2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题(解析版)

一、单选题

rrrr1．已知向量a(2,3)，b(m,4)，若a，b共线，则实数m（ ）

A．6 【答案】C

【解析】利用向量平行的性质直接求解． 【详解】

B．

838C．

3D．6

rrrrQ向量a(2,3)，b(m,4)，a,b共线，

m4， 238

解得实数m．

3

故选：C． 【点睛】

本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．已知a,bR，若关于x的不等式x2axb0的解集为1,3，则ab（ ）A．7 【答案】B

【解析】由韦达定理列方程求出a，b即可得解． 【详解】

由已知及韦达定理可得，a13，b13， 即a4，b3， 所以ab1． 故选：B． 【点睛】

本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等，属于一般基础题．3．已知等差数列an的前n项和为Sn，且S24，S416，则a5a6（ ） A．11 【答案】C

【解析】可利用等差数列的性质S2，S4S2，S6S4仍然成等差数列来解决．

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B．16

C．20

D．28

B．1

C．1

D．7

【详解】

Q{an}为等差数列，前n项和为Sn，

S2，S4S2，S6S4成等差数列，2(S4S2)S2(S6S4)，

又S24，S416，244S6S4a5a64，a5a620． 故选：C． 【点睛】

本题考查等差数列的性质，关键在于掌握“等差数列中Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等差数列”这一性质，属于基础题．

4．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（ ） A．600 【答案】B

【解析】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k和2k，则

B．800

C．1000

D．1200

3k2k1030，继而算出抽到的各年级人数，再根据分层抽样的原理可以推得该校

高二年级的人数． 【详解】

根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k和2k，则

3k2k1030，

即k4，

所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人， 则该校高二年级学生人数为3000故选：B． 【点睛】

本题考查分层抽样的方法，属于容易题． 5．已知变量x，y的取值如下表： x y 1 10 2 15 3 30 4 45 5 50 8800人． 30第 2 页 共 14 页

$3，由散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归直线的方程为$据此可预测：ybx当x8时，y的值约为（ ） A．63 【答案】C

B．74

C．85

D．96

ˆ，【解析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得b取x8求得y值

即可． 【详解】 由题得x12345101530455030． 3，y55故样本点的中心的坐标为(3,30)， ˆ30311． ˆ3，得bˆbx代入y3ˆ118385． ˆ11x3，取x8，得yy故选：C． 【点睛】

本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6．已知非零实数a，b满足ab，则下列不等关系一定成立的是（ ） A．

【答案】D

【解析】根据不等式的基本性质，一一进行判断即可得出正确结果． 【详解】 A.

11 abB．abab C．a2b2D．a3ab2a2bb3

11，取a1b1，显然不成立，所以该选项错误； abB. abab，取a1,b1，显然不成立，所以该选项错误； C. a2b2，取a2,b3，显然不成立，所以该选项错误；

D. a3ab2a2bb3，由已知a2b20且ab，所以a(a2b2)b(a2b2)， 即a3ab2a2bb3．所以该选项正确. 故选：D． 【点睛】

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本题考查不等式的基本性质，属于容易题．

7．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A满足条件的ABC的个数为（ ） A．0 【答案】B

【解析】直接由正弦定理分析判断得解. 【详解】

B．1

C．2

D．无数多个

4，a5，c4，则

22,sinC2sinA,CA, 由正弦定理得2sinC522所以C只有一解，所以三角形只有一解. 故选：B 【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．已知等比数列an的前n项和为Sn，若S33，S621，则a1（ ） A．2 【答案】C

【解析】利用等比数列{an}的前n项和公式列出方程组，能求出首项． 【详解】

B．1

C．1

D．2

Q等比数列{an}的前n项和为Sn，S33，S621，

a1(1q3)3S31q， 6Sa1(1q)2161q解得a11，q2． 故选：C． 【点睛】

本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

9．某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上

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的人数为（ ）

A．10 【答案】C

B．20 C．40 D．60

【解析】由频率分布直方图求出这1000名学生中成绩在130分以上的频率，由此能求出这1000名学生中成绩在130分以上的人数． 【详解】

由频率分布直方图得这1000名学生中成绩在130分以上的频率为： 1(0.0060.0140.020.008)200.04，

则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为10000.0440人． 故选：C． 【点睛】

本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2ab2ccosB，则C（ ） A．

 2B．

 3C．

 4D．

 6【答案】B

【解析】由题意和余弦定理可得a2b2c2ab，再由余弦定理可得cosC，可得角

C的值．

【详解】

Q在ABC中，2ccosB2ab，

a2c2b2由余弦定理可得2c2ab，

2aca2b2c2ab，

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a2b2c21cosC，

2ab2又C(0,)，

C3．

故选：B． 【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，考查了转化思想，属基础题． 11．已知a1，b0，a2b1，则

