广丰区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
2xy20,1. 如果点P在平面区域x2y10,上,点Q在曲线x2(y2)21上,那么|PQ|的最小值为( )
xy20A.51 B.41 C. 221 D.21 52. 已知函数f(x)=x3+(1﹣b)x2﹣a(b﹣3)x+b﹣2的图象过原点,且在原点处的切线斜率是﹣3,则不等式组A.
B.
22
所确定的平面区域在x+y=4内的面积为( )
C.π D.2π
3. 已知函数f(x)=lg(1﹣x)的值域为(﹣∞,1],则函数f(x)的定义域为( ) A.[﹣9,+∞) B.[0,+∞) C.(﹣9,1) A.0.1
5. 已知函数f(x)=
B.0.2
D.[﹣9,1)
D.0.4
4. 如果随机变量ξ~N (﹣1,σ2),且P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,则P(ξ≥1)等于( )
C.0.3
是R上的增函数,则a的取值范围是( )
A.﹣3≤a<0 B.﹣3≤a≤﹣2 C.a≤﹣2 D.a<0
6. 设f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能是( )
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A. B. C.
D.
7. 数列{an}中,a11,对所有的n2,都有a1a2a3A.
ann2,则a3a5等于( )
25256131 B. C. D. 9161615
8. 如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列判断错误的是( )
A. = B.∥ C. D.
9. 设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若m∥l,m⊥α,则l⊥α; ②若m∥l,m∥α,则l∥α;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n; ④若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,n∥β,则l∥m. 其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如果对定义在R上的函数f(x),对任意mn,均有mf(m)nf(n)mf(n)nf(m)0成立,则称 函数f(x)为“H函数”.给出下列函数: ①
f(x)ln2x5;②f(x)x34x3;③f(x)22x2(sinxcosx);④
ln|x|,x0.其中函数是“H函数”的个数为( ) f(x)0,x0第 2 页,共 19 页
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A.1 B.2 C.3 D. 4
【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力,对函数的单调性定义能从不同角度来刻画,对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力,由于是给定信息题,因此本题灵活性强,难度大.
11.AA1=2AB=2AD,G为CC1中点, 长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,则直线A1C1与BG所成角的大小是( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
x12.设函数fxe2x1axa,其中a1,若存在唯一的整数,使得ft0,则的 取值范围是( ) A.333333,1 B., C., D.,11111] 2e2e42e42e二、填空题
13.袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球,不放回地依次摸出2个球,在第1次摸出红球的条件下,第2次摸出的也是红球的概率为 .
14.用“<”或“>”号填空:30.8 30.7.
15.为了近似估计π的值,用计算机分别产生90个在[﹣1,1]的均匀随机数x1,x2,…,x90和y1,y2,…,y90,
*
在90组数对(xi,yi)(1≤i≤90,i∈N)中,
经统计有25组数对满足,则以此估计的π值为 .
16.已知向量
、
满足
,则|+|= .
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17.若全集,集合,则 。 ,
),(3,
),则O点到直线AB
18.在极坐标系中,O是极点,设点A,B的极坐标分别是(2的距离是 .
三、解答题
19.(选做题)已知f(x)=|x+1|+|x﹣1|,不等式f(x)<4的解集为M. (1)求M;
(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|.
20.【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知函数fxaxlnx,
212451xxlnx,f2xx22ax,aR 6392(1)求证:函数fx在点e,fe处的切线恒过定点,并求出定点的坐标; f1x(2)若fxf2x在区间1,上恒成立,求a的取值范围; (3)当a2时,求证:在区间0,上,满足f1xgxf2x恒成立的函数gx有无穷多个.(记3ln51.61,ln61.79)
21.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲
如图所示,已知PA与⊙O相切,A为切点,过点P的割线交圆于B,C两点,弦CD//AP,AD,BC相 交于点E,F为CE上一点,且DE2EFEC.
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(Ⅰ)求证:EDFP;
(Ⅱ)若CE:BE3:2,DE3,EF2,求PA的长.
【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识,意在考查逻辑推理能力.
22.(本小题满分12分)
2014年7月16日,中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》,报告显示:我国网络购物用户已达3.32亿.为了了解网购者一次性购物金额情况,某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况,得到如下数据统计表.已知网购金额在2000元以上(不含2000元)的频率为0.4.
(Ⅰ)确定x,y,p,q的值;
(Ⅱ)为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关,对这100名网购者调查显示:购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人,购物金额在2000元以下(含2000元)的网购者中网龄不足3年的有20人.
