概率统计习题
习题一
一填空题
(1)设A,B,C为三事件,试用A,B,C的运算表示下列事件:A,B,C中不多于两个发生:ABC,A,B,C中至少有两个发生:ABACBC 或ABCABCABCABC (2)设A,B,为二事件,试用A,B,的运算非别表示下列事件及其对立事件:A,B,都发生:AB,其对立事件为
ABAB, (2)设A,B,为二事件,则
P{(AB)(AB)(AB)(AB)}0 P{(AB)(AB)(AB)(AB)}注P{(ABBAB)(AB)(AB)(AB)}P{(ABB)(AB)(AB)}P{(ABBA)(AB)}P{}0 (4)设10件产品中有4件不合格,从中任取两件,已知两件中有两件中有一件是不合格品,则另一件也是不合格的概率为。
5注:A1:两件均不合格,A2:一件合格,两件中有一件是不合格品即A1A2;
1
1两件中有一件是不合格品,另一件也是不合格即A1,故
PP(A1(A1A2))P(A1(A1A2))P(A1A2)15
4C22C4664611C4C6(5)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数,写出该试验的样本空间。{10,11,„„}
(6)假设P(A)0.4,P(AB)0.7,若A与B互不相容,则P(B)P(AB)P(A)0.3,若A与B相互,则
P(B)P(AB)P(A)P(A)P(B)0,70.40.4P(B),P(B)0.5
2甲乙丙三人各射一次靶,记A“甲中靶”;B“乙中靶”;C“丙中靶”则用上述三事件的运算非别表示下列事件
(1) 甲未中靶:A; (2) 甲中靶而乙未中靶AB (3) 三人中只有丙未中靶:ABC
(4) 三人中恰好一人中靶:ABCABCABC (5) 三人中至少一人中靶ABC (6) 三人中至少一人未中靶ABC
(7) 三人中恰好两人中靶:ABCABCABC (8) 三人中至少两人中靶ABBCAC
2
(9) 三人中均未中靶:ABC (10) 三
人
中
至
多
一
人
中
靶
ABCABCABCABC
(11) 三人中至多两人中靶ABCABC 3 20个运动队,任意分成甲乙两组(每组10队)进行比赛,已知其中有两个队是一级队,求这两个一级队: (1) 被分在不同组的概率,A;(2)被分在同一组的
概率。B
P(A)C2C1810C20190.526
P(B)282C2C1810C200.474
P(B)1P(B)1P(A)10.5260.474 或:因BA,故
4 从一批由45件正品,5件次品组成的产品中任取3件,求其中恰有一件次品的概率。 P12C5C453C500.252
5 在长度为a得线段内任取两点,将其分成三段,求它们可以构成三角形的概率。
3
a2
a2 a x
0xa,0ya,且0xya,又
xxyya2a21a2P14
xyaxyxyaxy,yxaxy,6 在区间(0,1)内任取两个数,求这两个数的积小于的概
41 xy14率。
4
14 x
1
P(xy141411(114x1)dx(x14lnx)114)411414ln4P(xy)1414ln47 电路由电池组A与两个并联的电池组B及C串联而成,设电池组A,B,C损坏的概率分别为0.3.0.2.0.2,求电路发生断电的概率是多少?(A,B,C为相互工作的电池组)
设A,B,C分别表示电池组A,B,C损坏,电路发生断电可表示为ABC,故
P(ABC)P(A)P(BC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)0.30.20.70.3282
7 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8,活到25年以上的概率为0.4,问现在25岁的这种动物,它能活到25年以上的概率为多少?
P{活到25岁以上/活到20岁以上}P{活到去20岁以上,且活到P{活到20岁以上}0.40.80.525岁以上}
5
8 某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为
80%,40年内发生特大洪水的概率为85%,求已
过去了30年发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。
X:发生特大洪水的时刻。
P{30X400.050.20.25X30}P{X30,30X40}P{X30}
10 发报台分别以概率0.6,0.4发出信号“.”与“__”,由于通讯系统受到干扰,当发出信号“.”收 报台收报台未必收到信号“.”,而是分别以概率0.8与0.2收到信号“.”与“__”,, 当发出信号“__”时 ,收报台分别以概率0.9与0.1收到信号“__”与“.”,求收报台收到信号“.”, 发报台确实发出信号“.”的概率,以及收到信号“__”, 发报台确实发出信号“__”的概率.
