（A卷）
一、选择题（共12小题）.
1．若实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是（ ） A．|a|＞|b|
B．a+c＞b+c
C．a2＞b2
D．ab2＞b3
2．已知数列{an}满足a1＞0，2an+1＝an，则数列{an}是（ ） A．递增数列 3．A．﹣
B．递减数列 的值是（ ） B．0
C．
D．
C．常数列
D．摆动数列
4．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（ a+b+c）＝ab，则∠C的大小为（ ） A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
5．等差数列{an}的前2项和为30，前4项和为100，则它的前6项和是（ ） A．130
B．170
C．210
D．260
6．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°（坡高不变），则斜坡长为________千米．（ ） A．1
B．2sin10°
C．2cos10°
D．cos20°
Sn为其前n项和．S3＝7， 7．设{an}是有正数组成的等比数列，已知a2a4＝1，则S5＝（ ）A．
B．
C．
D．
8．设x，y满足，则z＝x+y（ ）
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值 9．设函数
，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） 10．在△ABC中，如果4sinA+2cosB＝1，A．30°
B．150°
B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）
，则∠C的大小是（ ）
C．30°或150°
D．60°或120°
11．在△ABC中，若角A，B，C所对的三边a，b，c成等差数列，给出下列结论，其正确的结论是（ ） ①b2≥ac； ②b2≥③④0＜B≤A．①②
； ； ．
B．②③
C．③④
D．①④
12．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T＝an成立，则称数列{an}
为周期数列，周期为T．已知数列{an}满足a1＝m（m＞0），，
则下列结论中错误的是（ ）
A．若a3＝4，则m可以取3个不同的值 B．若
，则数列{an}是周期为3的数列
C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{an}是周期为T的数列 D．∃m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数y＝
的定义域是 ．
14．已知1，a，b，c，4成等比数列，则b＝ 15．在△ABC中，A＝60°，b＝12，S△ABC＝18
，则
＝ ．
16．如图（1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图（2）） 有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满． 其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．求值与化简．
（1）已知向量＝（，tanα），＝（cosα，1），且∥．求cos（（2）化简：
﹣
．
+α）的值．
18．已知一个几何体的三视图如图所示． （Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．
19．已知{an}的前n项和为Sn，且Sn+1＝3Sn+2n+1，a1＝1， （1）求an；
（2）若bn＝n（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn．
20．某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？
21．设△ABC的面积为S，且2S+（1）求角A的大小； （2）若|
|＝
•＝0
，且角B不是最小角，求S的取值范围．
q≠1， （q是常数且q＞0，）．
22．已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足（1）求数列{an}的通项公式； （2）当
时，试证明a1+a2+…+an＜；
（3）设函数f（x）＝logqx，bn＝f（a1）+f（a2）+…+f（an），是否存在正整数m，使
对任意n∈N*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理
由．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．若实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是（ ） A．|a|＞|b|
B．a+c＞b+c
C．a2＞b2
D．ab2＞b3
【分析】根据条件分别取a＝1，b＝﹣1和a＝1，b＝0，即可排除错误选项． 解：由a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则可排除A，C， 取a＝1，b＝0，则可排除D． 故选：B．
