(广东惠州公路建设总公司 惠州 516001)
摘 要 结合公路工程实践，推导计算公路任一点大地坐标的简易公式，以工程施工常用的 CASIOfx一4500P计算器编制计算程序。其公式的推导及其程序设计容易理解和记忆，对高等级公
路的测量放样具有准确快捷的特点。 关键词公路坐标程序设计
我国公路测量的传统方法是沿中线用经纬仪
定向，钢尺量距；在曲线上采用偏角法、支距法等 方法测设中线；用十字架等方法敷设横断面。实践 证明，传统方法费时费工，受地形地物障碍影响很 大且精度不高，不能满足日益发展的高等级公路 施工的需要。
高等级公路的中线位置一般都用大地坐标表
示，设计单位一般只提供控制桩(如交点、曲线要 素点等)的坐标。即使提供了中线的逐桩坐标，也 不能满足工程施工的需要，在工程的施工过程中 需要加设中桩、边(坡)桩、结构物的控制桩等，这 些加桩的大地坐标需现场计算。笔者结合工程实 践，对公路路线直线段、缓和曲线段、圆曲线段任 一点的中、边桩大地坐标计算推导出简易公式并 以CASIOfx一4500P计算器为例编制计算程序及 收稿日期：2002—07—26 现场测量放样程序。 1 直线段
1．1 中桩坐标计算公式推导
已知角点坐标P， (X ，Y )，PI2(X2，Y2)；设 直线上任一点P至P， 的距离为L，如图1所示。 图1 直线段示意图 P 至P 的方位角： = arctan等， 专1
The Strength Experim ental Study on Lime Fly-Ash Stabilized Eolian Sand Li Zhiping
(College of Highway，Chang an University，Xi‟an 710064，China)
Abstract：through the test in laboratory，the strength of lime fly—ash stabilized eolian sand basecourse
in desert highway structure is analyzed in this paper．Experimental shows that lime fly—ash stabilized
eolian sand can satisfied used in highway．
Key words：eolian sand；lime fly—ash stabilized eolian sand；strength 维普资讯 http://www.cqvip.com
2003年第2期 吴振贵：公路大地坐标计算的简易方法 33
则P点的坐标为X 一X。 y1+ ·sina卜2 + L ·cosa·一z；Ye一 距离为 ，由缓和曲线的公式可知： 1．2 边桩坐标计算公式推导
已知条件如图1所示，边桩A点至P点的距 离为 ·，边桩B点至P点的距离为 ，则P 。至 P 的方位角见式(1)。
则P至A的方位角a ^=a1—2—90℃ ；P至 B的方位角a 一a 一 + 90℃ ；A 点的坐标为 Xa— Xp+ T1·cosa~ ^，Y^一Y + T1·sina ^； B点的坐标为 —Xp+T2·cosa ，Y —Y + T2·sinap一 。
1．3 中、边桩坐标计算程序 匦囤 F， 厶 2 厶 Lb1 1
A ：B：C：D ：{L)：{T) Pol(D — B ，C — A) E 一90。一 E < 0 一> E — E + 360。Go to 2△ Lb1 2：F — E ± 9O。 G ：= A — —LCOSE H == B — —LsinE I — G 7 COSF 一H + TsinF Go to 1 囤
式中：A，B为ZH 或P 。的坐标( ，Y )，其中 ZH 表示直缓点，P 。表示角点；C，D为HZ或P 的坐标( z，Y )，其中HZ表示缓直点，P 表示 角点； 为直线上任一点P至ZH 或P 。的长度； 为直线段中线两侧任意点至路中线的水平距 离；“±”表示以HZ— ZH 或P 1一P 为基线， 当边桩位于顺时针方向时取“+”，当边桩位于逆
时针方向时取“一”；W 即 。在CASIOfx一4500P计 算器中，计算极坐标时，将极坐标中 角的数值自 动储存在变数储存区 中。 2 缓和曲线段
2．1 中桩坐标计算公式推导