A1:发出信号“.” A2:发出信号“__”
B1:收到信号“.”; B2:收到信号“__” 由题设:
P(A1)0.6,P(B1A1)0.8,P(A2)0.4,P(B1/A2)0.1于是: 该是PB1
0.903
P(A1)P(A1)P(B1/A1)P(A2)P(B1/A2)0.60.80.40.10.52由贝叶斯公式有:P(A1/B1)
P(A1)P(B1/A1)P(B1)6
又由:
P(B2A1)0.2,P(B2/A2)0.9于是:
P(B2)P(A1)P(B2/A1)P(A2)P(B2/A2)
0.60.20.40.90.46P(A2)P(B2/A2)由贝叶斯公式有:P(A2/B2)0.75
P(B2)11 设袋中有a个黑球,b个白球,现随机地从中取出一球,分别就(1)抽取后放回,(2)抽取后不放回,求出第
k(1kab)次取出的一个球是黑球的概率。
(1)P(2)
Pa(第k次取出黑球)Aab(ab1个球中取k1个)1k1aab
kAab(ab个球中取k个
a(ab1)[(ab1)(k1)1](ab)(ab1)(abk1)aab12 甲乙丙车间生产同一种螺钉,每个车间产量分别占产量的25%,35%,40%,若每个车间成品中的次品率分别占产量的5%,4%,2%, (1)
全部产品中任意抽出一螺钉,试问它是次品的概率是多少?
(2)
全部产品中任意抽出恰好是次品 ,试问这个次品是甲车间生产的概率是多少
7
(1)A1,A2,A3分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。B:抽出的一个是次品
3P(B)P(Ai)P(B/Ai)i1
31001004021001000.035255100100(3) 由贝叶斯公式有:
255P(A1)P(B/A1)1001000.362
P(B)0.045P(A1/B)13 10个球中有一个红球,有放回的抽取,每次取出一球,求直到第n次才取出k(1kn次红球的概率。
110k19nk1k1k19nr1kCn1()()Cn1()()10101010
14 灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2,求3个使用1000小时后,最多只有一只坏了的概率。
记P=P{灯泡使用在1000小时以上完好} X: 3个使用1000小时后坏了的只数。 则X~b(3,0.8)
P(X1)C30.80.2C30.80.2 0.230.24130.20.1043330031215
某人有两盒火柴,每盒中各有n根,吸烟时任取一盒,并从中任取一根,当他发现一盒已经用完时,试求另一盒还有r根的概率。
8
nC2nr122nr
注:可看作2nr重贝努力试验,每次试验中取了第一盒(即用完的那一盒)中一根火柴的概率为,取了第
2二盒中一根火柴的概率也为,设所求事件为B,则B2相当于“第一盒(即用完的那一盒)中取了n根火柴,第二盒(即用完的那一盒)中取了nr根火柴,”的事件,故
1n1nrnnP(B)C2nr()()C2nr22122nr11
习题二
1 填空题
(1)设随机变量
P{Xk}aX的分布律为
kk!(k0,1,2)则ae
(2)设随机变量
P{Xk}aN(k0,1,2)则aX的分布律为
1
(3)一均匀骰子在重复掷10次后,X表示点3出现的
9
次数,则X服从:参数为b(10,)的二项分布,分布律
6k1k510k为P{Xk}C10()()(k0,1,210166)
2x,0x1,(4)设随机变量X的概率密度为f(x),
0,1Y表示对X的三次重复观察中事件X出现的次
222数,则P{Y2}C3()13443116349
(5)已知X~N(,),则Y2X~N(0,1)
2 报童卖报,每份0.15元,其成本为0.10元,报馆每天给报童1000份报,并规定不得把卖不出的报纸退回,设X为报童每天卖出的报纸份数,试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。 {报童赔钱}={0.15X<100} X1000.156661015X666
3 设在15只同类型的零件中有两只次品,在其中取3次,每次任取一只,作不放回抽样,以X表示取出次品的只数,(1)求X的分布律,(2)画出分布律的图形。
P{X1}C2C133C15121235
10
P{X2}C2C133C1521135
2235P{X0}1P{X1}P{X2}
