概率统计习题

概率统计习题

习题一

一填空题

（1）设A,B,C为三事件，试用A,B,C的运算表示下列事件：A,B,C中不多于两个发生：ABC,A,B,C中至少有两个发生：ABACBC 或ABCABCABCABC （2）设A,B,为二事件，试用A,B,的运算非别表示下列事件及其对立事件：A,B,都发生：AB,其对立事件为

ABAB, （2）设A,B,为二事件，则

P{(AB)(AB)(AB)(AB)}0 P{(AB)(AB)(AB)(AB)}注P{(ABBAB)(AB)(AB)(AB)}P{(ABB)(AB)(AB)}P{(ABBA)(AB)}P{}0 （4）设10件产品中有4件不合格，从中任取两件，已知两件中有两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格的概率为。

5注：A1：两件均不合格，A2：一件合格，两件中有一件是不合格品即A1A2；

1

1两件中有一件是不合格品，另一件也是不合格即A1，故

PP(A1(A1A2))P(A1(A1A2))P(A1A2)15

4C22C4664611C4C6（5）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，写出该试验的样本空间。{10，11，„„}

（6）假设P(A)0.4,P(AB)0.7，若A与B互不相容，则P(B)P(AB)P(A)0.3，若A与B相互，则

P(B)P(AB)P(A)P(A)P(B)0,70.40.4P(B),P(B)0.5

2甲乙丙三人各射一次靶，记A“甲中靶”；B“乙中靶”；C“丙中靶”则用上述三事件的运算非别表示下列事件

（1） 甲未中靶：A； （2） 甲中靶而乙未中靶AB （3） 三人中只有丙未中靶：ABC

（4） 三人中恰好一人中靶：ABCABCABC （5） 三人中至少一人中靶ABC （6） 三人中至少一人未中靶ABC

（7） 三人中恰好两人中靶：ABCABCABC （8） 三人中至少两人中靶ABBCAC

2

（9） 三人中均未中靶：ABC （10） 三

人

中

至

多

一

人

中

靶

ABCABCABCABC

（11） 三人中至多两人中靶ABCABC 3 20个运动队，任意分成甲乙两组（每组10队）进行比赛，已知其中有两个队是一级队，求这两个一级队： （1） 被分在不同组的概率，A；（2）被分在同一组的

概率。B

P(A)C2C1810C20190.526

P(B)282C2C1810C200.474

P(B)1P(B)1P(A)10.5260.474 或：因BA,故

4 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率。 P12C5C453C500.252

5 在长度为a得线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。

3

a2

a2 a x

0xa,0ya,且0xya，又

xxyya2a21a2P14

xyaxyxyaxy,yxaxy,6 在区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的积小于的概

41 xy14率。

4

14 x

1

P(xy141411(114x1)dx(x14lnx)114)411414ln4P(xy)1414ln47 电路由电池组A与两个并联的电池组B及C串联而成，设电池组A,B,C损坏的概率分别为0.3.0.2.0.2，求电路发生断电的概率是多少？（A,B,C为相互工作的电池组）

设A,B,C分别表示电池组A,B,C损坏，电路发生断电可表示为ABC，故

P(ABC)P(A)P(BC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)0.30.20.70.3282

7 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4，问现在25岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？

P{活到25岁以上/活到20岁以上}P{活到去20岁以上，且活到P{活到20岁以上}0.40.80.525岁以上}

5

8 某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为

80％，40年内发生特大洪水的概率为85％，求已

过去了30年发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。

X:发生特大洪水的时刻。

P{30X400.050.20.25X30}P{X30,30X40}P{X30}

10 发报台分别以概率0.6，0.4发出信号“.”与“__”,由于通讯系统受到干扰,当发出信号“.”收 报台收报台未必收到信号“.”,而是分别以概率0.8与0.2收到信号“.”与“__”,, 当发出信号“__”时 ,收报台分别以概率0.9与0.1收到信号“__”与“.”,求收报台收到信号“.”, 发报台确实发出信号“.”的概率,以及收到信号“__”, 发报台确实发出信号“__”的概率.