已知ZH 或HZ(X1，Y1)，PI(X ，Y )，如图2
所示，设缓和曲线上任一点P至ZH(或HZ)的 X ，- 一
y，一 ： 一 ： „ 6R ·Ls 336R ·L
zH — P 方位角为口 — arctan -== ；通过
P点作一直线垂直于AB交于E点，即PE上AB， 以ZH— P (即A—B)为基线，当P点位于顺时 针方向时，其方位角为a 一a 一 + 90。；当P点 位于逆时针方向时，其方位角为a 一a^．． 一 90。；则可得到E点的大地坐标为X 一X，+ X · COSaA一 ，YE—Y1+X ·sina ；P点的大地坐标 为 ．『)=XE+y ·cosa￡ ，Y．『)一YE+y ·sin口￡ 。 2．2 边桩坐标计算公式推导 (Ⅳ)J 一 一一 ＼ _
A(TS) F E B(PI)(占 (Xl。 )
． x ． ( 。 )
图2 缓和曲线段 意图
已知条件如图2所示，通过P点作一切线，与 AB交于F点，其夹角为 ；通过P点作一直线CD 垂直于P点的切线，即CD上PF。设PC— T．， PD — T2，则 一 ；· (2)
以ZH — P 为基线，当P点位于顺时针方向时， 其方位角为a ，一a 一 + ；当P点位于逆时针 方向时，其方位角为a ，一a 一 一 ；由图2可 知，P— C方位角为a 一 一a卜p一90。；P— D方 位角为n = a + 90。；则边桩C、D的坐标为 Xc— Xp+ 7‟1·cosap—f， — Y，J+ 7‟1·sina c； Xo— Xp+ T2·cosap ，YD— YP+ T2·sina ． D
2．3 中、边桩坐标计算程序 圆圆 F。 厶 2 厶 Lbl 1
A ：B ：C ：D ：R ：E ：{ )：{F) Pol(D — B，C — A) 厶厶 厶
吴振贵：公路大地坐标计算的简易方法 2003年第2期
Q 一9O。一 Q < 0一> Q — Q + 360。Go to 2△
Lb， 2：V 一((L ／(2× R × E))× (180。／丌))
L G — L一(Lx 5／(40× R × E ))
H 一(Lx'3／(6× R × E)一 (Lx'7／(336× Rx 3× Ex'3) I— Q 士9O。 — Q 士 K — 士9O。 L M — A + G × cosQ + H × cos／ N — B + G × sinQ + H × sin／ 厶 O — M + F × cosk P — N + F × sink L7 Go to 1 固国
式中：A，B为ZH 或HZ的坐标( ，Y。)；C，D为 P 的坐标( ，Y )；R为圆曲线半径；E为缓和曲 线长度L 或 ；L为缓和曲线上任一点P至ZH 或HZ的长度L；F为缓和曲线上任一点P的横断 面值7‟ 或 ；Q 为ZH (HZ)一P 的方位角 口^一 。 V 为 一 · ；G 为X『_ L — L ■ H 为y 一 一 L 为口 P— Q 士9O。； 为aF—P= Q 士V；K 为 aP—c一口F—P一90。或口卜D：aF—P+ 90。；M，N 为 缓和曲线上任一点P 的中桩坐标；0，P为缓和曲 线上任一点P的边桩坐标。 3 圆曲线段
3．1 中桩坐标计算公式推导 3．1．1 求圆心坐标
已知条件如图3所示，通过圆心O点作一直 线OM 垂直于AB，即OM 上AB，则 Ls q 一一 D 一
口^一 ：== arctan y2一yl 2 一 l
可算出M 点的坐标为X 一X1+ q。cOSaA—B； y 一yl+q·sina^一B； 。一口^一B士90。(以AB 为基线，当圆心0点位于顺时针方向时取“+”， 位于逆时针方向时取“一”)。设R 一R+ P， 则圆心0的坐标X0一X + R ·c 0 s aM一 ；
Y0一Y + R ·sinau一 。 0 圆心 (^r) 一 + -
一一一 ， A(rS)
． ． B(e1)( ) (蜀． )。 g ‟ ( 。yI)
图3 圆曲线段示意图
3．1．2 计算圆曲线任一点的方位角及坐标 已知SC(或CS)即Ⅳ 点的坐标为( 。，Ys)，
如图3所示，a0． =arctan囊_三鼍；设圆曲线上 任一点E至SC(或CS)的距离为L；则弧长L所 对应的圆心角为0一 L · ；方位角a —