4 进行重复试验,设每次试验成功的概率为P,失败的概率为q1P,
(1)将试验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验次数,求X的分布律。
(2)将试验进行到出现r次成功为止,以Y表示所需的试验次数,求Y的分布律。
(1)第X次成功,前X-1次全失败。
P{Xk}[Ck1p(1p)(1p)k1k10k1]p
pk1,2,(2)第Y次成功,前Y-1次成功r-1次。
P{Yk}Ck1pkr,r1,r1r1(1p)krp
0,X025 设随机变量X的分布函数F(x)x,0x1,
1,x1试求(1)P{X}(2)P{1X},(3)P{X}
242131 11
P{X1}F()2243}F()F(1)
441612}343911(2)P{1X,(3)P{X12}1P{X6 有一繁忙汽车站,每天有大量汽车通过,设每两汽车在一天的某时段内出事故的概率为0.0001,在某天该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?(利用泊松定理计算)
np0.1
P{X2}1P{X0}P{X1}1e0.10.1e0.1
0.0047 „在t时间间隔内收到紧急呼救的次数X服从参数为
t2的泊松分布,„„
(1)„中午12点至下午3时没有收到紧急呼救的概率。 (1)„中午12点至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。 (1)参数为
t2(t3)32在3小时内收到k次呼救的
12
3k2()eP{Xk}2,概率为:k!P{X0}e20.22033k0,1,2,
(1)参数为(t5)2t52
550()e2P{X1}1P{X0}12,0.918
0!8 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障,试求在100作时内故障不多于两次的概率。
p0.001,(每个工作时内发生故障的概率)
X:100作时内发生故障的次数,X~b(100,0.001)
P{X2}P{X0}P{X1}P{X2}C1000.999C1000.999e2010098199C1000.99920.0010.001
2np0.10.10!0.10.10.10.1ee0.999841!2!
9 设X~U[2,5],现对X进行3次观察,试求至少有两次观察值大于3的概率。 P{X3}535223
Y表示对X进行3次观察,观察值大于3的次数,则
13
Y~b(3,),
32221323P{Y2}P{Y2}P{Y3}C3()C3()333249827202710 设随
c,x1,机变量X~f(x)1x2求:(1)常数c,(2)X的分
0,11布函数F(x),(3)X落在区间(,)的概率。
22(1) 因
11f(x)dxc1dx1x1carctanxc12
故c11,x1,f(x)1x2
0其他,(2) 当X1时F(x)0, 当1X1时,
F(x)1xdt1t21arctanx11xarcsinx12
当X1时:
14
1F(x)1dt1t1211x0dtarctanx1 112111)F()F()22212)[1P{X12(3)
(1arcsinarcsin(12)12]13
11 „服务时间X服从指数分布,其概率密度为
x1e5,x0,某顾客等待服务,若超过10分钟,他f(x)50,其他就离开,他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数,求Y的分布律,并求P{Y1}. 等待1次离开的概率为:
x12P{X10}f(x)dxe5de10105
Y~b(5,e2),
P{Yk}C5ek2k(1e25k)(k0.1,,5)25P{Y1}1P{Y0}1(1e
12 X~N(3,2)(1)求
2)0.5167
P(2X5},P{4X10},P{X2},P{X3}
(2)求c,使得P{Xc}P{Xc} (
1
15
)
P{2X5}(532)(232)(1)(12)0.5238
P{4X10}(1032)(432)777()()2()10.9396222P{X2}1P{2X2}1(
12)(52)0.6997
P{X3}1P{X3}1(0)0.5
由P{Xc}P{Xc}得
12P{Xc}P{1X32c32}(c32),
又(0),故c3
213
寿命X服从60,的正态分布,若要求
P{120X200}0.80,最大为多
少?