12的最小值为（ ） a1bC．7

D．9

A．

7 2B．

9 2【答案】B

【解析】根据条件可知a10，b0，a12b2，从而得出2(1212122b2(a1))(a12b)()14…9，的这样便可得出a1ba1ba1ba1b最小值． 【详解】

Qa1；

a10，且b0，a2b1；

a12b2；

2(12122b2(a1)2b2(a1))(a12b)()14…52g9，当a1ba1ba1ba1b且仅当a1b2时等号成立； 3129…； a1b2912的最小值为． a1b2故选：B． 【点睛】

考查基本不等式在求最值中的应用，注意应用基本不等式所满足的条件及等号成立的条件．

12．已知,R，ABC所在平面内一点P满足

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uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurABACBCCB|BP|ruuurACuuuruuur，则uuur（ ） APABuuu|CP||AB||BC||AC||CB|B2 A．

Csin2sin【答案】D

【解析】由平面向量基本定理及单位向量可得点P在ABC的外角平分线上，且点P在ACB的外角平分线上，PBCB2 B．

Ccos2cosC2 C．

Bsin2sinC2 D．

Bcos2cosB2，PCBC2，在PBC中，由正弦定

Cuuurcos|BP|sinPCB2r理得uuu得解．

BsinPBC|CP|cos2【详解】

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurABBCACCBuuuruuuruuuruuur APABAC因为|AB||BC||AC||CB|uuuruuuruuuruuuruuuruuurABACBCCBruuur,CPuuuruuur， 所以BPuuu|AB||BC||AC||CB|uuuruuurABBCruuur方向为ABC外角平分线方向， 因为uuu|AB||BC|所以点P在ABC的外角平分线上， 同理，点P在ACB的外角平分线上，

PBCB2，PCBC2，

Cuuurcos|BP|sinPCB2 r在PBC中，由正弦定理得uuu，|CP|sinPBCcosB2故选：D． 【点睛】

本题考查了平面向量基本定理及单位向量，考查向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

二、填空题

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13．不等式

2x10的解集为_________. x【答案】,1(0,) 2【解析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式，求出解集． 【详解】

2x10同解于x(2x1)0 x1解得x或x0

21故答案为：(,)U(0,)

2【点睛】

本题考查解分式不等式，利用等价变形转化为整式不等式是解题的关键．

14．甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为_________. 【答案】

1 3【解析】利用古典概型的概率求解. 【详解】

甲、乙两人选择交通工具总的选择有339种，他们选择相同交通工具有3种情况，所以他们选择相同交通工具的概率为故答案为：【点睛】

本题考查古典概型，要用计数原理进行计数，属于基础题．

15．当实数a变化时，点P2,1到直线l:a1xy12a0的距离的最大值为_______. 【答案】25 【解析】由已知直线方程求得直线所过定点，再由两点间的距离公式求解． 【详解】

由直线l:(a1)xy12a0，得a(x2)xy10，

31． 931． 3x20x2联立，解得．

xy10y1第 8 页 共 14 页

直线l恒过定点(2,1)，

P到直线l的最大距离d(22)2(11)225．

故答案为：25． 【点睛】

本题考查点到直线距离最值的求法，考查直线的定点问题，是基础题． B，C所对的边分别为a，b，c，16．在ABC中，角A，若ABC的面积为则cosBsinC的最大值为________. 【答案】3 【解析】先求得A的值，再利用两角和差的三角公式和正弦函数的最大值，求得

3bccosA，6cosBsinC的最大值．

【详解】

ABC中，若ABC的面积为331，A． bccosAbcgsinA，tanA62631331cosBsinCcosBsin(AB)cosBsin(B)cosBcosBsinB3(cosBsinB)622223sin(B)„3，

3当且仅当B6时，取等号，故cosBsinC 的最大值为3，

故答案为：3． 【点睛】

本题主要两角和差的三角公式的应用和正弦函数的最大值，属于基础题．

三、解答题

17．学生会有A、B、C、D、E、F共6名同学,其中4名男生2名女生,现从中随机选出2名代表发言.求：

1A同学被选中的概率；

2至少有1名女同学被选中的概率.