①请将列联表补充完整;
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购物金额在2000元以上 购物金额在2000元以下 合计 参考数据: 网龄3年以上 35 网龄不足3年 20 合计 100 ②并据此列联表判断,是否有97.5%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关?
2k 0.15 2.072 0.10 2.706 20.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 k nadbc2(参考公式:,其中nabcd)
abcdacbd
23.已知数列{an}满足a1=a,an+1=(1)求a2,a3,a4;
(2)猜测数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.
24.(本小题满分12分)
某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩(满分120分)分布直方图如下,已知分数在100-110的学生 数有21人.
(1)求总人数N和分数在110-115分的人数;
(n∈N).
*
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(2)现准备从分数在110-115的名学生(女生占
1)中任选3人,求其中恰好含有一名女生的概率; 3(3)为了分析某个学生的学习状态,对其下一阶段的学生提供指导性建议,对他前7次考试的数学成绩 (满分150分),物理成绩y进行分析,下面是该生7次考试的成绩. 88 83 117 92 108 数学 物理 94 91 108 96 104 100 101 112 106 已知该生的物理成绩y与数学成绩是线性相关的,若该生的数学成绩达到130分,请你估计他的物理 成绩大约是多少?
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2)……(un,vn),其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分 别为:^n(uu)(vv)iii1(uu)ii1n,avu.
^^2
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广丰区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】
试题分析:根据约束条件画出可行域Z|PQ|表示圆上的点到可行域的距离,当在点A处时,求出圆心到可 行域的距离内的点的最小距离5,当在点A处最小, |PQ|最小值为51,因此,本题正确答案是51.
考点:线性规划求最值. 2. 【答案】 B
【解析】解:因为函数f(x)的图象过原点,所以f(0)=0,即b=2. 则f(x)=
x3﹣x2+ax,
2
函数的导数f′(x)=x﹣2x+a,
因为原点处的切线斜率是﹣3, 即f′(0)=﹣3, 所以f′(0)=a=﹣3, 故a=﹣3,b=2, 所以不等式组则不等式组
如图阴影部分表示,
所以圆内的阴影部分扇形即为所求.
为
22
确定的平面区域在圆x+y=4内的面积,
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∵kOB=﹣,kOA=,
∴tan∠BOA==1,
∴∠BOA=,
,扇形的面积是圆的面积的八分之一,
×4×π=
,
∴扇形的圆心角为
22
∴圆x+y=4在区域D内的面积为
故选:B
【点评】本题主要考查导数的应用,以及线性规划的应用,根据条件求出参数a,b的是值,然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键.
3. 【答案】D
【解析】解:函数f(x)=lg(1﹣x)在(﹣∞,1)上递减, 由于函数的值域为(﹣∞,1], 则lg(1﹣x)≤1, 则有0<1﹣x≤10, 解得,﹣9≤x<1. 则定义域为[﹣9,1), 故选D.
【点评】本题考查函数的值域和定义域问题,考查函数的单调性的运用,考查运算能力,属于基础题.
4. 【答案】A
【解析】解:如果随机变量ξ~N(﹣1,σ),且P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,
2
∵P(﹣3≤ξ≤﹣1) =∴
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∴P(ξ≥1)=.
【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似的服从正态分布,正态分布在概率和统计中具有重要地位.
5. 【答案】B
【解析】解:∵函数
设g(x)=﹣x﹣ax﹣5(x≤1),h(x)=(x>1)
2
2
由分段函数的性质可知,函数g(x)=﹣x﹣ax﹣5在(﹣∞,1]单调递增,函数h(x)=在(1,+∞)单调
是R上的增函数
递增,且g(1)≤h(1) ∴
∴
解可得,﹣3≤a≤﹣2
故选B
6. 【答案】D
【解析】解:根据函数与导数的关系:可知,当f′(x)≥0时,函数f(x)单调递增;当f′(x)<0时,函数f(x)单调递减
结合函数y=f(x)的图象可知,当x<0时,函数f(x)单调递减,则f′(x)<0,排除选项A,C
当x>0时,函数f(x)先单调递增,则f′(x)≥0,排除选项B 故选D
【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象,属于基础试题
7. 【答案】C 【解析】
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试题分析:由a1a2a3ann,则a1a2a32n2,所以a1),两式作商,可得ann1(n2(n1)2325261a3a522,故选C.
2416考点:数列的通项公式. 8. 【答案】D
【解析】解:由图可知,故选D.
,但
不共线,故
,
【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义,属基础题.