P{120X200}(200160
2(4040)(120160)查 故)10.80,()0.90(1.28)最大为31.25。 14 X 随机变量X的分布律为: -2 -1 0 1 3 Pk 15 16 1516
25130
求YX的分布律。
Y的所有可能取值为0,1,4,9,有概率的可加性,有:
2YX 4 X -2 21 -1 0 0 1 1 9 3 Pk 15 216 1525130 得YX的分布律为
YX 0 21 4 9 Pk 15
1573015130 设X~N(0,1),(1)求Ye的概率密度,(2)求Y2X2x1的概率密度,
(1)Yg(x)e在(,)上恒x有g(x)e0,且g(x)有反函数,xxh(y)lny,h(y)1y,min{e,e}0,max{e,e} 17
1e故Y的概率密度fY(y)y20,(2)因Y2X当Y1时,
Fy(y)P{2Xy1222(lny)22,y0y0,
10,则Fy(y)0,(y1),
1y}P{2y12X2y12}y12122xy1e2dx20012xe2dx
y11e4,y1,fY(y)2(y1)y10,习题三
1.离散随机变量
X与Y相互同分布,
P{X1}P{Y1}12.P{X1}P{Y1}12,求
P{XY}的概率.
P{XY}P{X1,Y1}P{X1,Y1}
(已知)12..
即使两个离散随机变量X与Y相互同分布, X与Y一般不会以概率1相等.
18
(2)设二维随机变量(X,Y)的概率密度
2221cxy,xy1,,则C。 f(x,y)40,其他,(3)X和Y是相互同分布的随机变量,且
P{X1}P{Y1}12,P{X2}P{Y2}12;求
ZXY的概率分布.
P{XY2}14,
P{X2,Y1}12P{XY3}P{X1}P{Y2}P{XY4}14,
12,
(2)由已知易得P{2X2}, P{2X4}12;
2.在一只箱子中有12只开关,其中2只是次品,在其中取两次, 每次任取一只,考虑两种试验:(1)放回抽样;(2)不放回抽样,我们定义随机变量X, Y如下:
0,若第一次取出的是正品X1,若第一次取出的是次品0,若第二次取出的是正品Y1,若第二次取出的是次品,;
试分别就(1)、(2)两种情况,写出X和Y的联合分布律.并问随机变量X和Y是 否相互?
(1)放回时,
19
P{X0,Y0}25536,P{X0,Y1}36, P{X1,Y0}5136,P{X1,Y1}36,
(2)不放回抽样,
P{X0,Y0}451066,P{X0,Y1}66,
P{X1,Y0}10,P{X1,Y1}16666, 放回抽样时,两
次抽样相互;不放回抽样,不相互. 3
设
随
机
变
量
(X,Y)的联合密f(x,y)k(6xy),0x2,2y4 0,其他,试求(1)常数k;(2)P{X1,Y3};
(3)P{X1.5};(4)P{XY4}
k24(6xy)dydxk2y24(1)因020(22122x)dx
k20(62x)dx8k1,k18(2)P{X1,Y3}113802(6xy)dydx
11y280(326x)dx328(3)P{X1.5}11.802(6xy)dydx
11.5y24262x)dx1.56.752780(1280(62x)dx832
20
度
(4)P{XY4}dy2044yf(x,y)dxx21482dy04y(6xy)dx1482(6xyx)024ydy23
4.随机变量(X,Y)在矩形域axb,cyd上服从
均匀分布,求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量X及Y是否?
解 按题意(X,Y)具有联合概率密度
1,axb,cyd,f(x,y)(ba)(cd)0,否则.11,axb,cyd, fY(y)cd, fX(x)ba0,xa0,ycxbydX及Y是的.
事实上,若(X,Y)服从区域D上的均匀分布,则只有当
D为矩形区域:axb,cyd时,X与Y分别服从
[a,b],[c,d]上的均匀分布,且X与Y,反之亦然.
