第３１卷第４期 ２０１５年８月 大 学 数 学 ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．３１，№．４ Ａｕｇ．２０１５ 非对称实矩阵合同的条件 李成博 ， 胡志广。， 詹华英。 （１．天津大学理学院数学系，天津３０００７２；２．天津师范大学数学科学学院，天津３００３８７； ３．天津理工大学理学院数学系，天津３００３８４） ［摘 要］在工科大学的线性代数课程的知识范畴内，给出了一类非对称实矩阵的合同的判定的一个充 分条件，并举例做具体说明；此项研究回答了工科大学生在学习矩阵合同理论时经常提出的一个疑问，可以作 为工科大学线性代数教学的一个合理的补充材料． ［关键词］非对称实矩阵；合同；正定实矩阵；对角化 ［中图分类号］０１３ ［文献标识码］ｃ ［文章编号］１６７２～１４５４（２０１５）０４—００７９—０４ １ 引 言 众所周知，两个同阶实对称矩阵实合同（以下简称合同）当且仅当它们的正负惯性指数分别相等，或 者说当且仅当它们的正、负特征值的个数分别相等．在第一作者给天津大学的本科生讲授线性代数课程 的过程中，会经常讲到下面这个习题： ｒ＿１ ２ ３］ ｒ＿１ ｏ ｏ］ 设Ａ＝１Ｌ ０ ２ ４ ｌ， Ｂ—１ Ｌ００ ３ ０ ０ ２ ｊＩ ，则Ａ与Ｂ ． ｏ ３ｊ （Ａ）相似且合同 （Ｂ）相似但不合同 （Ｃ）不相似但合同 （Ｄ）不相似且不合同 两个矩阵的特征值相同，容易错用实对称矩阵合同的判定条件得到Ａ与 合同（一个实对称矩阵 不能合同与一个非对称实矩阵）．由此，学生经常提问：合同关系是否只存在于两个实对称矩阵之间？两 个非对称实矩阵是否可以合同？如何判定？ 为了回答以上问题，本文在工科线性代数的知识范畴内，给出了对称部分是正定矩阵的两个非对称 实矩阵合同的一个充分条件，并举例做具体说明． ２合同的一个必要条件 设竹阶实方阵Ａ，．Ｂ都是非对称的，即Ａ≠Ａ ，Ｂ≠．Ｂ ，其中上标丁表示方阵的转置．并记Ａ，，Ａ 为 矩阵Ａ的对称和反对称部分，即 Ａｓ＝Ａ－．￣－ ＡｒＡ 一Ａ－ＡＴ— —— ，． 类似的，也用 ，Ｂ 表示矩阵Ｂ的对称和反对称部分．为了叙述简单，用记号Ａ２Ｂ表示矩阵Ａ与Ｂ 合同． 定理１若Ａ Ｂ，则Ａ ２Ｂ ． 这个定理可以用来判定两个非对称实矩阵不合同． ［收稿日期］２０１５—０１—１５ ［基金项目］国家自然科学基金（１１２０１３３０）；教育部留学回国人员科研启动基金 ８０ 大 学 数 学 第３１卷 例１ Ａ— 因为Ａ ＝＝＝ 孙Ｂ一 ３ 『二１ ］的特征值是５，ｓ，一４，Ｂ 一『 ４ 与Ｂ 不合同，从而由足理１知Ａ与Ｂ不合同． 下面的例子说明定理１的逆命题不成立． 例２ Ａ一［ Ｂ一［ 。 因为Ａ 一［ ］的特征值是一１，３， 一［ ］的特征值是－－２，４，所以Ａ 与 合同．但是，Ａ与Ｂ不 合同，若不然，可以找到可逆矩阵． Ｐ一『Ｌ－ ］满足Ｐ Ｐ—Ｂ．简单计算之后，得到ＩＰＩ一 一 一 ３，但是在ｐｒＡｐ一．Ｂ两边同时取行 Ｃ Ｊ 列式得到导＝＝：１，矛盾． ３两个非对称实矩阵合同的一个判定定理 ～～ 如前，设Ａ，Ｂ都是非对称的 阶实矩阵并进一步假设Ａ 是正定的．若Ａ￣－－Ｂ，则由定理１得Ｂ 正 的 定．由此，不妨也假设Ｂ 正定．下面讨论Ａ￣－－－Ｂ成立的充分条件．为此，需要用到下面的定理． 特 征 定理２Ｅ 设Ｍ是 阶实正定矩阵，Ｎ是ｎ阶实对称矩阵则存在可逆矩阵Ｐ满足 直 是 ３ ｐＴＭｐ—Ｅ ，Ｐ ＮＰ—ｄｉａｇ（２１， ２，…， ）， 其中 ， 。，…， 是实数． — 定理３设可逆矩阵ｐ满足 ３ 一 ６ Ｐ ｌＡ Ｐ—Ｅ ，Ｐ Ｐ—ｄｉａｇ（２１， ２，…， ）， 其中每个 ＞Ｏ．若 所 以 ｄｉａｇ（ Ａ ， ，…， ）・（ＰｒＡ Ｐ）・ｄｉａｇ（ ， ，…， ）一Ｐ Ｂ Ｐ， 则 Ａ Ｂ． 证综合已知条件，有 ｄｉａｇ（ ：ｄｉａｇ（ ：ｄｉａｇ（ ， ， ， ，…， ，…， ，…， ・（ＰｒＡＰ）・ｄｉａｇ（ ， ，…， ， ，…， ） ）・（Ｐ （Ａ ＋Ａ ）Ｐ）・ｄｉａｇ（ 、）・Ｅｎ・ｄｉａｇ（ ， ，…， ＋ＰＴＢ Ｐ ＝ｄｉａｇ（２１， ２，…， ）＋ＰｒＢ Ｐ—Ｐ Ｂ Ｐ＋Ｐ Ｐ—Ｐ ＢＰ． 