9. 【答案】 B
【解析】解:∵①若m∥l,m⊥α,
则由直线与平面垂直的判定定理,得l⊥α,故①正确; ②若m∥l,m∥α,则l∥α或l⊂α,故②错误; ③如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中, 平面ABB1A1∩平面ABCD=AB, 平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1, 平面ABCD∩平面BCC1B1=BC, 由AB、BC、BB1两两相交,得:
若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n不成立,故③是假命题; ④若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,n∥β,
则由α∩γ=n知,n⊂α且n⊂γ,由n⊂α及n∥β,α∩β=m, 得n∥m,同理n∥l,故m∥l,故命题④正确. 故选:B.
【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
10.【答案】B
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第
11.【答案】C
【解析】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴, 建立空间直角坐标系, 设AA1=2AB=2AD=2,
A1(1,0,2),C1(0,1,2),B(1,1,0),G(0,1,1),设直线A1C1与BG所成角为θ, cosθ=∴θ=60°. 故选:C.
=
=,
=(﹣1,1,0), =(﹣1,0,1),
【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力,解题时要注意向量法的合理运用.
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12.【答案】D 【解析】
考
点:函数导数与不等式.1 数gxe范围.
x【思路点晴】本题主要考查导数的运用,涉及划归与转化的数学思想方法.首先令fx0将函数变为两个函
2x1,hxaxa,将题意中的“存在唯一整数,使得gt在直线hx的下方”,转化为
存在唯一的整数,使得gt在直线hxaxa的下方.利用导数可求得函数的极值,由此可求得m的取值
二、填空题
13.【答案】
.
【解析】解:方法一:由题意,第1次摸出红球,由于不放回,所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球
=,
故在第1次摸出红球的条件下,第2次摸出的也是红球的概率为方法二:先求出“第一次摸到红球”的概率为:P1=
,
设“在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸到红球”的概率是P2 再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P=根据条件概率公式,得:P2=故答案为:
=,
=,
【点评】本题考查了概率的计算方法,主要是考查了条件概率与事件的理解,属于中档题.看准确事件之间的联系,正确运用公式,是解决本题的关键.
14.【答案】 >
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x
【解析】解:∵y=3是增函数, 又0.8>0.7,
0.80.7∴3>3.
故答案为:>
【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用,是基础题.
15.【答案】
.
【解析】设A(1,1),B(﹣1,﹣1),则直线AB过原点,且阴影面积等于直线AB与圆弧所 围成的弓形面积S1,由图知,
,又
,所以
【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式,属于中档题.
16.【答案】 5 .
=(1,0)+(2,4)=(3,4). 【解析】解:∵∴
=
=5.
故答案为:5.
【点评】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式,属于基础题.
17.【答案】{|0<<1} 【解析】∵18.【答案】
【解析】解:根据点A,B的极坐标分别是(2)、(﹣,
),
,
),(3,
),可得A、B的直角坐标分别是(3,
.
,∴
{|0<<1}。
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故AB的斜率为﹣,故直线AB的方程为 y﹣
=
,
=﹣(x﹣3),即x+3y﹣12=0,
所以O点到直线AB的距离是故答案为:
.
【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法,点到直线的距离公式的应用,属于基础题.
三、解答题
19.【答案】
【解析】(Ⅰ)解:f(x)=|x+1|+|x﹣1|=当x<﹣1时,由﹣2x<4,得﹣2<x<﹣1; 当﹣1≤x≤1时,f(x)=2<4; 当x>1时,由2x<4,得1<x<2. 所以M=(﹣2,2).…
(Ⅱ)证明:当a,b∈M,即﹣2<a,b<2,
22222222
∵4(a+b)﹣(4+ab)=4(a+2ab+b)﹣(16+8ab+ab)=(a﹣4)(4﹣b)<0, 22
∴4(a+b)<(4+ab),
∴2|a+b|<|4+ab|.…
【点评】本题考查绝对值函数,考查解不等式,考查不等式的证明,解题的关键是将不等式写成分段函数,利用作差法证明不等式.
20.【答案】(1)切线恒过定点e111,.(2) a的范围是, (3) 在区间1,上,满足
2222f1xgxf2x恒成立函数gx有无穷多个
11ee12aex,故过定点,;2e222【解析】试题分析:(1)根据导数的几何意义求得切线方程为y试题解析:
(1)因为fx2ax
11,所以fx在点e,fe处的切线的斜率为k2ae, xe第 15 页,共 19 页
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1e11ee1整理得y2aex,所以切线恒过定点,.