5 一仪器由二个部件构成,以X和Y分别表示二个部件的寿命(单位:千小时),已知X和Y的联合分布函数
0.5x0.5y0.5(xy)ee,x0,y01e F(x,y)0,其他,(1)X与Y是否?
21
(2)两个部件的寿命都超过100小时的概率 (1)
X和Y的分布函数分别为
0.5x,x0,1e FX(x)F(x,)0,其他,0.5y,y0,1e FY(y)F(,y)0,其他,由于F(x,y)FX(x)FY(y),故。
(2)P{X0.1,Y0.1}P{X0.1}P{Y0.1}[1FX(0.1)]{1FY(0.1)]e0.050.05
ee0.16 (1)求第二题中X和Y的边缘分布,(2)X与Y是否?
(1)由P{Xi}P{Xi,Yk}
k011P{Yj}P{Xk,Yj}知,放回与不放回的情形
k0都是: X 0 561 16 放回,X与Y;不放
Y 0 1 16Pk Pk 56 回,X与Y不;
7 随机变量(X,Y)的分布函数为
22
F(x,y)=
12(Barctanx2)(Carctany3).
求:(1)(X,Y)的概率密度;(2)边缘概率密度.(3)随机变量X及Y是否?
解
由
分
布
函
数
的
性
质
有
F(x,)=0F(,y)0,F(,)=1
从而对任意的x,y;有
1(B12(Barctanx2)(C22)0,
22)(Carctan6y3)0,于是,有B,C2
f(x,y)fX(x)(4x)(9y)2222
3(4x)2,fY(y)(9y)2 。
8 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为
f(x,4.8y(2x),y)=0,0x1,0yx其它,
求边缘概率密度.
解 对任意0x1,
fX(x)f(x,y)dy4.8y(2x)dy2.4x(2x) 00xx2当x0或x1时fX(x)00dy0,对任意
x0y1,
fY(y)f(x,y)dxy4.8y(2x)dx2.4y(34yy)y121,
可知边缘概率密度为:
23
22.4x(2x),fX(x)0,0x1其它
22.4y(34yy),fy(y)0,0y1.
其它9.某种商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度为
tte,t0f(t),设各周的需要量是相互的,试求两周
t00,需要量的概率密度.
Xi表第i周的需求量,各Xi相互。 设两周的需求量为ZX1X2,则
fZ(z)f(x1,zx1)dx1f(x)f(zx1)dx1X11X2
x10,要fX1(x1)fX2(zx1)0,
zx1而
fX(x1)fX(zx1)x1e12x1(zx1)ezx1(zx1)e(zx1)
3z,z故
fZ(z)x1(zx1)e0z2dx1(2x1z2x13)ez
6ez,(z0) 24
z3ez,z0故fZ(z)3!
0,z010.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从
N(160,400)分布,随机的选取4只,求其中没有一只寿命小
于180小时的概率.
设Xi为选取的第i只电子管的寿命,则Xi~
N(160,20)i1,2,3,4.
令Ymin{X1,X2,X3,X4}则
42P{Y180}[P{X1180}],而
P{X1180}1(1)0.1587 因此
P{Y180}0.000634
11.设随机变量X,Y相互同分布,都在区间[1,3]上服从均匀分布,记事件A{Xa}.B{Ya},且
P(AB)79,求常数a
79P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)a1223a2a13a2221(a1)(a3)4
12a4a34,a4a34299a36a350,a53ora73(3a5)(3a7)0
25
习 题 四
1填空:
(1).设随机变量X服从参数为的泊松分布,且
P{X1}P{X2},求E(X),2,D(X)2.