2．已知数列{an}满足a1＞0，2an+1＝an，则数列{an}是（ ） A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
【分析】直接利用等比数列的定义的应用，数列的通项公式的应用，数列的单调性的应用求出结果．
解：数列{an}满足a1＞0，2an+1＝an， 所以
（常数），
所以数列{an}是以a1＞0为首项，为公比的等比数列， 所以
，
故数列{an}为单调递减数列． 故选：B． 3．A．﹣
的值是（ ） B．0
C．
D．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，求得要求式子的值．解：原式＝故选：D．
4．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（ a+b+c）＝ab，则∠C的大小为（ ）
＝
＝tan30°＝
．
A．60° B．90° C．120° D．150°
【分析】由（a+b﹣c）（a+b+c）＝ab可得c2＝a2+b2+ab，由余弦定理可得，cosC＝
＝可求C的值．
解：∵（a+b﹣c）（a+b+c）＝ab， ∴c2＝a2+b2+ab， 由余弦定理可得，cosC＝∵0°＜C＜180°， ∴C＝120°， 故选：C．
5．等差数列{an}的前2项和为30，前4项和为100，则它的前6项和是（ ） A．130
B．170
C．210
D．260
＝
＝
＝，
【分析】依题意，S2、S4﹣S2、S6﹣S4成等差数列，从而可求得答案． 解：∵等差数列{an}的前2项和为30，前4项和为100，即S2＝30，S4＝100， 又S2、S4﹣S2、S6﹣S4成等差数列， ∴2（S4﹣S2）＝（S6﹣S4）+S2， 即140＝S6﹣100+30， 解得S6＝210， 故选：C．
6．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°（坡高不变），则斜坡长为________千米．（ ） A．1
B．2sin10°
C．2cos10°
D．cos20°
【分析】根据坡长，坡角与坡高的关系列方程解出． 解：设颇高为h，则h＝1•sin20°＝sin20°， 设新斜坡长为x，则x•sin10°＝h＝sin20°， ∴x＝故选：C．
Sn为其前n项和．S3＝7， 7．设{an}是有正数组成的等比数列，已知a2a4＝1，则S5＝（ ）A．
B．
C．
D．
＝2cos10°，
【分析】先由等比中项的性质求得a3，再利用等比数列的通项求出公比q及首项a1，最后根据等比数列前n项和公式求得S5． 解：由a2a4＝a32＝1，得a3＝1， 所以S3＝
＝7，
又q＞0，解得＝2，即q＝．
所以a1＝＝4，
所以＝．
故选：B．
8．设x，y满足，则z＝x+y（ ）
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件
对应的平面区域，根据目标函数z＝x+y及直线2x+y＝4的斜率的关系，即可
得到结论．
【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：
由于z＝x+y的斜率大于2x+y＝4的斜率， 因此当z＝x+y过点（2，0）时，z有最小值， 但z没有最大值． 故选：B． 9．设函数
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ）
B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）
【分析】分x0≥1和x0＜1两种情况考虑，分别将相应的函数解析式代入不等式中求出相应的解集，找出两解集的并集即为所求x0的取值范围． 解：当x0≥1时，f（x0）＝2x0+1，代入不等式得：2x0+1＞1， 解得：x0＞0，
此时x0的范围为x0≥1；
当x0＜1时，f（x0）＝x02﹣2x0﹣2，代入不等式得：x02﹣2x0﹣2＞1， 解得：x0＞3或x0＜﹣1， 此时x0的范围为x0＜﹣1，
综上，x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）． 故选：B．
10．在△ABC中，如果4sinA+2cosB＝1，A．30°
B．150°
，则∠C的大小是（ ）
C．30°或150°
D．60°或120°
【分析】把题设等式分别平方后，相加，然后利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求得sin（A+B）的值，进而求得sinC的值，即可求出结果． 解：∵4sinA+2cosB＝1，2sinB+4cosA＝3 ∴16sin2A+4cos2B+16sinAcosB＝1，①
，
4sin2B+16cos2A+16sinBcosA＝27② ①+②得16+4+16sin（A+B）＝28， ∴sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC＝ 得出∠C＝若C＝所以C＝故选：A．
11．在△ABC中，若角A，B，C所对的三边a，b，c成等差数列，给出下列结论，其正确的结论是（ ） ①b2≥ac； ②b2≥③④0＜B≤A．①②
； ； ．
B．②③
C．③④
D．①④
或
，
，4cosA＜4，2sinB＜1，2sinB+4cosA＝3
，不成立，
，则A+B＝．