2e2221(2)令pxfxf2xax22axlnx0,对x1,恒成立,
222a1x112a1x2ax1x1*
因为px2a1x2axxx1令px0,得极值点x11,x2,
2a111①当a1时,有x2x11,即a1时,在x2,上有px0,
22此时px在区间x2,上是增函数,并且在该区间上有pxpx2,,不合题意;
所以fx在点e,fe处的切线方程为y2aexeae21,
②当a1时,有x2x11,同理可知,px在区间1,上,有pxp1,,也不合题意; ③当a从而px在区间1,上是减函数;
1时,有2a10,此时在区间1,上恒有px0, 2110a, 22要使px0在此区间上恒成立,只须满足p1a所以11a. 22综上可知a的范围是11,. 22(利用参数分离得正确答案扣2分)
21245124时,f1xxxlnx,f2xxx 363923125记yf2xf1xxlnx,x1,.
392x56x25因为y, 39x9x5令y0,得x
655所以yf2xf1x在0,6,上为增函数, 为减函数,在6(3)当a所以当x559时,ymin
1806第 16 页,共 19 页
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设Rxf591x18001,则f1xRxf2x, 所以在区间1,上,满足f1xgxf2x恒成立函数gx有无穷多个 21.【答案】
【解析】(Ⅰ)∵DE2EFEC,DEFDEF ∴DEF∽CED,∴EDFC……………………2分 又∵CD//AP,∴PC, ∴EDFP.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得EDFP,又DEFPEA,∴EDF∽EPA,
∴
EAEFEPED,∴EAEDEFEP,又∵EAEDCEEB,∴CEEBEFEP. ∵DE2EFEC,DE3,EF2,∴ EC9272,∵CE:BE3:2,∴BE3,解得EP4.
∴BPEPEB15.∵PA是⊙O的切线,∴PA24PBPC
∴PA21(27492),解得PA1534.……………………10分 22.【答案】
【解析】(Ⅰ)因为网购金额在2000元以上的频率为0.4, 所以网购金额在2000元以上的人数为1000.4=40 所以30y40,所以y10,……………………1分
x15,……………………2分
所以p0.15,q0.1……………………4分
⑵由题设列联表如下
网龄3年以上 网龄不足3年 合 计
购物金额在2000元以上 35 5 40 ……………………7分 购物金额在2000元以下 40 20 60 合计 75 25 100 所
2n(adbc)2K(ab)(cd)(ac)(bd)100(3520405)2752540605.56…………9分
因为5.565.024……………………10分
所以据此列联表判断,有97.5%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关.
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以=
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……………………12分 23.【答案】
【解析】解:(1)由an+1=,可得a2=
=
,
a3=
=
=
,
a4=
==.
(2)猜测an=
(n∈N*
).
下面用数学归纳法证明: ①当n=1时,左边=a1=a, 右边=
=a,猜测成立.
②假设当n=k(k∈N*
)时猜测成立,
即ak=
.
则当n=k+1时,ak+1==
=
.
故当n=k+1时,猜测也成立.
由①,②可知,对任意n∈N*
都有an=
24.【答案】(1)60,n6;(2)P815;(3)115. 【解析】
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=
成立.
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试
题解析:
(1)分数在100-110内的学生的频率为P1(0.040.03)50.35,所以该班总人数为N2160, 0.35分数在110-115内的学生的频率为P21(0.010.040.050.040.030.01)50.1,分数在110-115内的人数n600.16.
(2)由题意分数在110-115内有6名学生,其中女生有2名,设男生为A1,A2,A3,A4,女生为B1,B2,从6名学生中选出3人的基本事件为:(A1,B1),(A2,A3),(A2,A4),1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B2),(A(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2)共15个.
其中恰 好含有一名女生的基本事件为(A1,B1),(A(A2,B1),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),1,B2),(A2,B2),
(A4,B2),共8个,所以所求的概率为P(3)x1008. 151217178812100;
76984416y100100;
7由于与y之间具有线性相关关系,根据回归系数公式得到
^^497b0.5,a1000.510050,
994∴线性回归方程为y0.5x50,
∴当x130时,y115.1
考点:1.古典概型;2.频率分布直方图;3.线性回归方程.
【易错点睛】本题主要考查古典概型,频率分布直方图,线性回归方程,数据处理和计算能力.求线性回归方程,关键在于正确求出系数a,b,一定要将题目中所给数据与公式中的a,b,c相对应,再进一步求解.在求解过程中,由于a,b的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误,特别是回归直线方程中一次项系数为b,常数项为这与一次函数的习惯表示不同.
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