长沙理工大学线性代数考试试卷及答案

长沙理工大学模拟考试试卷

………………………………………………………………………………………………………………

试卷编号 1 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名

………………………………………………………………………………………………………………

课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011

专 业 全校各专业 层次（本、专） 本科 考试方式（开、闭卷） 闭卷

一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。每小题2分，共10分）

1.设n阶方阵A,B,C可逆且满足ABCE，则必有 CBAE （ ） 2.设x1,x2是AXb的解，则x12是AXb的解 （ ） 3.若矩阵A的列向量组线性相关，则矩阵A的行向量组不一定线性相关 （ ） 4.设x表示向量x的长度，则

xx （ ）

5.设x1,x2是AXb的解，则x12是AX0的解 （ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)

2141.计算行列式 3130＝ ； 212.若,为Xb,(b0)的解，则或必为 的解；

3.设n维向量组:1,2,,m，当mn时，一定线性 ，含有零向量的向量组一定线性 ；长沙理工大学二手货QQ交易群146 808 417

24.设三阶方阵有3个特征值2，1，-2，则的特征值为 ； 三、计算题（每小题10分，共60分）

21111.

121111211112；

第 1 页（共 2 页）

x1x2a1xxa2322.若线性方程组有解，问常数a1,a2,a3,a4应满足的条件

x3x4a3x4x1a43.设1,2,,s是方程组Xb的解向量(b0)，若k11k22kss也是的解，则

k1k2ks ；

x1x22x3x404.求齐次线性方程组2x12x23x33x40的基础解系；

xxx2x023415.已知矩阵A223112与矩阵相似，求x,y的值； Bxy342226.设fx1x25x32ax1x22x1x34x2x3为正定二次型，求a.

四、证明题（10分）：

设向量组1,2,3线性无关，长沙理工大学二手货QQ交易群146 808 417

证明1,12,123线性无关。

长沙理工大学模拟试卷标准答案

课程名称： 线性代数 试卷编号：1

一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。每小题2分，共10分） 1，× 2，× 3，√ 4, × 5, √

二、填空题：(每小题5分，共20分)

1，42；2，X0；3，相关，相关；4，4，1，4. 三、计算题（每小题10分，共60分）

2111511111111.

1211=

5211121111215121=5

1121 1112511211121111=5

01000010＝5 00011100a12.(Ab)0110a20011a3 1001a41100a10110a20011a3 0000aa12a3a4 若有解，则A的秩与(Ab)的秩相等，即a1a2a3a40。 1121r2r11213.20341r2134r10276r3r2042102740 ∴(1) 当2时，矩阵的秩为2； (2) 当2时，矩阵的秩为3.

（5分）

（5分）

（2分） （5分） （3分）

121276（6分）

002（2分） （2分） 第 1 页（共 3 页）

4.对系数矩阵作作初等行变换

11211121r22r10011 2233rr111231001111211103r2(1)r12r200110011

r3r200000000x1x23x4得同解方程组 

x0xx243x113x210令 ，； 得 0，1 xx0143基础解系为：11100T,23011

T5.解：∵A与B相似，∴ 特征多项式相同，即 AEBE 亦即 AE22x31y(22)(y)31x

24 BE13(1)(4)6

(22)(y)31x(1)(4)6x12,y17

1a16.解：f的矩阵为 Aa12

125 ∵ f为正定二次型，∴ A的各阶主子式大于0． 即 a111＞0，

a11a21a12a221aa11a2＞0

1 Aaa112a(5a4)＞0 512 第 2 页（共 3 页）

解联立不等式组 1a＞0 或 a(5a4)＜0 1＜a＜1或 45＜a＜0 24＜a＜0 5 即当 4＜a＜0时，f为正定二次型． 、证明题（10分）：

证明：设存在一组数k1,k2,k3使得k11k2(12)k3(123)0

(k1k2k3)1(k21k2)2k330，（3分）

又向量组1,2,3线性无关，

k1k2k30因此k2k30k10,k20,k30，（7分）

k30由此可知，只有当k10,k20,k30时，

等式k11k2(12)k3(123)0才成立， 即向量组1,12,123线性无关。（10分）

第 3 页（共 3 页）

长沙理工大学模拟考试试卷

………………………………………………………………………………………………………………

试卷编号 2 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 ………………………………………………………………………………………………………………

课程名称（含档次）线性代数 课程代号

专 业 层次（本、专） 考试方式（开、闭卷） 闭

卷

一、判断题：(正确填√,错误填×. 每小题２分，共10分)

1.A,B是n阶矩阵，则ABBA；（ ）

2.若A,B均为n阶矩阵，则R(AB)R(A)R(B)；（ ） 3.向量组1,2,,s线性相关，则至少含有一个零向量；（ ）

4.若1,2是齐次线性方程组AX0的两个线性无关解向量，则k11k11不是AX0的解； （ ）

5.设A为n阶矩阵，则A与A2具有相同的特征向量。（ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)

1.若行列式Dnaija，则Daij ；

12.2123 ； 33.设向量组T：1,2,,m，若T线性相关，则秩T m；若T线性无关，则秩T m; 4.如果三阶矩阵对应于特征值1,2,3的特征向量为p1,p2,p3，令(p1,p2,p3)，则 。

三、计算题：(每小题10分，共60分)

1 第 1 页（共 2 页）

ab1.bdaccdcfaede； efbf32.计算2123 ；

11121x13.设A23a2,b3,xx2,若线性方程组Axb无解,则a ；

1a20x32x1x2x3x414.求解非齐次线性方程组:4x12x22x3x42；

2xxxx1123431，22，5.设3阶矩阵A的特征值为12，对应的特征向量依次为

011p11，p21，p31,

110求A；

226.用配方法化二次型f2x1x24x1x24x2x3为标准形，并求所用的可逆变换矩阵．

四、证明题：(10分)

设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BAB也是对称矩阵.