A1:发出信号“.” A2:发出信号“__”

B1:收到信号“.”; B2:收到信号“__” 由题设:

P(A1)0.6,P(B1A1)0.8,P(A2)0.4,P(B1/A2)0.1于是: 该是PB1

0.903

P(A1)P(A1)P(B1/A1)P(A2)P(B1/A2)0.60.80.40.10.52由贝叶斯公式有:P(A1/B1)

P(A1)P(B1/A1)P(B1)6

又由:

P(B2A1)0.2,P(B2/A2)0.9于是:

P(B2)P(A1)P(B2/A1)P(A2)P(B2/A2)

0.60.20.40.90.46P(A2)P(B2/A2)由贝叶斯公式有:P(A2/B2)0.75

P(B2)11 设袋中有a个黑球，b个白球，现随机地从中取出一球，分别就（1）抽取后放回，（2）抽取后不放回，求出第

k(1kab)次取出的一个球是黑球的概率。

（1）P（2）

Pa(第k次取出黑球）Aab（ab1个球中取k1个)1k1aab

kAab(ab个球中取k个

a(ab1)[(ab1)(k1)1](ab)(ab1)(abk1)aab12 甲乙丙车间生产同一种螺钉，每个车间产量分别占产量的25％，35％，40％，若每个车间成品中的次品率分别占产量的5％，4％，2％， （1）

全部产品中任意抽出一螺钉，试问它是次品的概率是多少？

（2）

全部产品中任意抽出恰好是次品 ，试问这个次品是甲车间生产的概率是多少

7

（1）A1,A2,A3分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。B:抽出的一个是次品

3P(B)P(Ai)P(B/Ai)i1

31001004021001000.035255100100（3） 由贝叶斯公式有:

255P(A1)P(B/A1)1001000.362

P(B)0.045P(A1/B)13 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第n次才取出k(1kn次红球的概率。

110k19nk1k1k19nr1kCn1()()Cn1()()10101010

14 灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000小时后，最多只有一只坏了的概率。

记P=P{灯泡使用在1000小时以上完好} X: 3个使用1000小时后坏了的只数。 则X～b(3,0.8)

P(X1)C30.80.2C30.80.2 0.230.24130.20.1043330031215

某人有两盒火柴，每盒中各有n根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现一盒已经用完时，试求另一盒还有r根的概率。

8

nC2nr122nr

注：可看作2nr重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为，取了第

2二盒中一根火柴的概率也为，设所求事件为B，则B2相当于“第一盒（即用完的那一盒）中取了n根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了nr根火柴，”的事件，故

1n1nrnnP(B)C2nr()()C2nr22122nr11

习题二

1 填空题

（1）设随机变量

P{Xk}aX的分布律为

kk!(k0,1,2）则ae

（2）设随机变量

P{Xk}aN(k0,1,2）则aX的分布律为

1

（3）一均匀骰子在重复掷10次后，X表示点3出现的

9

次数，则X服从：参数为b(10,)的二项分布，分布律

6k1k510k为P{Xk}C10()()(k0,1,210166）

2x,0x1,（4）设随机变量X的概率密度为f(x)，

0,1Y表示对X的三次重复观察中事件X出现的次

222数，则P{Y2}C3()13443116349

（5）已知X～N(,),则Y2X～N(0,1)

2 报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。 {报童赔钱}={0.15X<100} X1000.156661015X666

3 设在15只同类型的零件中有两只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。

P{X1}C2C133C15121235

10

P{X2}C2C133C1521135

2235P{X0}1P{X1}P{X2}

4 进行重复试验，设每次试验成功的概率为P，失败的概率为q1P，

（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。

（2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。

（1）第X次成功，前X-1次全失败。

P{Xk}[Ck1p(1p)(1p)k1k10k1]p

pk1,2,（2）第Y次成功，前Y-1次成功r-1次。

P{Yk}Ck1pkr,r1,r1r1(1p)krp

0,X025 设随机变量X的分布函数F(x)x,0x1，

1,x1试求（1）P{X}(2)P{1X},(3)P{X}

242131 11

P{X1}F()2243}F()F(1)

441612}343911(2)P{1X,(3)P{X12}1P{X6 有一繁忙汽车站，每天有大量汽车通过，设每两汽车在一天的某时段内出事故的概率为0.0001，在某天该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算）

np0.1

P{X2}1P{X0}P{X1}1e0.10.1e0.1

0.0047 „在t时间间隔内收到紧急呼救的次数X服从参数为

t2的泊松分布，„„

（1）„中午12点至下午3时没有收到紧急呼救的概率。 （1）„中午12点至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。 （1）参数为

t2(t3)32在3小时内收到k次呼救的

12

3k2()eP{Xk}2,概率为：k!P{X0}e20.22033k0,1,2,

（1）参数为(t5)2t52

550()e2P{X1}1P{X0}12,0.918

0!8 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100作时内故障不多于两次的概率。

p0.001，（每个工作时内发生故障的概率）

X：100作时内发生故障的次数，X～b(100,0.001)

P{X2}P{X0}P{X1}P{X2}C1000.999C1000.999e2010098199C1000.99920.0010.001

2np0.10.10!0.10.10.10.1ee0.999841!2!