【分析】作差，利用基本不等式判断①，作差利用余弦定理判断②，举反例判断③，利用余弦定理判断④．
解：∵a，b，c成等差数列，∴a+c＝2b， 又a，b，c都是正数， ∴b2＝∵b2﹣∴b2≤
＝＝
，故②错误；
＝
，＝，
≥﹣
＝ac，故①正确； ＝
＝﹣
≤0，
若a＝3，b＝4，c＝5，显然故cosB＝
＞，故③错误；
＝
＝
﹣1≥，
＝﹣1，
又b2≥ac，故cosB＝
∴0＜B≤故选：D．
，故④正确．
12．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T＝an成立，则称数列{an}
为周期数列，周期为T．已知数列{an}满足a1＝m（m＞0），，
则下列结论中错误的是（ ）
A．若a3＝4，则m可以取3个不同的值 B．若
，则数列{an}是周期为3的数列
C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{an}是周期为T的数列 D．∃m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列 【分析】利用周期数列的定义，分别进行推理证明．
解：对于选项A，因为，
所以，
因为a3＝4，所以a2＝5或，
又因为，a1＝m，所以m＝6或m＝或m＝，所以选项A
正确； 对于选项B，
，
所以数列{an}是周期为3的数列，所以选项B正确； 对于选项C，当B可知当故错误的是D． 故选：D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
＞1时，数列{an}是周期为3的周期数列，所以C正确．
＞1，所以
；所以
，所以
13．函数y＝的定义域是 {x|x≤﹣1或x≥5} ．
【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足x2﹣4x﹣5≥0，解出x的范围即可． 解：要使原函数有意义，则x2﹣4x﹣5≥0，解得x≤﹣1或x≥5， ∴原函数的定义域为{x|x≤﹣1，或x≥5}． 故答案为：{x|x≤﹣1或x≥5}．
14．已知1，a，b，c，4成等比数列，则b＝ 2
【分析】由题意利用等比数列的定义、性质，求得b的值． 解：∵已知1，a，b，c，4成等比数列，∴b2＝ac＝1×4，b＞0， ∴b＝2， 故答案为：2．
15．在△ABC中，A＝60°，b＝12，S△ABC＝18
，则
＝ 12 ．
【分析】先根据面积公式求出c＝6，再根据余弦定理求出a的值，再根据正弦定理即可求出．
解：△ABC中，A＝60°，b＝12，S△ABC＝18∴S△ABC＝bcsinA＝×12c×解得c＝6，
由余弦定理可得a2＝c2+b2﹣2bccosA＝36+144﹣2×12×6×＝108， 则a＝6
，
＝
＝
＝2R＝
＝12，
＝18
，
，
由正弦定理可得
∴
故答案为：12．
＝＝2R＝12，
16．如图（1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图（2）） 有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满． 其中真命题的代号是： BD （写出所有真命题的代号）．
【分析】设出图（1）的水高，和几何体的高，计算水的体积，容易判断A、D的正误；对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，根据体积判断它是正确的． 根据当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，计算水的体积和实际不符，是错误的． 解：设图（1）水的高度h2几何体的高为h1 图（2）中水的体积为b2h1﹣b2h2＝b2（h1﹣h2），
所以b2h2＝b2（h1﹣h2），所以h1＝h2，故A错误，D正确． 对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上， 又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确． 对于C，假设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时， 经计算得水的体积为故选BD
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．求值与化简．
（1）已知向量＝（，tanα），＝（cosα，1），且∥．求cos（（2）化简：
﹣
．
+α）的值．
b2h2＞b2h2，矛盾，故C不正确．
【分析】（1）根据向量的平行可得sinα＝，再根据诱导公式即可求出； （2）根据两角差的正弦公式，二倍角公式即可求出．
解：（1）向量＝（，tanα），＝（cosα，1），且∥，
则tanαcosα＝，即sinα＝， 则cos（
+α）＝﹣sinα＝﹣；
（2）﹣＝＝
＝＝4．
18．已知一个几何体的三视图如图所示． （Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．
【分析】（I）几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，由三视图判断圆锥与圆柱的底面半径与母线长，根据其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和，代入公式计算；