a。一 士 (以ON 为基线，当E点位于顺时针方向 时取“+”，当E点位于逆时针方向时取“一”)；已 知圆曲线半径为R，则圆曲线上任一点E 的坐 标为：
XE— X0+ R ·cosao-~E YE— Yo+ R ·sin口0_．E。 3．2 边桩坐标计算公式推导
边桩坐标计算方法同中桩坐标计算方法一
样，当边桩位于圆外时R—R+T，当边桩位于圆 内时R： R—T，只是将圆曲线的半径R加上或 减去边桩横断面值7‟即可。 3．3 中、边桩坐标计算程序 圆圆 F3
Ll Lbl 1
L。 A ：B ：C ：D ：E ：F ：R ：S ： {L)：{T}
L3 Pol(D — B，C — A) G 一90。一W
G < 0一> G — G + 360。 Go to 2△
L． Lbl 2：Q ： s／z P： S'／(24×R) H ： G士9O。
2003年第2期 吴振贵：公路大地坐标计算的简易方法 35 I— A+Q ×COSG+ (尺+ P)×cosH J— B+ Q×sinG + (尺+ P)×sinH
P0Z(F 一 ，E 一 ) K 一90。一
K < 0 一> K — K + 360。 Go to 3A
Lbl 3：M 一(L／R)× (180。／丌) N — K 士 X — I+ T × COSN Y — J + T × sinN Go to 1 I 兰I叵囤
式中A，B为ZH 或HZ的的坐标(X1，Y1)；C，D 为P 的坐标(X2，Y2)；E，F为SC或CS的坐标 (X。，Y。)；尺为圆曲线半径；S为缓和曲线长度；L 为圆曲线上任一点E至SC或CS的长度； 为圆 曲线圆心至中桩或边桩的长度；G为ZH 或(Hz) ， ， C 2
至P 的方位角口 ；Q为q一等；P为户一竺9A R； ， 为圆心坐标(X。，Y。)；K 为圆心0点至SC或 CS的方位角口 Ⅳ； 为圆曲线任一点E至SC或 ， 1 Ono
CS的长度L所对应的圆心角0一 · ；Ⅳ 为 圆心0点至圆曲线任一点E的方位角n ；X，Y 为圆曲线上任一点中、边桩中的坐标。 4 工程测量放样简易程序 圆
Lb1 1：A ：B ：N ：E Pol(E — B，N — A) R 一90。一
尺< 0一> D — R + 360。 圆圆
式中 、B为设站点坐标；N、E为对点或测点的坐 标；R、D为设站点至测点的方位角；测量放样时， 对点应归方位角。 5 几点说明
(1)以上各程序除在圆曲线段计算程序中，
等式N —K士M 中的“士”是以圆心至缓圆点(或 圆缓点)的直线为基线外；其他各式中含有“± ” 的是以ZH(或Hz)至P 的直线为基线，当计算 点位于顺时针方向时选用“+”，位于逆时针方向 时选用“一”。
(2)凡式中含有“± ”号的式子，在程序输入
时，应按具体情况选用“+”或“一”，不能同时输入 „„-4--” — o
(3)程序的具体输入方式及运行过程，因篇
幅有限，在此不详述，请参见CASIOfx一4500P 计算器的使用说明书。 6 结语
本文提出的公路坐标计算方法简单易行，在 广珠东线、广州北二环等高等级公路工程实践中 应用效果良好，可供同仁参考。
道路测量中缓和曲线中桩坐标计算方法的研究
摘 要：本文讲解了在利用全站仪进行缓和曲线中桩放样时，缓和曲线的基本形和卵形两种情况下中桩坐标计算的方法。
关键词：缓和曲线，基本形，卵形，中桩坐标计算
随着全站仪在道路工程施工测量中的普及，传统的中线放样方法逐渐被淘汰。目前道路工程中线放样时，只要能计算出中线上任意一点的坐标，用全站仪或者GPS RTK的坐标放样功能就可很方便、快捷地完成实地放样。道路线形是由直线、圆曲线、缓和曲线三种线形组合而成的，而直线与圆曲线组合的线形中桩坐标计算比较简单，在此不作阐述。下面就缓和曲线与其它两种线形组合的线形中桩坐标计算予以分析。缓和曲线与其它两种线形组合构成的线形主要有缓和曲线的完整形（即基本形）和非完整形（即卵形））二种。
一、 基本形曲线中桩坐标计算:
1、对于第一缓和曲线及圆曲线段（ZH~YH），建立以ZH为坐标原点，切线方向为X′轴，半径方向为Y′轴的曲线坐标系（X′O′Y′）。 先计算曲线各点在曲线坐标系下的坐标。 ⑴对于第一缓和曲线段（ZH~HY）内任一点i（此时L=Ki-KZH） 若圆曲线半径R≥100m时，则 Xi′=L-L5/(40R2Ls12) 公式① Yi′=L3/(6RLs1) 公式② 若圆曲线半径R＜100m时，则 X′=L-L5÷［40（RLS）2］+L9÷［3456（RLS）4］–L13÷［599040（RLS）6］+L17÷［175472640（RLS）8］- L21÷［7.80337152×1010（RLS）10］ （公式③） Y′=L3÷［6（RLS）］ - L7÷［336（RLS）3］+L11÷［42240（RLS）5］ - L15÷［9676800（RLS）7］+L19÷［3530096640（RLS）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RLS）11］ （公式④）
⑵对于圆曲线段（HY~YH）上任一点i Xi′=q+Rsin¢i
Yi′=R(1-cos¢i)+p
L=Ki-KZH ¢i=(L- Ls1)*180/(Rπ)+β0 内移值P=Ls12/(24R)
切线增值q= Ls1/2- Ls13/（240R2）
综合⑴、⑵，根据不同坐标系的相互转换，可得ZH~YH上任一点i的中桩测量坐标为： Xi=XZH+cosA×Xi′-sinA×f×Yi′（公式⑤） Yi= YZH+sinA×Xi′+cosA×f×Yi′（公式⑥）
式中f为线路的转向系数，右转时f=1，左转时f=-1 。A为X′轴方向的坐标方位角。 2、对于第二缓和曲线段（YH~HZ），建立以HZ为坐标原点，切线方向为X”轴，半径方向为Y”轴的曲线坐标系（X”O”Y”）。此时对于第二缓和曲线段（YH~HZ）上任一点i在曲线坐标系（X”O”Y”）下的坐标可表达为(此时L=KZH- Ki) 若圆曲线半径R≥100m时，则 Xi\"=L-L5/(40R2Ls12) 公式① Yi\"=L3/(6RLs1) 公式②
若圆曲线半径R＜100m时，则 X\"=L-L5÷［40（RLS）2］+L9÷［3456（RLS）4］–L13÷［599040（RLS）6］+L17÷［175472640（RLS）8］- L21÷［7.80337152×1010（RLS）10］ （公式③） Y\"=L3÷［6（RLS）］ - L7÷［336（RLS）3］+L11÷［42240（RLS）5］ - L15÷［9676800（RLS）7］+L19÷［3530096640（RLS）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RLS）11］ （公式④）
同理经过坐标系的转换，可得测量坐标
Xi=XHZ+cosA×Xi\"-sinA×g×Yi\"（公式⑦） Yi= YHZ+sinA×Xi\"+cosA×g×Yi\"（公式⑧）
式中g为线路的转向系数，右转时g=-1，左转时g=1 。A为X\"轴方向的坐标方位角。 二、 卵形曲线中桩坐标计算
1、卵形曲线坐标计算原理。我们知道：卵形曲线是指在两半径不等的圆曲线间插入的一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线只是缓和曲线的一段，是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，是一条非完整的缓和曲线。因此在进行计算时可根据已知的设计参数，先求出包含此卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素（主要是HZ'点坐标值、桩号及其切线方位角），再按完整形缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意一点的坐标。 2、卵形曲线坐标计算方法。卵形曲线一般设计在高速公路互通立交的匝道上，圆曲线半径都比较小。计算时先将卵形曲线还原成完整缓和曲线，再通过两曲线半径R1、R2求出还原的缓和曲线长L0。假设R1 ①、计算出YH1点（R1 对应的点）在曲线坐标系下的坐标，进而求出HZ′的测量坐标 X′=L-L5÷［40（RLS）2］+L9÷［3456（RLS）4］–L13÷［599040（RLS）6］+L17÷［175472640（RLS）8］- L21÷［7.80337152×1010（RLS）10］ （公式③） Y′=L3÷［6（RLS）］ - L7÷［336（RLS）3］+L11÷［42240（RLS）5］ - L15÷［9676800（RLS）7］+L19÷［3530096640（RLS）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RLS）11］ （公式④） 因为卵形曲线多为小半径的缓和曲线，为保证计算精度要求取公式前6项来计算。