9 设X～U[2,5],现对X进行3次观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。 P{X3}535223

Y表示对X进行3次观察，观察值大于3的次数，则

13

Y～b(3,)，

32221323P{Y2}P{Y2}P{Y3}C3()C3()333249827202710 设随

c,x1,机变量X～f(x)1x2求：（1）常数c,(2)X的分

0,11布函数F(x)，（3）X落在区间(,)的概率。

22（1） 因

11f(x)dxc1dx1x1carctanxc12

故c11,x1,f(x)1x2

0其他,（2） 当X1时F(x)0, 当1X1时，

F(x)1xdt1t21arctanx11xarcsinx12

当X1时：

14

1F(x)1dt1t1211x0dtarctanx1 112111)F()F()22212)[1P{X12（3）

(1arcsinarcsin(12)12]13

11 „服务时间X服从指数分布，其概率密度为

x1e5,x0，某顾客等待服务，若超过10分钟，他f(x)50,其他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，求Y的分布律，并求P{Y1}. 等待1次离开的概率为：

x12P{X10}f(x)dxe5de10105

Y～b(5,e2),

P{Yk}C5ek2k(1e25k)(k0.1,,5)25P{Y1}1P{Y0}1(1e

12 X～N(3,2)（1）求

2)0.5167

P(2X5},P{4X10},P{X2},P{X3}

（2）求c,使得P{Xc}P{Xc} （

1

15

）

P{2X5}(532)(232)(1)(12)0.5238

P{4X10}(1032)(432)777()()2()10.9396222P{X2}1P{2X2}1(

12)(52)0.6997

P{X3}1P{X3}1(0)0.5

由P{Xc}P{Xc}得

12P{Xc}P{1X32c32}(c32)，

又(0),故c3

213

寿命X服从60,的正态分布，若要求

P{120X200}0.80，最大为多

少？

P{120X200}(200160

2(4040)(120160)查 故)10.80,()0.90（1.28）最大为31.25。 14 X 随机变量X的分布律为： -2 -1 0 1 3 Pk 15 16 1516

25130

求YX的分布律。

Y的所有可能取值为0，1，4，9，有概率的可加性，有：

2YX 4 X -2 21 -1 0 0 1 1 9 3 Pk 15 216 1525130 得YX的分布律为

YX 0 21 4 9 Pk 15

1573015130 设X～N(0,1),(1)求Ye的概率密度，（2）求Y2X2x1的概率密度，

(1)Yg(x)e在（，）上恒x有g(x)e0,且g(x)有反函数，xxh(y)lny,h(y)1y,min{e,e}0,max{e,e} 17

1e故Y的概率密度fY(y)y20,(2)因Y2X当Y1时，

Fy(y)P{2Xy1222(lny)22,y0y0,

10，则Fy(y)0,(y1)，

1y}P{2y12X2y12}y12122xy1e2dx20012xe2dx

y11e4,y1,fY(y)2(y1)y10,习题三

1.离散随机变量

X与Y相互同分布，

P{X1}P{Y1}12.P{X1}P{Y1}12,求

P{XY}的概率.

P{XY}P{X1,Y1}P{X1,Y1}

(已知)12..

即使两个离散随机变量X与Y相互同分布, X与Y一般不会以概率1相等.

18

（2）设二维随机变量(X,Y)的概率密度

2221cxy,xy1,，则C。 f(x,y)40,其他，（3）X和Y是相互同分布的随机变量，且

P{X1}P{Y1}12,P{X2}P{Y2}12;求

ZXY的概率分布.