(2)设随机变量X1,X2,,Xn同分布,期望为a,方差,令Xn2
1nni1Xi,则E(Xn)a,D(Xn)a2n
(3)设随机变量X1,X2,X3,X1在[0.6]上服从均匀分布,X2服从N(0,2),X3服从参数为3的泊松分布,记YX12X23X3,则
D(Y)D(X1)4D(X2)9D(X3)34493462
2 产品次品率为0.1,检验员每天检验4次,每次随机的抽取10件产品进行检验,若发现其中的次品数多于1,就去调整设备,以X表示一天中调整设备的次数,求E(X),(设各产品是否次品是相互的)
设:Y: 取10件进行检验的次品数,
Yb(10,0.1)
1,第i次检验要调整设备,即Xi0,否则次品数大于1,则
26
XXi,i144E(X)E(Xi)4EXii1
4{1P(Xi1}0P(Xi0)}而P(Xi1)1P(Y0)P{Y1}
1i01P{0次品}P{1次品}1C100.10.9ii10i1(0.9100.9)10.736160.2638
9故EX40.26361.0556
5.一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,
x1e4,x0,概率密度为f(x)工厂规定,出售的设备若在
4x0.0,售出一年之内损坏可予以调换,若工厂售出一台设备获毛利100元,调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
A:售出设备一年内调换,Y:表示调换费用。则:
x111e4dx1e4, 04P(A)E(100Y)(100yk)pk=
k11100e4200(1e4)33.(元)
6.设(X,Y)的分布律如下表:
27
X Y -1 0 1 1 0.2 0.1 0.1 0.4 2 0.1 0.0 0.1 0.2 3 0.0 0.3 0.1 0.4 YXP{Yyj} 0.3 0.4 0.3 1 P{Xxi} (1)求E(X),E(Y),(2)设ZZ(XY),求E(Z).
2,求E(Z);(3)设
(1)X,Y的边缘分布见上表,故:
EX10.420.230.42,
EY10.310.30
EZYj(2)
ijXiPij111150.2120.1130
130.1(3)EZ(xiyj)2Pij5
ij7.随机变量X服从几何分布,其分布律为
P{Xk}p(1p)k1,k1,2,,其中0p1是常数.求
E(X),D(X).
E(X)=kqk1pk1(q1p)
28
=p(qq2q1q)=p=.
1qp3 E(X2)=k1kq2k1pp(kq)
k1k=p[q(qk)]p[q(k111q)]
q=p2(1q)2(1q)2(1q)q1qp 其中“′”表示42(1q)p对q的形式导数.
D(X)qp2, E(X)2,D(X)2.
xe,当x0,服从指数分布:f(x)当x0,0,11 设随机变量X其中0.求(1)E(2X),(2)E(e2X). 解 E(2X)2020E(exexdx
xedx2 0xdexxe3xx02X)0eXdx13
12设随机变量服从瑞利分布,其概率密度为
29
2x2x2,x0,其中f(x)2e0,是常数.求E(X),D(X).
0,x0.2xE(X)x2x202e22dx0xde2222xx xe22020e2dx(x22x0e2)d(2)2422x2E(X2)x3x202e22dx20xde222xx2e22x0e220dx2x2x222x22220e2d()2e222220DX(22)2
13设X1,X2,,Xn同分布随机变量,期望为,方n差2
,令X1nnXiS21i1n1(XiX)2,
i12(1)验证E(X),D(X)an
30
,
(2)验证S221n1i122XinX
n2(3)验证E(S) (1)E(X)n1nni1E(Xi)1n21nn,
2D(X)12ni1(2)S2D(Xi)nn2nn
1n1i1n(XiX)222(Xi2XiXX) n1i111n1i1[22Xi2nXnX=
1n1n22i[Xi1nX]
(3)E(S)1n21n1i1[E(Xi)nE(X)]
n22n1i1{[DXi(EXi)n[DXE(X)]
n2221n1i1{[DXi(EXi)]n[2n]DXi
22 习题五
3.对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的数目是一个随机变量,其数学期望是2,方差是1.69,求在100次轰炸中有180颗到220颗命中目标的概率.
第k次轰炸命中目标的次数为Xk(k1,2,,100),则
31
Xk同分布,且E(Xk)2,10021.69,命中的总
次数XXk1100Xknk,k1n2013(近似)~N(0,1),
2013)0.8759
P{180X220}()(4.设保险公司的老年人寿保险一年有1万人参加,每人每年交40元,若老人死亡,公司付给家属2000元,设老人年死亡率为0.017,试求保险公司在这次保险中亏本的概率. 设老人死亡数为X,n10000,p0.017,公司亏本当且仅当 2000X4010000,即X200,于是,
XN(np,npq),
亏本的概率:
P{X200}1(200npnp(1P))1(2.321)0.01017.