（II）利用圆柱的侧面展开图，求得EB的长，再利用勾股定理求AB的圆柱面距离． 解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2
、4，
其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和． S圆锥侧＝×2π×2×2
＝4
π；
S圆柱侧＝2π×2×4＝16π； S圆柱底＝π×22＝4π． ∴几何体的表面积S＝20π+4
π；
（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图： 则AB＝
＝
＝2
，
．
∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2
19．已知{an}的前n项和为Sn，且Sn+1＝3Sn+2n+1，a1＝1， （1）求an；
（2）若bn＝n（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）由Sn+1＝3Sn+2n+1可得到Sn＝3Sn﹣1+2n﹣1，然后两式相减可得到Sn+1﹣Sn＝3（Sn﹣Sn﹣1）+2，即an+1＝3an+2，再两边同时加1可得到an+1+1＝3（an+1），得到数列{an+1}为等比数列，由等比数列的通项公式得答案； （2）求得bn，再由错位相减法，可得数列{bn}的前n项和Tn． 解：（1）由已知Sn+1＝3Sn+2n+1， 得n≥2时，Sn＝3Sn﹣1+2n﹣1，
两式相减，得Sn+1﹣Sn＝3（Sn﹣Sn﹣1）+2， 即an+1＝3an+2，从而an+1+1＝3（an+1）． 又a1+1＝2≠0，
即{an+1}是以a1+1＝2为首项，3为公比的等比数列． 则an+1＝2•3n﹣1， ∴an＝2•3n﹣1﹣1；
﹣
（2）bn＝n（an+1）＝2n•3n1，
Tn＝2•1+4•3+6•32+…+2n•3n﹣1，① 3Tn＝2•3+4•32+6•33+…+2n•3n，②
①﹣②得，﹣2Tn＝2+2（3+32+…+3n﹣1）﹣2n•3n ＝2+2•
﹣2n•3n，
化简可得Tn＝．
20．某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？
【分析】（1）利用扇形的弧长公式，结合环面的周长为30米，可求θ关于x的函数关系式；
（2）分别求出花坛的面积、装饰总费用，可求y关于x的函数关系式，换元，利用基本不等式，可求最大值．
解：（1）由题意，30＝xθ+10θ+2（10﹣x）， ∴θ＝
（0＜x＜10）；
﹣
＝
＝（10﹣x）（5+x）；
（2）花坛的面积为
装饰总费用为xθ•9+10θ•9+2（10﹣x）•4＝9xθ+90θ+8（10﹣x）＝170+10x， ∴花坛的面积与装饰总费用的比为y＝令17+x＝t， 则y＝
∴当x＝1时，y取得最大值21．设△ABC的面积为S，且2S+（1）求角A的大小；
，当且仅当t＝18时取等号，此时x＝1，θ＝．
•
＝0
，
．
（2）若||＝，且角B不是最小角，求S的取值范围．
cosA＝0，从而有tanA＝﹣
，即可求角A的大小；
）﹣
，又2B+
∈
【分析】（1）化简可得sinA+
c＝2sinC，（2）由已知和正弦定理得b＝2sinB，故S＝（
，
）即可求得S∈（0，
）．
sin（2B+
解：（1）设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c由2S+得2×所以tanA＝﹣
，
．
，即有sinA+
cosA＝0，
，
又A∈（0，π），所以A＝
（2）因为||＝，所以a＝，由正弦定理，得，
所以b＝2sinB，c＝2sinC， 从而S＝bcsinA＝＝
sinB（
，
sinBsinC＝
sinBsin（（，
sin2B﹣
）
）＝
sin（2B+）
）﹣
cosB﹣sinB）＝），2B+
∈（
又B∈（），所以S∈（0，
22．已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足（1）求数列{an}的通项公式； （2）当
时，试证明a1+a2+…+an＜；
q≠1， （q是常数且q＞0，）．
（3）设函数f（x）＝logqx，bn＝f（a1）+f（a2）+…+f（an），是否存在正整数m，使
对任意n∈N*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理
由．
【分析】（1）由an＝Sn﹣Sn﹣1＝
（an﹣1﹣1），知
，由S1＝
a1＝（a1﹣1）得a1＝q，由此知an＝q•qn﹣1＝qn．
（2），由此能证明出a1+a2+…+an＜．
（3）bn＝logqa1+logqa2+logqan＝logq（a1a2an）＝
＝
能求出m的值．
解：（1）当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝
（an﹣1﹣1） ，所以
，，由此
⇒
又由S1＝a1＝（a1﹣1）得a1＝q
∴数列an是首项a1＝q、公比为q的等比数列，∴an＝q•qn﹣1＝qn
（2）
＝
（3）bn＝logqa1+logqa2+logqan＝logq（a1a2an）＝∴∴∵n＝1时∴m≤3 ∵m是正整数，
∴m的值为1，2，3．（16分）
，即
，
＝
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