基本不等式

基本不等式：ab2

abab2

一 基本不等式ab22ab2ab(a,bR) （1）重要不等式

22 一般地，对于任意实数a,b，都有ab2ab，当且仅当ab时等号成立.

22注：①取等的条件是ab，若果a,b不能相等，则ab2ab中的等号不能成立.

a2b2ab2abab()2222(ab)(ab)22②重要不等式可变形为，，.

6222例：已知实数a,b,c满足abc0，abc1，则a的最大值是_____.3

（2）基本不等式abab(a,bR)2

基本不等式公式：如果a0,b0，那么abab2，当且仅当ab时，等号成立.其中

ab2叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做正数a,b的几何平均数.

注：①基本不等式成立的条件是：a0,b0.

ab2)2.

②基本不等式可变形为：ab2ab，

ab(

例1 若a0,b0，证明

a2b2ab2ab1122ab

.

例2 下列说法正确的是（）

2x的最小值为22. A.函数

yxB.函数

ysinx2(0x)sinx

的最小值为22. 2xC.函数

yx的最小值为22. D.函数

ylgx2lgx的最小值为22. 11x2x2x练习1下列不等式：①x；②；③若0a1b，logablogba2，④

若0a1b，则logablogba2.其中正确的是____.②③

练习2 已知

ma1(a2)2b2n2(b0) ，则m___n.（填\",,\"） a2，

二 利用不等式求最值

（1）最值定理

已知x,y都是正实数.

①如果积xy是定值P，那么当xy时，xy有最小值2P;

12SxyxyxyS4②如果是定值，那么当时，积有最大值.

“积定和最小，和定积最大”

（2）利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”.

32，则(32x)x的最大值为____.

如：1 已知

0x2 已知a,b为正实数，且abab1，则ab的最小值为___.

123xx的最大值为____.-12

例1若x0，则

f(x)

例2 函数

f(x)1x(x3)x3的最小值为____.5

例3函数

f(x)x255x24的最小值为______.2

练习1已知

x51y4x24，则函数4x5的最大值为_____.1

112ab练习2a0，b0，则ab的最小值____.4

例3 已知函数

yx49(x1)x1，当xa时，y取得最小值b，则ab__.3

三 利用基本不等式求最值的几种常用方法

（1）常值代换法

对于“已知

axbym(a,b,x,y0)

pq

xy的最小值”和“已知 ，求

abm(x,y,a,b,m0)xy

，求xy的最小值“的问题常用常值代换法.

例1若正数x,y满足x3y5xy，则3x4y的最小值____.5

19sin2cos2的最小值为___.16

例2已知(0,)，则

y练习1设ab2，b0，则当a___时，

a12ab取得最小值.-2

111a,b,c练习2已知为正数，且a2b3c1，则abc的最小值___.6222326 （2）换元法

byatct对于单个分式类型的函数求最值问题，可以采用换元法将其转化成的形式，

然后利用基本不等式求得其最值.

例1函数

yx11x3x1的最大值为_____.5

x21f(x)x(x1)x1例2函数的最小值为_____.7

练习1函数

yx1(x0)2x3x6的最大值____.

（3）消元法

对于给出关于正数x,y的一个恒等式，让求关于x,y某个代数式的最值问题可以利用恒等式将x用含有y的代数式来表示（或者用x的代数式表示y），将其转换成求函数的最值问题，但是在消元后一定要注意自变量的范围.

331例 设x,y均为正实数，且2x2y，则xy的最小值是____.16l

练习 已知正实数a,b，且2baba30，则函数

y11ab的最小值为____.18

（4）配凑法

由于用基本不等式求最值需要满足“一正，二定，三相等”所有有时候我们要通过拆项，添项，配凑的方法使得和或者积成定值，然后用基本不等式求得最值.

212xy22x3xy4yz0例 设正实数x,y,z满足，则当z取得最大值时，xyz的最大值

为____.1

练习 设abc0，则

1110ac25c2aba(ab)

2a2的最小值是____.4

四 与基本不等式相关的不等式恒成立问题

例1已知关于x的不等式

32

2x27+)上恒成立，则实数a的最小值为___.xa在x(a，例2已知正实数x,y满足xy3xy，若对任意满足条件的x,y，都有

(xy)2a(xy)10

恒成立，则实数a的取值范围为____.

(,37]6

x1a[,)2练习1若对于任意x0，x3x1恒成立，则a的取值范围为____.5

2112x2ym2m恒成立，则实数m的取值xyx,y练习2若两个正实数满足，并且

范围是____.(4,2)