P{XY2}14,

P{X2,Y1}12P{XY3}P{X1}P{Y2}P{XY4}14,

12,

（2）由已知易得P{2X2}, P{2X4}12;

2.在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次， 每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量X, Y如下：

0,若第一次取出的是正品X1，若第一次取出的是次品0,若第二次取出的是正品Y1，若第二次取出的是次品,;

试分别就（1）、（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律．并问随机变量X和Y是 否相互？

（1）放回时，

19

P{X0,Y0}25536,P{X0,Y1}36, P{X1,Y0}5136,P{X1,Y1}36,

（2）不放回抽样，

P{X0,Y0}451066,P{X0,Y1}66,

P{X1,Y0}10,P{X1,Y1}16666, 放回抽样时，两

次抽样相互；不放回抽样，不相互． 3

设

随

机

变

量

(X,Y)的联合密f(x,y)k(6xy),0x2,2y4 0,其他，试求（1）常数k；（2）P{X1,Y3};

(3)P{X1.5};(4)P{XY4}

k24(6xy)dydxk2y24（1）因020(22122x)dx

k20(62x)dx8k1,k18(2)P{X1,Y3}113802(6xy)dydx

11y280(326x)dx328(3)P{X1.5}11.802(6xy)dydx

11.5y24262x)dx1.56.752780(1280(62x)dx832

20

度

(4)P{XY4}dy2044yf(x,y)dxx21482dy04y(6xy)dx1482(6xyx)024ydy23

4.随机变量(X,Y)在矩形域axb,cyd上服从

均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量X及Y是否？

解 按题意(X,Y)具有联合概率密度

1,axb,cyd,f(x,y)(ba)(cd)0,否则.11,axb,cyd, fY(y)cd, fX(x)ba0,xa0,ycxbydX及Y是的.

事实上,若(X,Y)服从区域D上的均匀分布，则只有当

D为矩形区域：axb,cyd时，X与Y分别服从

[a,b],[c,d]上的均匀分布，且X与Y，反之亦然.

5 一仪器由二个部件构成，以X和Y分别表示二个部件的寿命（单位：千小时），已知X和Y的联合分布函数

0.5x0.5y0.5(xy)ee,x0,y01e F(x,y)0,其他，（1）X与Y是否？

21

（2）两个部件的寿命都超过100小时的概率 （1）

X和Y的分布函数分别为

0.5x,x0,1e FX(x)F(x,)0,其他，0.5y,y0,1e FY(y)F(,y)0,其他，由于F(x,y)FX(x)FY(y)，故。

(2)P{X0.1,Y0.1}P{X0.1}P{Y0.1}[1FX(0.1)]{1FY(0.1)]e0.050.05

ee0.16 （1）求第二题中X和Y的边缘分布，（2）X与Y是否？

（1）由P{Xi}P{Xi,Yk}

k011P{Yj}P{Xk,Yj}知，放回与不放回的情形

k0都是： X 0 561 16 放回，X与Y；不放

Y 0 1 16Pk Pk 56 回，X与Y不；

7 随机变量(X,Y)的分布函数为

22

F(x,y)=

12(Barctanx2)(Carctany3).

求：（1）(X,Y)的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量X及Y是否？

解

由

分

布

函

数

的

性

质

有

F(x,)=0F(,y)0,F(,)=1

从而对任意的x,y；有

1(B12(Barctanx2)(C22)0，

22)(Carctan6y3)0,于是，有B，C2

f(x,y)fX(x)(4x)(9y)2222

3(4x)2，fY(y)(9y)2 。

8 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为

f(x,4.8y(2x),y)=0,0x1,0yx其它,

求边缘概率密度.

解 对任意0x1，

fX(x)f(x,y)dy4.8y(2x)dy2.4x(2x) 00xx2当x0或x1时fX(x)00dy0,对任意

x0y1，

fY(y)f(x,y)dxy4.8y(2x)dx2.4y(34yy)y121，

可知边缘概率密度为：

23

22.4x(2x),fX(x)0,0x1其它

22.4y(34yy),fy(y)0,0y1.

其它9.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为

tte,t0f(t)，设各周的需要量是相互的，试求两周

t00,需要量的概率密度.

Xi表第i周的需求量，各Xi相互。 设两周的需求量为ZX1X2，则

fZ(z)f(x1,zx1)dx1f(x)f(zx1)dx1X11X2

x10,要fX1(x1)fX2(zx1)0,

zx1而

fX(x1)fX(zx1)x1e12x1(zx1)ezx1(zx1)e(zx1)

3z,z故

fZ(z)x1(zx1)e0z2dx1(2x1z2x13)ez

6ez,(z0) 24

z3ez,z0故fZ(z)3!

0,z010.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从

N(160,400)分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小

于180小时的概率.