【答案】（1）

13（2）

53【解析】(1)用列举法列出所有基本事件,得到基本事件的总数和A同学被选中的,然后用古典概型概率公式可求得;

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(2)利用对立事件的概率公式即可求得. 【详解】

解： 1选两名代表发言一共有A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B,D,

B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F共15种情况,

其中.A被选中的情况是A,B,A,C,A,D,A,E,A,F共5种. 所以A被选中的概本为

51. 1532不妨设A, B, C, D四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:

A,B,A,C,A,D,B,C,B,D,C,D共6种,

则至少有一名女同学被选中的概率为163. 155【点睛】

本题考查了古典概型的概率公式和对立事件的概率公式,属基础题. 18．设等差数列an的前n项和为Sn，S77，a2a128. （1）求an；

（2）设bn2n，求数列bn的前n项和.

an2【答案】（1）ann3（2）Tn21 4【解析】（1）在等差数列{an}中根据S77，a2a128，可求得其首项与公差，从而可求得an；

（2）可证明{bn}为等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可． 【详解】

（1）a2a128a74QS7a12da7a11 6a1a7g77 2an2n1n3；

a（2）Qann3，bn2n

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bn2n3

112n1. 所以

Tn42n2124【点睛】

本题考查等比数列的前n项和，着重考查等差数列的性质与通项公式及等比数列的前n项和公式，属于基础题．

19．近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x（年）和所支出的维护费用y（万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y对x呈线性相关关系.

（1）求出y关于x的回归直线方程$y$bx$a；

（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？

参考公式：对于一组数据x1,y1，x2,y2，…，xn,yn，其回归方程$y$bx$a的

斜率和截距的最小二乘估计分别为b$xyii1ninxynx2x21$ybx$. ,aˆ0.7x0.35（2）使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元 【答案】（1）yˆ与aˆ的值，则线性回归方程可求；【解析】（1）由已知图形中的数据求得b（2）直接由

ˆ0.7x0.3510求得x的范围得答案． y【详解】 （1）x2.5344.534563.5， 4.5，y44ˆ32.5435464.544.53.50.7， b3242526244g52ˆ3.50.74.50.35． aˆ0.7x0.35； 故线性回归方程为y第 11 页 共 14 页

ˆ0.7x0.3510，解得x13（2）由y11． 14故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元． 【点睛】

本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．

D为AC延长线上一点，20．如图，在ABC中，且AD23，ABC90，BD6，1sinADB.

3

（1）求AB的长度； （2）求ABC的面积. 【答案】（1）AB2（2）2 2【解析】（1）求得cosD，在ABD中运用余弦定理可得所求值；（2）在ABD中，求得cosA，sinA，AC，再由三角形的面积公式，可得所求值． 【详解】

（1）由题意可得cosD1sin2D22， 3在ABD中，由余弦定理可得AB2AD2BD22ADgBDcosD 1262236222，则AB32；

AB2AD2BD221266（2）在ABD中，cosA，

2ABgAD322g23sinA1cos2AAB3，AC3cosA12123，

32． 32ABC的面积为SABgACsinAg2g3g【点睛】

本题考查三角形的余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，考查方程思想和运算能力．21．在平面直角坐标系中，ABC的顶点A1,3、B3,4，边AC上的高线所在

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的直线方程为2x3y60，边BC上的中线所在的直线方程为2x3y70. （1）求点B到直线AC的距离； （2）求ABC的面积. 【答案】（1）213（2）13

【解析】（1）由题意求得AC所在直线的斜率再由直线方程点斜式求AC的方程，然后利用点到直线的距离公式求解；（2）设C的坐标，由题意列式求得C的坐标，再求出

|AC|，代入三角形面积公式求解．

【详解】

（1）由题意，kAC33，直线AC的方程为y3(x1)，即3x2y90． 22|332(4)9|3222点B到直线AC的距离d213；

（2）设C(m,n)，则BC的中点坐标为(m3n4,)， 223m2n90m1则，解得，即C(1,6)， m3n42370n622|AC|(11)2(36)213．

∴ABC的面积S|AC|gd13．

【点睛】

本题考查点到直线的距离公式的应用，考查点关于直线的对称点的求法，是基础题． 22．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1121aan. ，n123nan5（1）证明：数列13n为等比数列； an1.

2(61)（2）证明：Sn【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】（1）将已知递推式取倒数得

123n，，再结合等比数列的定义，即可得an1an证；（2）由（1）得an1，再利用基本不等式以及放缩法和等比数列的求和公

3n2n式，结合不等式的性质，即可得证．

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【详解】 （1）a1可得

1aan，n1， n23a5n123n， an1an11n132(3n)， 即有an1an可得数列{13n}为公比为2，首项为2的等比数列； an13n2n， （2）由（1）可得an即an1， nn3212(6)n由基本不等式可得3n2n2(6)n，an，

111(1)n1611(6)g6即有Sna1a2ang． 11222(61)1166【点睛】

本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式、考查构造数列法以及放缩法的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．

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