这就证明定理的结论． 为方便起见，给出应用定理３来判断非对称实矩阵合同的主要步骤（其合理性请参看后面的 定理４）． 第一步第二步达式． 求解一元 次方程组ＩＢ 一 Ｉ＝０，得到 个正实根 ， ｚ，…， 对每一个 （相同的 只计算一次即可），求解线性方程组（Ｂ 一 ４ ）ｘ一０，得到通解的表 对第二步中的每一个线性方程组，可以选取合适的基础解系并把这些基础解系中的向量 第三步作为列向量组成一个 阶方阵Ｐ，使得 第４期 李成博，等：非对称实矩阵合同的条件 ｐＴＡｐ—Ｅ ，Ｐ ＢＰ—ｄｉａｇＯ，１， ２，…， ）． ８１ 第四步验证 ｄｉａｇ（ ， ，…， ）・（ｐｒＡ Ｐ）・ｄｉａｇ（ ， ，…，，／２／）一ｐｒＢ Ｐ 是否成立．如果成立，则得到Ａ二＝＝Ｂ． 例３判断矩阵Ａ一［ ］与Ｂ一１０ 解写出两个矩阵的对称和反对称部分 Ａｓ ｌ ２ ２ｚ］．Ｊ， 一－一［ ２＿２ ０Ｊ’ ｌ ２ ２２］Ｊ，’ 一ｌ１ 一 ｏ Ｊ 首先，求解ｆ［ －－２［ ］Ｉ一。，得 一 ， ｚ一÷．然后，求得线性方程组 （［ ［ ２］）ｘ一。 和 相 日 （ ２卜 一。 的通解分别是『Ｌ０ｎ Ｌ］和『６——０，］Ｊ ，。，６∈嗵． 从而，可以设矩阵Ｐ—ｆＬ０ ，］，因为Ｐ丁Ａ Ｐ—Ｅ ，可以取口－一 Ｔ，６一 １，此时也有 ａ——０Ｊ ｐｒＢ，ｐ＝Ｅ０ｌ 最后，容易验证 咖 曲ｇ（ ， ）．（Ｐ ）．ｄ堍 ｚ一２－ －－。１］． ４注释与延伸 （ｉ）两个非对称实矩阵Ａ，＿Ｂ合同的一个等价刻画是它们的对称部分Ａ ，Ｂ 和反对称部分Ａ ，Ｂ“同 步合同，即存在（同一个）可逆矩阵Ｐ，使得 Ｐ Ｐ＝＝＝Ｂ ，ＵＡ Ｐ—Ｂ… 这个问题不同于实对称矩阵的合同，难度大，还没有十分满意的结果．本文的目的不是给出非对称 矩阵合同的深人完整的研究，而是像本文开始提到的那样，在工科大学的线性代数课程的知识范畴内， 给出相对容易的一个合同的判定定理并举出实例，希望可以作为工科大学生学习实对称矩阵合同理论 的一个补充材料． （ｉｉ）当对称部分Ａ ，Ｂ 都正定时，可以分别做满秩线性替换Ｘ＝Ｐ￣Ｙ，Ｘ－＝Ｐ￣Ｙ，使得 ＰＴＡ Ｐｌ＝ｐｚｒＢ Ｐ ２＝－Ｅ ． 不妨从一开始就假设Ａ 一Ｂ 一Ｅ ，也就是说， Ａ＝Ｅ ＋Ａ ，Ｂ＝Ｅ ＋Ｂ ． 所以，理论上来说，判断Ａ，Ｂ合同的问题化为了Ａ ，Ｂ （正交）合同的问题．而由正规实矩阵的结论，两 个反对称矩阵（正交）合同当且仅当特征多项式相同 ． （ｉｉｉ）下面这个定理保证了前面提到的应用定理３来判断非对称矩阵合同的步骤中第一步和第三 ８２ 步总是可以实施的． 大 学 数 学 第３１卷 定理４设Ａ是正定矩阵，Ｂ是实对称矩阵，则存在可逆矩阵Ｐ：Ｉｘ ，ｘ ，…， ］满足 Ｂｘ 一ＡｉＡｘ ， 其中 １， ２，…， 是实数，且Ｐ丁ＡＰ—Ｅ ，ＰｒＢＰ—ｄｉａｇ（Ａ１， ２，…， ）． 证设Ａ—Ｓ Ｓ，则 ｌ Ｂ— Ｉ—ｌＡ Ｉ・１（ｓ ） ＢＳ一旭 １， 因为实对称矩阵的特征值都是实数，得到１ Ｂ～ ｌ一０有 个实根，设为 ， 。，…， ．对于任一个 ，考 虑其对应的线性方程组（．Ｂ— ｉＡ）ｘ一０，由实二次型理论（或者用施密特正交化方法）可以选取一个基础 解系Ｘ㈡Ｘ …，Ｘ¨满足 Ｘ￣＇ＡＸ ．一 ． 而对于两个不同的 ， ，，任取ｘ，ｙ分别为线性方程组 （Ｂ— ４）Ｘ—Ｏ， （ — Ａ）Ｘ一０ 的解，则 Ｘ Ａｙ—ＸｒＢＹ＝ｙｒＢＸ＝ ＹｒＡＸ— Ｘ ｌＡｙ一０． 这样取得的解向量组成矩阵Ｐ，即是定理中要求的矩阵． ［参 考 文 献］ ［１］天津大学数学系代数教研组．线性代数及其应用ｆ－Ｍ］．北京：科学出版社，２０１０：２５３—２５４ ［２］孟道骥．高等代数与解析几何（下）［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１０． Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｈｅ Ｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅ ｏｆ Ｎｏｎ—ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ Ｒｅａｌ Ｍａｔｒｉｃｅｓ ＬＩ Ｃｈｅｎｇ—ｂｏ ． ＨＵ Ｚｈｉ—ｇｕａｎｇ ． ＺＨＡＮ Ｈｕａ—ｙｉｎｇ。 （１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｔｉａｎｉｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ ３０００７２ Ｃｈｉｎａ； ２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｔｉａｎｊｉｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ ３００３８７，Ｃｈｉｎａ； ３．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｔｉａｎｊｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ ３００３８４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｅ ｓｃｏｐｅ ｏｆ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｏｆ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ ｃｏｕｒｓｅｓ，ａ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｔＯ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｅ ｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎ—ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｒｅａｌ ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｎｄ ａｎ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ａｌｓｏ ｇｉｖｅｎ；Ｔｈｉｓ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａｎ ａｎｓｗｅｒ ｔｏ ａ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅｙ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅ ｏｆ ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｎｄ ｃａｎ ｂｅ ｔａｋｅｎ ａｓ ａ ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ ａｄｄｉｔｉｏｎａｌ ｍａｔｅｒｉａｌ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｉｎ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｉｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎ－ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｒｅａｌ ｍａｔｒｉｃｅｓ；ｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｒｅａｌ ｍａｔｒｉｃｅｓ；ｄｉａｇｏｎａｌｉｚａｔｉｏｎ