设Xi为选取的第i只电子管的寿命，则Xi～

N(160,20)i1,2,3,4.

令Ymin{X1,X2,X3,X4}则

42P{Y180}[P{X1180}]，而

P{X1180}1(1)0.1587 因此

P{Y180}0.000634

11.设随机变量X,Y相互同分布，都在区间[1,3]上服从均匀分布，记事件A{Xa}.B{Ya},且

P(AB)79,求常数a

79P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)a1223a2a13a2221(a1)(a3)4

12a4a34,a4a34299a36a350,a53ora73(3a5)(3a7)0

25

习 题 四

1填空：

（1）．设随机变量X服从参数为的泊松分布，且

P{X1}P{X2},求E(X),2,D(X)2.

（2）设随机变量X1,X2,,Xn同分布，期望为a，方差，令Xn2

1nni1Xi，则E(Xn)a,D(Xn)a2n

（3）设随机变量X1,X2,X3，X1在[0.6]上服从均匀分布，X2服从N(0,2)，X3服从参数为3的泊松分布，记YX12X23X3，则

D(Y)D(X1)4D(X2)9D(X3)34493462

2 产品次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机的抽取10件产品进行检验，若发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，求E(X),(设各产品是否次品是相互的)

设：Y: 取10件进行检验的次品数,

Yb(10,0.1)

1,第i次检验要调整设备，即Xi0，否则次品数大于1，则

26

XXi,i144E(X)E(Xi)4EXii1

4{1P(Xi1}0P(Xi0)}而P(Xi1)1P(Y0)P{Y1}

1i01P{0次品}P{1次品}1C100.10.9ii10i1(0.9100.9)10.736160.2638

9故EX40.26361.0556

5．一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，

x1e4,x0,概率密度为f(x)工厂规定，出售的设备若在

4x0.0,售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.

A:售出设备一年内调换，Y:表示调换费用。则：

x111e4dx1e4, 04P(A)E(100Y)(100yk)pk=

k11100e4200(1e4)33.（元）

6．设(X,Y)的分布律如下表:

27

X Y -1 0 1 1 0.2 0.1 0.1 0.4 2 0.1 0.0 0.1 0.2 3 0.0 0.3 0.1 0.4 YXP{Yyj} 0.3 0.4 0.3 1 P{Xxi} （1）求E(X),E(Y)，（2）设ZZ(XY),求E(Z).

2，求E(Z);（3）设

（1）X,Y的边缘分布见上表，故：

EX10.420.230.42,

EY10.310.30

EZYj（2）

ijXiPij111150.2120.1130

130.1（3）EZ(xiyj)2Pij5

ij7．随机变量X服从几何分布，其分布律为

P{Xk}p(1p)k1,k1,2,,其中0p1是常数.求

E(X),D(X).

E(X)=kqk1pk1(q1p)

28

=p(qq2q1q)=p=.

1qp3 E(X2)=k1kq2k1pp(kq)

k1k=p[q(qk)]p[q(k111q)]

q=p2(1q)2(1q)2(1q)q1qp 其中“′”表示42(1q)p对q的形式导数.

D(X)qp2， E(X)2,D(X)2.

xe,当x0,服从指数分布：f(x)当x0,0,11 设随机变量X其中0.求(1)E(2X),(2)E(e2X). 解 E(2X)2020E(exexdx

xedx2 0xdexxe3xx02X)0eXdx13

12设随机变量服从瑞利分布，其概率密度为

29

2x2x2,x0,其中f(x)2e0,是常数.求E(X),D(X).

0,x0.2xE(X)x2x202e22dx0xde2222xx xe22020e2dx(x22x0e2)d(2)2422x2E(X2)x3x202e22dx20xde222xx2e22x0e220dx2x2x222x22220e2d()2e222220DX(22)2

13设X1,X2,,Xn同分布随机变量，期望为，方n差2

，令X1nnXiS21i1n1(XiX)2，

i12（1）验证E(X),D(X)an

30

，

（2）验证S221n1i122XinX

n2（3）验证E(S) （1）E(X)n1nni1E(Xi)1n21nn，

2D(X)12ni1(2)S2D(Xi)nn2nn

1n1i1n(XiX)222(Xi2XiXX) n1i111n1i1[22Xi2nXnX=

1n1n22i[Xi1nX]

（3）E(S)1n21n1i1[E(Xi)nE(X)]

n22n1i1{[DXi(EXi)n[DXE(X)]

n2221n1i1{[DXi(EXi)]n[2n]DXi

22 习题五

3．对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的数目是一个随机变量,其数学期望是2,方差是1.69,求在100次轰炸中有180颗到220颗命中目标的概率.

