大值。 当t＝－20时， s最大值＝600，

即飞机着陆后滑行600米才能停止。

2．10米。

3．解：以抛物线的顶点作为原点，水平线作为x轴，建立直角坐标系，

设抛物线的解析式为yax2， ∵过（2，－2）点，∴a112，抛物线的解析式为y2x2。 当y3时，x6，所以宽度增加（264）m。

4．解法一：如图1，建立平面直角坐标系。

;

设抛物线解析式为y＝ax2

＋bx。

由题意知B、C两点坐标分别为B(18，0)，C(17，。 把B、C两点坐标代入抛物线解析式得

解得

∴抛物线的解析式为 y＝－＋

＝－(x－9)2

＋。 ∴该大门的高h为8.1m。

解法二：如图2，建立平面直角坐标系。

设抛物线解析式为y＝ax。

由题意得B、C两点坐标分别为B(9，－h)，C(8，－h＋。 】

把B、C两点坐标代入y＝ax得

2

2

解得。

∴y＝－.

∴该大门的高h为8.1m。

说明：此题还可以以AB所在直线为x轴，AB中点为原点，建立直角坐标系，可得抛物线解析式为

y＝－＋。 5．(1)当x＝0时，y＝

5，故OA的高度为1.25米。 4522

(2)∵y＝－x＋2x＋＝－(x－1)＋，

4∴顶点是(1，，故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米。

152

(3)解方程－(x－1)＋＝0，得x1,x2。

22<

5∴B点坐标为,0。

25。 2故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外。

2

6. (1)设抛物线的表达式为y＝ax＋k，

由图知图象过点，，代入求得a＝－。 ∴抛物线的表达式为y＝－＋。

(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为h＋＋＝(h＋ m，

2

∴h＋＝－×(－＋， ∴h＝(m)。

∴OB＝

7．解：（1）设所求函数的解析式为yax2。

由题意，得 函数图象经过点B（3，－5），

.

O y x E

∴－5＝9a。 ∴a。

595∴所求的二次函数的解析式为yx2。

9x的取值范围是3x3。

（2）当车宽2.8米时，此时CN为1.4米，对应y离地面高度为EN长为：5

A MC NB 91.42， 9491761， 45

∴农用货车能够通过此隧道。

8．（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），

设抛物线的方程为ya(x4)6， 又因为点A（0，2）在抛物线上， 所以有2a(04)6。所以a＝\\

221。 4

1(x4)26。 412（2）令y4，则有 4(x4)6。

4因此有：y解得x1422，x2422。

x2x1422。

∴货车可以通过。 （3）由（2）可知

1x2x1222， 2

∴货车可以通过。

9. 解：(1) M(12，0)，P(6，6)。

(2) 设抛物线解析式为：ya(x6)26。 ∵抛物线ya(x6)6经过点(0，0)，

*

2

∴0a(06)6，即a∴抛物线解析式为：

21， 611y(x6)26,即yx22x 。

66(3) 设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12m,121m2m)，D(m,m22m)。 661212∴“支撑架”总长AD＋DC＋CB ＝ (m2m)(122m)(m2m)