5.某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望(未知),方差2400.为了估计,随机地取n只这种器件,在时刻
t0投入测试(设测试是相互的)直到失败,测得其寿
命为X1,X2,,Xn,以X1nnk1Xk作为的估计.为了使
P{X1}0.95,问n至少为多少?
32
nXin P{X1}0.95,P{i1nnn1n}0.95
XinP{i1nn}0.95(n)(n)0.952(n20n)1.95,(n1.96n202查)0.975(1.96)
21.96,201536.,n1537
习题六
1填空题
1 设总体X~N(,),X1,X2,,Xn是来自总体X的样本,则随机变量X~N(,X~t(n1) Sn22n),(n1)S22~(n1),
2(2)在正态总体N(20,3)中抽取2个样本,样本均值分别为X,Y,又样本容量分别为10,15,则P{XY0.3}0.6774 注:X~N(20,310),Y~N(20,315),X,Y。
33
E(XY)0,D(XY)DXDY31031512
故P{XY0.3} P{XY122[1P{XY120.32}P{XY120.32}2(0.32)0.67740.32} (3)在正态总体N(,)中抽取16个样本,,均未知,S为样本方差,则P{S22222S222.041}0.99
P{2.041}P(15S215S2注:
2152.041}2
10.010.992查(15)1P{230.615}2设X1,X2,,Xn是来自总体(n)的样本,求变量样本均值X的数学期望与方差。
由于X1,X2,,Xn是来自总体(n)的样本,故
2E(Xi)n,D(Xi)2n,
E(X)1nni1E(Xi)12n1nnnn,
D(X)ni1D(Xi)1n2n2n2
34
5 X~N(1,),Y~N(2,),从2总体中抽样本,得下列数据:n17,X,S1116.7 ;
n28,Y42,S285.7,求P{0.8127.5}
XY(1解:2总体方差相等,故t1Swn12)~ 1n2222222t(n1n22),其中:Sw1(n11)S1(n21)S2,
n1n22又XY4212,
6116.7785.713n11n219180.518
Sw10.0,所以
P{0.8127.5}XY(12)120.8127.5P}0.51810110.51810Sw
n1n2P{0.869t2.16}P{t0.869}P{t2.16}查表:t0.20(13)0.870,t0.025(13)2.16,故
P{0.8127.5}0.200.0250.175
6总体X~N(,),X1,X2,,Xn是来自总体X的样本,(1)求X1,X2,,Xn的联合概率密度。(2)求X的概率密度。
2 35
(1)e21nn2(xi)i122(2)
12(x)2(22nen)
习题七
一 (1)设X1,X2,X3是来自总体X的样本,
ˆ13X1aX212X3为总体均值均值的无偏估计,则
a16.。
(2)设总体X的一个容量为2的样本为
ˆ1X1,X2,13X123ˆ2X212X112X2总体均值均
ˆ2较为有效。 ˆ1和ˆ2中值的无偏估计,则(3)若由总体F(x,)(为未知参数)的样本观察值求得则称(35.5,45.5)是的置信度P(35.545.5)0.9,为0.9的置信区间。
(4)设总体X的均值未知,根据来自X的容量为10的简单随机样本测得的样本均方差为s6.2022,则X的方差2的置信度为0.95的置信区间为
(18.2213,128.2243)。
2 随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以㎜计):
36
74.001,74.005,74.003,74.001,74.000,
74.993,74.0067,74.002,试求总体均值均值及方差2的矩估计,
解:由P 令
1EXx,1n2 2222EXDX(EX)xi2ni1ˆx故18188i1xi74.001375
ˆ28i1226ˆ610 x13设X1,X2,Xn是来自参数为的泊松分布总体X~
P()的一个样本,试求的极大似然估计和矩估计, P{Xk}解:先求极大似然估计:
nkk!e,k0,1,
L()i1xixi!ne,