第k次轰炸命中目标的次数为Xk(k1,2,,100),则

31

Xk同分布,且E(Xk)2,10021.69,命中的总

次数XXk1100Xknk,k1n2013(近似)～N(0,1),

2013)0.8759

P{180X220}()(4．设保险公司的老年人寿保险一年有１万人参加，每人每年交４０元，若老人死亡，公司付给家属２０００元，设老人年死亡率为０．０１７，试求保险公司在这次保险中亏本的概率． 设老人死亡数为X,n10000,p0.017，公司亏本当且仅当 2000X4010000,即X200，于是，

XN(np,npq)，

亏本的概率：

P{X200}1(200npnp(1P))1(2.321)0.01017．

5．某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望(未知），方差2400.为了估计，随机地取n只这种器件，在时刻

t0投入测试（设测试是相互的）直到失败，测得其寿

命为X1,X2,,Xn,以X1nnk1Xk作为的估计.为了使

P{X1}0.95,问n至少为多少？

32

nXin P{X1}0.95,P{i1nnn1n}0.95

XinP{i1nn}0.95(n)(n)0.952(n20n)1.95,(n1.96n202查)0.975（1.96）

21.96,201536.,n1537

习题六

1填空题

1 设总体X～N(,),X1,X2,,Xn是来自总体X的样本，则随机变量X～N(,X～t(n1) Sn22n),(n1)S22～(n1)，

2（2）在正态总体N(20,3)中抽取2个样本，样本均值分别为X,Y，又样本容量分别为10，15，则P{XY0.3}0.6774 注：X～N(20,310),Y～N(20,315),X,Y。

33

E(XY)0，D(XY)DXDY31031512

故P{XY0.3} P{XY122[1P{XY120.32}P{XY120.32}2(0.32)0.67740.32} （3）在正态总体N(,)中抽取16个样本，,均未知，S为样本方差，则P{S22222S222.041}0.99

P{2.041}P(15S215S2注：

2152.041}2

10.010.992查(15)1P{230.615}2设X1,X2,,Xn是来自总体(n)的样本，求变量样本均值X的数学期望与方差。

由于X1,X2,,Xn是来自总体(n)的样本，故

2E(Xi)n,D(Xi)2n，

E(X)1nni1E(Xi)12n1nnnn，

D(X)ni1D(Xi)1n2n2n2

34

5 X～N(1,),Y～N(2,),从2总体中抽样本，得下列数据：n17,X,S1116.7 ；

n28,Y42,S285.7，求P{0.8127.5}

XY(1解：2总体方差相等，故t1Swn12)～ 1n2222222t(n1n22)，其中：Sw1(n11)S1(n21)S2，

n1n22又XY4212，

6116.7785.713n11n219180.518

Sw10.0，所以

P{0.8127.5}XY(12)120.8127.5P}0.51810110.51810Sw

n1n2P{0.869t2.16}P{t0.869}P{t2.16}查表：t0.20(13)0.870,t0.025(13)2.16，故

P{0.8127.5}0.200.0250.175

6总体X～N(,),X1,X2,,Xn是来自总体X的样本，（1）求X1,X2,,Xn的联合概率密度。（2）求X的概率密度。

2 35

（1）e21nn2(xi)i122（2）

12(x)2(22nen)

习题七

一 （1）设X1,X2,X3是来自总体X的样本，

ˆ13X1aX212X3为总体均值均值的无偏估计，则

a16.。

（2）设总体X的一个容量为2的样本为

ˆ1X1,X2,13X123ˆ2X212X112X2总体均值均

ˆ2较为有效。 ˆ1和ˆ2中值的无偏估计，则（3）若由总体F(x,)(为未知参数）的样本观察值求得则称(35.5,45.5)是的置信度P(35.545.5)0.9，为0.9的置信区间。