T

第 2 页（共 2 页）

长沙理工大学模拟试卷标准答案

课程名称： 线性代数 试卷编号：2

一、判断题（每小题2分，共10分） 1，√，2，√，3，×，4，×，5，√； 二、填空题：(每小题5分，共20分)

1231n1，(1)a；2，246；3，Tm,Tm；4，03690三、计算题（每小题10分，共60分）

02000 3ab1.bdaccdcf1aeef1111afadfad （4分）

fdebcedbfabcdef1114abcdef；（10分） 12.(A2E)XA （2分）  A2E20,A2E可逆

X(A2E)A （5分）

1110110100011A2E,A011011010101 （8分）

101101001110011X101 （10分）

110121112013.解 A36130010 （5分）

510150000x12x2x4xx22 x30x4x4 （7分）

第 1 页（共 3 页） x121x120k2 通解为k1x30001x43211111326024.a1,a2,a3,a4151100031a2a00当a2时，R(a1,a2,a3,a4)34

向量组a1,a2,a3,a4线性相关. （10分）

214（5分）

100a23011Pp,p,p1115. 解 令，P可逆 123110001110010011 P,E111010010111

110001001011011 P111 （4分）

011223312P（6分）453 （10分） AP44216.解：f2(x1x2)x24x2x3=2(x1x2)(x22x3)4x3 （4分）

22222y1x1x2x1y1y22y3x22x3, 即x2y22y3 （6分） 令y2yxx3y333则原二次型化为标准形

22f2y12y24y3 （8分）

可逆变换矩阵

第 2 页（共 3 页）

112C012 （10分）

001四、证明题：（10分）

证明：因为(BAB)BA(B)BAB （8分） 所以BAB也是对称矩阵。 （10分）

第 3 页（共 3 页）

TTTTTTTT长沙理工大学模拟考试试卷

………………………………………………………………………………………………………………

试卷编号 3 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 ………………………………………………………………………………………………………………

课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 专 业 层次（本、专） 考试方式（开、闭卷） 闭卷

一、判断题：(正确填√,错误填×. 每小题２分，共10分) 1.若五阶方阵的行列式

的行列式

，则

；（ ）

2.设 为 阶方阵，

不能用向量

为 阶单位阵，则

表示，则

线性无关；（ ）

；（ ）

3.若向量

4.任何一个齐次线性方程组都有解；（ ） 5.若

均为 阶正交矩阵，则

也必为正交矩阵。（ ）

二、填空题：(每小题5分，共20分) 1.若 阶方阵

中有一列向量是其余列向量的线性组合，则

；

2.若有 阶可逆矩阵 3.齐次线性方程组 4.设

，则 可逆，

的逆矩阵为 ；

的基础解系中的解向量一定线性 ；

则 由

表示是为 = 。

三、计算题：(每小题10分，共60分)

1.

；

2.设

，求

；

3.已知三阶方阵 且

的每一个列向量都是

的解，1）

求 的值，2）求

；

第 1 页（共 2 页）

4.求矩阵

5.设三阶矩阵

的特征值为

的行向量组的一个最大无关组；

，对应的特征向量为

，求

；

6.写出二次型 是否为正定。

的矩阵

，并判断

四、证明题：(10分)

若

线性无关，试证

也线性无关。

长沙理工大学模拟试卷标准答案

课程名称： 线性代数 试卷编号：3

一，判断题（每小题2分，共10分） 1，√，2，√，3，×， 4，√，5，×； 二：填空题：(每小题5分，共20分)

A*1，0；2，；3，无关；4，23；

A三：计算题（每小题10分，共60分）

11112413果（3分） 9根据范德蒙行列式的结1121，原式11411882711161681（10分） (11)(21)(21)(31)(21)(21)(31)(22)(32)(32)2880；

5001015522，AB（4分） 00,（3分）BA2010,（3分）A3010；

3，（1）根据已知B0，可知方程组有非零解，

1则系数行列式2211201；（6分）

13（2）因为已知齐次方程组有非零解，则解空间的维数2，所以B0；（4分）

112102214， 3182130211121111102211024022110000221100111211（6分） 000000因此第一列与第二列是一个最大无关组；（10分）

10015，根据已知存在矩阵Pp1,p2,p3，使得PAP000，（4分）

001

第 1 页（共 2 页）

110012210091 所以AP000P2210002900131200129594929452999292（10分）

98992919291（8分） 929211156，A00020002，（5分） 1000因为10,1140,115011050040，A40，（9分） 1因此f既非正定也非负定；（10分） 四：证明题：（10分）

证明；设存在一组数设k1,k2,k3使得k1(2)k2(2)k3(2)0，（3分）

(k12k3)(2k1k2)(2k2k3)0，（4分）

k12k30又向量组1,2,3线性无关，因此2k1k20k10,k20,k30，（9分）

2kk032由此可知，2,2,2也线性无关。（10分）

第 2 页（共 2 页）