nlnL()(xi)lnnln(xi!),
i1i1n令
dlnLdxi0,i1ˆx n0ˆx 再求矩估计:X~P()EX,令x,4设总体X的概率分布为
37
X P 0 21 2 3 12 2(1) 2 12其中(0)是未知参数,利用总体的如下样本值
3,1,3,0,3,1,2,3。求的极大似然估计和矩估
计,
解:矩估计:令
XEX1(22)2223634,
又x1681613441ˆ. 8424L()P(X0)[P(X1)]P(X2)[P(X3)](抽样
X3时,X0出现一次,X1出现两次,X2出现一次,
出现四次,
[2(1)](12)4(1)(12) LnLln46ln2ln(1)4ln(12)2224624dlnLd11216(1)(12)2(12)8(1)6(132)24618121222226280,628128822
1012224522860,1312(she)1430,14247ˆ71312
5设X1,X2,Xn是来自总体的一个样本,试求下列各
38
总体的密度函数或分布律中的未知参数的极大似然估
计和矩估计,
(1)x,0x1,(1)f(x)其中1,未知参数为
0,qita矩估计:令
XEX10x(1)xdxn12ˆ,2x12x
n极大似然估计L()[(1)xi](1)xi
ni1i1nlnL()nln(1)lnxi,
i1令
dlnLdˆlnxi0n1i1nnn1
lnxii1
x(1),x1,(2)f(x)其中1,未知参数为
0,qita矩估计:令
XEX10xx(1)dxnx1111,ˆxx1
极大似然估计L()xii1(1)]
39
lnL()nln(1)lnxi,
i1n令
dlnLd0,ˆnn
lnxii16设X1,X2,Xn是来自总体X~N(,2)的一个样本,试确定常数C,使C(Xi1Xi)2为2的无偏估计。
i1n1解
n1i12n1i122;
E[C(Xi1Xi)]c[E(Xi1)E(Xi)2E(Xi1)E(Xi)](X1,X2,Xn同分布于X)
2c(n1)[E(X)(EX)]2c(n1) c12(n1)222
1,k1,2,,,为未
7 设总体X的分布律为P(Xk)知参数,今从该总体中抽取一随机样本X1,X2,Xn,求的矩估计。 令
X1EX1ˆ2X112111(1)212
8设总体X~N(,),样本观察值:
6.,8.20,6.88,9.02,7.56
40
2求总体均值的置信度为0.95的置信区间 (1)已知1.2 (2)未知
(1)1.2由 页 ,的置信度为1的置信区间为XnZ,20.05,n5,
P{ZZ0.025}0.025查表
(Z0.025)0.975(1.96),Z0.0251.96(6.59,8.69)(2)未知,由 页 ,的置信度为1的置信区间为Xsnt(n1),20.05,n5,
(6.40,8.88)
查表t0.025(4)2.77,10 随机地从A批导线中抽取4根,又从B批导线中抽取5根,测得电阻为:
A批导线:0.143,0.142,0.143,0.137 B批导线:0.140,0.142,0.136,0.138,0.140
设测定数据分别来自分布N(1,2),N(2,2),且两样本相互,又1,2均为未知,试求12的置信度为0.95的置信区间
26解:由题中条件有x0.141,y0.139,s18.23310
s25.261026,n14,2n25,n1n227,210.95(n11)s1(n21)s2260.025,sw6.57110 2n1n2241
sw2.563103,1n11n20.671,t0.025(7)2.36
由 页 式 ,12的置信度为1的置信区间为
XYt(n1n22)sw21n11n2(0.0020.0041)
(0.002,0.006)10 9发炮弹作试验,炮口速度的样本标准差
s11(ms)„„,求的置信度为0.95的置信区间
2解:
(n1)s2P{222~2(n1),故:
2(n1)s(n1)s2(n1)221}1,0.05
2(n1)2查表20.025(8)17.535,P{812117.53520.975(8)2.18,所以
281212.18}0.95
55.24447.4221.1 42
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