（4）设总体X的均值未知，根据来自X的容量为10的简单随机样本测得的样本均方差为s6.2022,则X的方差2的置信度为0.95的置信区间为

(18.2213,128.2243)。

2 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以㎜计）：

36

74.001,74.005,74.003,74.001,74.000,

74.993,74.0067,74.002,试求总体均值均值及方差2的矩估计，

解：由P 令

1EXx,1n2 2222EXDX(EX)xi2ni1ˆx故18188i1xi74.001375

ˆ28i1226ˆ610 x13设X1,X2,Xn是来自参数为的泊松分布总体X～

P()的一个样本，试求的极大似然估计和矩估计， P{Xk}解：先求极大似然估计：

nkk!e,k0,1,

L()i1xixi!ne,

nlnL()(xi)lnnln(xi!)，

i1i1n令

dlnLdxi0,i1ˆx n0ˆx 再求矩估计：X～P()EX，令x,4设总体X的概率分布为

37

X P 0  21 2 3 12 2(1) 2 12其中(0)是未知参数，利用总体的如下样本值

3，1，3，0，3，1，2，3。求的极大似然估计和矩估

计，

解：矩估计：令

XEX1(22)2223634，

又x1681613441ˆ. 8424L()P(X0)[P(X1)]P(X2)[P(X3)]（抽样

X3时，X0出现一次，X1出现两次，X2出现一次，

出现四次，

[2(1)](12)4(1)(12) LnLln46ln2ln(1)4ln(12)2224624dlnLd11216(1)(12)2(12)8(1)6(132)24618121222226280,628128822

1012224522860,1312(she)1430,14247ˆ71312

5设X1,X2,Xn是来自总体的一个样本，试求下列各

38

总体的密度函数或分布律中的未知参数的极大似然估

计和矩估计，

(1)x,0x1,（1）f(x)其中1,未知参数为

0,qita矩估计：令

XEX10x(1)xdxn12ˆ,2x12x

n极大似然估计L()[(1)xi](1)xi

ni1i1nlnL()nln(1)lnxi，

i1令

dlnLdˆlnxi0n1i1nnn1

lnxii1

x(1),x1,（2）f(x)其中1,未知参数为

0,qita矩估计：令

XEX10xx(1)dxnx1111,ˆxx1

极大似然估计L()xii1(1)]

39

lnL()nln(1)lnxi，

i1n令

dlnLd0,ˆnn

lnxii16设X1,X2,Xn是来自总体X～N(,2)的一个样本，试确定常数C，使C(Xi1Xi)2为2的无偏估计。

i1n1解

n1i12n1i122;

E[C(Xi1Xi)]c[E(Xi1)E(Xi)2E(Xi1)E(Xi)](X1,X2,Xn同分布于X)

2c(n1)[E(X)(EX)]2c(n1) c12(n1)222

1,k1,2,,,为未

7 设总体X的分布律为P(Xk)知参数，今从该总体中抽取一随机样本X1,X2,Xn，求的矩估计。 令

X1EX1ˆ2X112111(1)212

8设总体X～N(,)，样本观察值：

6.,8.20,6.88,9.02,7.56

40

2求总体均值的置信度为0.95的置信区间 （1）已知1.2 （2）未知

（1）1.2由 页 ，的置信度为1的置信区间为XnZ,20.05,n5,

P{ZZ0.025}0.025查表

(Z0.025)0.975(1.96),Z0.0251.96(6.59,8.69)（2）未知，由 页 ，的置信度为1的置信区间为Xsnt(n1),20.05,n5,

(6.40,8.88)

查表t0.025(4)2.77,10 随机地从A批导线中抽取4根，又从B批导线中抽取5根，测得电阻为：

A批导线：0.143，0.142，0.143，0.137 B批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140

设测定数据分别来自分布N(1,2),N(2,2)，且两样本相互，又1,2均为未知，试求12的置信度为0.95的置信区间

26解：由题中条件有x0.141,y0.139,s18.23310

s25.261026,n14,2n25,n1n227,210.95(n11)s1(n21)s2260.025,sw6.57110 2n1n2241

sw2.563103,1n11n20.671,t0.025(7)2.36

由 页 式 ，12的置信度为1的置信区间为

XYt(n1n22)sw21n11n2(0.0020.0041)

(0.002,0.006)10 9发炮弹作试验，炮口速度的样本标准差

s11(ms)„„，求的置信度为0.95的置信区间

2解：

(n1)s2P{222～2(n1)，故：

2(n1)s(n1)s2(n1)221}1,0.05

2(n1)2查表20.025(8)17.535,P{812117.53520.975(8)2.18，所以

281212.18}0.95

55.24447.4221.1 42