公式中L为计算点至HZ'的弧长（此时为YH1点） L对应弦长C=√（X'2+Y'2） 偏角a1=arctg（Y'÷X'） 注：偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。 此时缓和曲线切线角：a2=90L÷（πR） ∴YH1~HZ′切线方位角；T=T YH1+ a2- a1 ∴HZ′测量坐标： X=XYH1+CcosT，Y=YYH1+CsinT ②、HZ′点的切线方位角（X′坐标轴方向）计算 切线方位角：A=T-180+ a1 ③、计算卵形曲线任一点的坐标使用公式⑦、⑧即可 三、计算实例 下面以泉三高速公路三明段大田立交B匝道缓和曲线基本形与卵形中桩坐标计算为例， 已知相关设计数据见下表：R1=50、R2=75 主点 桩号 坐 标 （m） 切线方位角 （θ） X Y ° ’ ” ZH BK0+090 9987.403 10059.378 92 17 26.2 HY1 BK0+160 9968.981 10125.341 132 23 51.6 YH1 BK0+223.715 9910.603 10136.791 205 24 33.6 HY2 BK0+271.881 9880.438 10100.904 251 24 18.5 YH2 AK0+384.032 9922.316 10007.909 337 04 54.2 HZ BK0+444.032 9981.363 10000.000 0 00 00 1、基本形曲线ZH~YH1段计算 A1=√（50*70）=59.161 由ZH点坐标推算HY1点的坐标，若直接利用 Xi′=L-L5/(40R2Ls12) Yi′=L3/(6RLs1) 此时L=Ki-KZH 得Xi′=66.57，Yi′=16.333 代入公式⑤、公式⑥得测量坐标Xi=9968.422 Yi=10125.242 此坐标与设计坐标相差比较大，是由于曲线半径小，计算Xi′、Yi′时公式只取前两项导致的。为此取计算公式前六项，利用公式③、公式④ X′=L-L5÷［40（RLS）2］+L9÷［3456（RLS）4］–L13÷［599040（RLS）6］+L17÷［175472640（RLS）8］- L21÷［7.80337152×1010（RLS）10］ （公式③） Y′=L3÷［6（RLS）］ - L7÷［336（RLS）3］+L11÷［42240（RLS）5］ - L15÷［9676800（RLS）7］+L19÷［3530096640（RLS）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RLS）11］ （公式④） 此时得Xi′=66.639，Yi′=15.762 代入公式⑤、公式⑥得测量坐标Xi= 9968.983 Yi=10125.338 此坐标与设计坐标相比较 ΔX=X计算值-X设计值=9968.983-9968.981=+0.002m ΔY=Y计算值-Y设计值=10125.338-10125.341=-0.003m 2、卵形曲线参数： A22=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1） =（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900 A2=84.999 3、卵形曲线所在缓和曲线要素计算 卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166 卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ′点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）， 建立以HZ′为坐标原点、切线方向为X′轴、半径方向为Y′轴的曲线坐标系（X′O′Y′）。 