661212＝m2m12(m3)15。

33 ∵ 此二次函数的图象开口向下。

∴ 当m＝3米时，AD＋DC＋CB有最大值为15米。

10．设每件衬衫提价x元时，可以获得利润y元。根据题意，得 y＝（50－40＋x)（500－10x）

2

＝－10x＋400x＋5000， ` ＝－10（x－20）＋9000，

因为－10＜0，所以，当x＝20时，y的最大值为9000元。 即，当每件衬衫提价20元时，可获最大利润9000元。

2

11．解：（1）在给定的直角坐标系中，设抛物线的解析式为y＝ax＋bx＋c。由题意得，O、B两点坐标分别为

（0，0）、（2，－10），顶点纵坐标为

2

2。则有 325a,3c0,a,62104acb22 解得 b,或 b2, ,33c0.4ac0.4a2bc10.因抛物线对称轴在y右侧，所以－所以a＝－

b＞0，即a与b异号，又开口向下，则a＜0，b＞0， 2a3，b＝－2，c＝0不符合题图意，舍去。 225210故所求抛物线的解析式为y＝－x＋x。

63338（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3m，即x＝3－2＝m时，

555258210816y＝（－）×（）＋×＝－。

65353）

所以此时运动员距水面的高为10－

1614＝＜5。因此，此次跳水会出现失误。 3312．解：（1）依题意得：∠ACP＝90°，∠APC＝30°，PA＝83， ∴AC＝43，∴PC＝12，

∴PC的长为12m。 （2）以P为原点，PC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，可知：顶点B （9，12）， 抛物线经过原点， 2设抛物线的解析式为y＝a（x－9）＋12， 2将点P（O）的坐标代入可得：0＝a（0－9）＋12， 求得a＝－4， 2742 (x－9)＋12。 27故抛物线的解析式为：y＝－#

（3）由（1）知点C的坐标为（12，0），易求得AC＝43， 即可得点A的坐标为（12，43）， 当x＝12时，y＝－4322 (12－9)＋12＝≠43， 273故小明不能一杆把高尔夫球从P点直接打入球洞A点。 13．（1）y＝90－3(x－50)，化简得y＝－3x＋240 (50≤x≤55)

2

(2)w＝(x－40)y＝－3x＋360x－9600，

(3)当x＝60时，w有最大值，

又因x＜60，所以，当x＝55时，w的最大值为1125元。

即，当每箱苹果的售价为55元时，可获最大利润，为1125元。 14．解：（1）y1(10a)x （1≤x≤200，x为正整数）

y210x0.05x2 （1≤x≤120，x为正整数）

~

（2）①∵3＜a＜8， ∴10－a＞0，即y1随x的增大而增大 ，

∴当x＝200时，y1最大值＝（10－a）×200＝2000－200a（万美元）

②y20.05(x100)2500

∵－＜0， ∴x＝100时， y2最大值＝500（万美元）

（3）由2000－200a＞500，得a＜，

∴当3＜a＜时，选择方案一；

由2000200a500，得 a7.5， ∴当a＝时，选择方案一或方案二均可； 由2000200a500，得 a7.5， ∴当＜a＜8时，选择方案二。

15．解：（1）∵根据表格知道日销售量与时间t是均匀减少的，

'

∴确定m与t是一次函数关系，设函数关系式为：m＝kt＋b， ∵当t＝1，m＝94；当t＝3，m＝90， ∴kb94k2， ∴，

3kb90b96∴m＝－2t＋96； （2）前20天： ∵每天的价格y（元）与时间t天的函数关系式为y＝∴每件获取的利润为（1t＋25，而商品每件成本为20元， 411t＋25－20）＝（t＋5）元， 44又日销售量y（件）与时间t（天）的函数关系式为：y＝－2t＋96， 故：前20天每天获取的利润： P1＝m（y1－20）＝（－2t＋96）（＝1t＋5） 412t＋14t＋480 212＝（t－14）＋578 （1≤t≤20） 21∵a0，对称轴t＝14， 2∴在1≤t≤20中，当t＝14时，P1有最大值为578元。 后20天：

每天的价格y（元）与时间t天的函数关系式为y＝而商品每件成本为20元， 故每件获取的利润为（1t＋40， 211t＋40－20）＝（t＋20）元， 22又日销售量y（件）与时间t（天）的函数关系式为：y＝－2t＋96， 故：后20天每天获取的利润 P2＝m（y2－20） ＝（－2t＋96）（21t＋20） 2＝t－88t＋1920， 2＝（t－44）－16 （21≤t≤40）， ∵a10，对称轴t＝44， ∴在21≤t≤40时，P2随t的增大而减小， ∴当t＝21时，P2有最大值为513元。 综上所述：预测未来40天中，第14天的利润最大为578元。 （3）前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润： P1＝m（y1－20－a） ＝(－2t＋96)( ＝1t＋25－20－a) 412t＋(2a＋14)t＋（480－96a） 2对称轴t＝2a＋14， ∵10，只有当t≤2a＋14时，P随t的增大而增大， 又每天扣除捐赠后的日利 2润随时间t的增大而增大， 故：20≤2a＋14 ∴a≥3， 即a≥3时，P1随t的增大而增大， 又a＜4， ∴3≤a＜4。