实变函数测试题与答案

实变函数测试题

一，填空题

An1. 设An,2, n1,2, 则limnn1.

2. a,b,,因为存在两个集合之间的一一映射为

.

1cos,x0y2x3. 设E是R中函数的图形上的点所组成的 集合，则

0,x0E，E.

4. 若集合ERn满足EE, 则E为集.

5. 若,是直线上开集G的一个构成区间, 则,满足:

, .

6. 设E使闭区间a,b中的全体无理数集, 则mE7. 若mE.

fn(x)f(x)0, 则说fn(x)在E上

.

8. 设E聚点. 9. 设

nRn, x0R,若,则称x0是E的

fn(x)是E上几乎处处有限的可测函数列,

f(x)是E上 几乎处处

有限的可测函数, 若0, 有

, 则称fn(x)在E上依测度收敛于f(x).

10. 设

fn(x)f(x),xE, 则

fn(x)的子列fn(x), 使得

j 1

.

二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若

A,B可测, AB且AB,则mAmB.

2. 设E为点集, PE, 则P是E的外点.

13. 点集E1,2,,的闭集.

n4. 任意多个闭集的并集是闭集. 5. 若ERn,满足m*E, 则E为无限集合. ABCABAC

3三, 计算证明题 1. 证明:

2. 设M是R空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M为可数集. 3. 设E

Rn,EBi且Bi为可测集, i1,2.根据题意, 若有

3ln1x,xPf(x). 2x,x0,1Pm*BiE0,i, 证明E是可测集.

4. 设P是Cantor集,

1求(L)0f(x)dx.

f(x)在Cantor集P0中点x上取值为x3, 而在P0的余集中长为

,

5. 设函数

13n1的构成区间上取值为n6n1,2, 求



10f(x)dx.

nx3lim(R)sinnxdx. 2301nxn16. 求极限:

2

实变函数试题解答

一 填空题 1.

0,2.

xa,xa,b. 2. (x)tan2ba3.

1(x,y)ycos,x0(0,y)y1x; .

4. 闭集.

5. ,G.G,G. 6.

ba.

f(x) 或 a.e.收敛于f(x).

7. 几乎处处收敛于8. 对9.

00,U(x0,)有Ex0.

limmEfn(x)f(x)0 n10.

fn(x)f(x)a.e.于E.

二 判断题 1. F. 例如,

A(0,1), B0,1, 则AB且AB,但

mAmB1.

2. F. 例如,

0(0,1), 但0不是(0,1)的外点.

3. F. 由于E0E.

14. F. 例如, 在R 中,

11Fn,1, n3,4是一系列的闭集, 但

nn是

Fn3n(0,1)不是闭集.

3

5. T. 因为若E为有界集合, 则存在有限区间I,

***mEmII,mE. 则于

I, 使得EI,

三, 计算证明题. 1. 证明如下:

ABCABSCBSCASBCASBACABAC

AS

2. M中任何一个元素可以由球心(x,跑遍所有的正有理数,

集都是可数集, 故M为可数集. 3. 令BBi, 则Eiy,z), 半径为r唯一确定, x,y, zr跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数

BBi且B为可测集, 于是对于i, 都有

BEBiE, 故0m*BEm*BiE

*mBE0, 故BE可测. 从而 令i, 得到

EBBE可测.

4.已知mP0, 令G0,1P, 则

10PG(L)f(x)dx(L)ln1x3dx(L)x2dx(L)PGf(x)dxG(L)x2dx(L)x2dx(R)f(x)dx01x331013.

4

5.将积分区间

0,1分为两两不相交的集合: P0, G1, G2, 其中P0为

1Gn是P0的余集中一切长为n3的构成区间(共有2n1Cantor集,

个)之并.

由L积分的可数可加性, 并且注意到题中的mP00, 可得

10f(x)dxP0f(x)dxf(x)dxf(x)dxn1Gnf(x)dxf(x)dx1dxn612n1n63nP0n1G0P0n1G0n11mGnn6n1n111129n161nxnx33sinnx(R)sinnxdx存在且6.因为在0,1上连续, 232301nx1nx1nx3(L)sin与01n2x3nxdx的值相等. 易知

nxnx2nx113sinnx. 2323231nx1nx1nx2x2x111dx收敛，则 由于在0,1上非负可测， 且广义积分02x2x1nx3limsinnx0， x0,1，在0,1上(L)可积， 由于n231nx2x于是根据勒贝格控制收敛定理，得到

1nxnx33lim(R)sinnxdxlim(L)sinnxdx01n2x301n2x3nn1nx3limsinnxdx. 0n1n2x31320dx001 5