LS（YH1至HZ'的弧长）=A22÷R1=7224.900÷50=144.498 ∴HZ′桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213 LE=HY2至HZ′的弧长= A22÷R2=7224.900÷75=96.332 卵形曲线长度LF=Ls- LE =144.498-96.332=48.166（校核） HY2=HZ′-LE =368.213-96.332=271.881（校核） 由上说明计算正确 4、HZ′点坐标计算 ①用缓和曲线切线支距公式计算，由于卵形曲线半径一般都比较小，为确保计算精度，计算 公式保留前六项，如下 X′=L-L5÷［40（RLS）2］+L9÷［3456（RLS）4］–L13÷［599040（RLS）6］+L17÷［175472640（RLS）8］- L21÷［7.80337152×1010（RLS）10］ （公式③） Y′=L3÷［6（RLS）］ - L7÷［336（RLS）3］+L11÷［42240（RLS）5］ - L15÷［9676800（RLS）7］+L19÷［3530096640（RLS）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RLS）11］ （公式④） 公式中L为计算点至HZ′的弧长 HZ′：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算， L=LS=HZ′-YH1 =368.213-223.715=144.498 将L= LS 代入公式⑤、公式⑥得： X′=117.1072 Y′=59.8839 L对应弦长C=√（X′2+ Y′2）=131.5301 偏角a1=arctg（Y′÷X′）=27°05’00.2” 缓和曲线切线角：a2=90L÷（πR）=90×144.498÷(π×50)=82°47’28.5” Q3=a2- a1=82°47’28.5”-27°05’00.2”=55°42’28.3” ∴YH1~HZ′切线方位角=205°24’33.6” +Q3=205°24’33.6”+55°42’28.3” =261°07’01.9” ∴HZ′：AK0+368.213坐标： X=XYH1+Ccos261°07’01.9”=9910.603+131.5301 cos261°07’01.9”=9890.293 Y=YYH1+Csin261°07’01.9”=10136.791+131.5301 sin261°07’01.9”=10006.838 5、HZ′：AK0+368.213点的切线方位角（X'坐标轴方向）计算 切线方位角=261°07’01.9”-180+ a1=261°07’01.9”-180+27°05’00.2” =108°12’02.1” 6、计算卵型曲线上任意点坐标(以HZ′:AK0+368.213作为推算起点) ①计算HY2:AK0+271.881的坐标 ∵L= HZ′- HY2=368.213-271.881=96.332代入公式③、公式④得: X′=92.434 Y′=20.022 将此值代入公式⑦、公式⑧ 得X=9880.442 Y=10100.901 ②与设计值比较: ΔX=X计算值-X设计值=9880.442-9880.438=+0.004m ΔY=Y计算值-Y设计值=10100.901-10100.904=-0.003m 同理依次可计算出卵型曲线上其它任意点的坐标。由此可见，采用此方法计算求得的坐标与设计院通过电脑程序计算的结果相差很小，完全可以作为任意卵型曲线的坐标计算。 四、结束语：对于缓和曲线的基本型，我们可以用casio fx-4800等计算器根据数学公式编写程序来方便计算，而对于卵型曲线只有在计算出HZ′点桩号、坐标值及其切线方位角后再借助上述公式进行坐标的计算。 超高渐变率 发表于：2011-05-25 09:53 | 分类：个人日记 阅读：(2) 评论：(0) 超高渐变率: 旋转轴与行车道外侧边缘线之间相对升降的比率. 公式: 超高缓和段长度=旋转轴与行车道外侧边缘线之间距离/2*(路拱横坡+超高坡度/超高渐变率) 反过来 超高渐变率=旋转轴与行车道外侧边缘线之间距离/2*(路拱横坡+超高坡度/超高缓和段长度) 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容