广丰区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

广丰区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

2xy20,1． 如果点P在平面区域x2y10,上，点Q在曲线x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值为（ ）

xy20A．51 B．41 C. 221 D．21 52． 已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组A．

B．

22

所确定的平面区域在x+y=4内的面积为（ ）

C．π D．2π

3． 已知函数f（x）=lg（1﹣x）的值域为（﹣∞，1]，则函数f（x）的定义域为（ ） A．[﹣9，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣9，1） A．0.1

5． 已知函数f（x）=

B．0.2

D．[﹣9，1）

D．0.4

4． 如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P（ξ≥1）等于（ ）

C．0.3

是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）

A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0

6． 设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（ ）

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A． B． C．

D．

7． 数列{an}中，a11，对所有的n2，都有a1a2a3A．

ann2，则a3a5等于（ ）

25256131 B． C． D． 9161615

8． 如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ）

A． = B．∥ C． D．

9． 设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m∥l，m⊥α，则l⊥α； ②若m∥l，m∥α，则l∥α；

③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n； ④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则l∥m． 其中正确命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．如果对定义在R上的函数f(x)，对任意mn，均有mf(m)nf(n)mf(n)nf(m)0成立，则称 函数f(x)为“H函数”.给出下列函数： ①

f(x)ln2x5；②f(x)x34x3；③f(x)22x2(sinxcosx)；④

ln|x|,x0．其中函数是“H函数”的个数为（ ） f(x)0,x0第 2 页，共 19 页

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A．1 B．2 C．3 D． 4

【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大．

11．AA1=2AB=2AD，G为CC1中点， 长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则直线A1C1与BG所成角的大小是（ ）

A．30° B．45° C．60° D．120°

x12．设函数fxe2x1axa，其中a1，若存在唯一的整数，使得ft0，则的 取值范围是（ ） A．333333,1 B．, C．, D．,11111] 2e2e42e42e二、填空题

13．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为 ．

14．用“＜”或“＞”号填空：30.8 30.7．

15．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x1，x2，…，x90和y1，y2，…，y90，

*

在90组数对（xi，yi）（1≤i≤90，i∈N）中，

经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为 ．

16．已知向量

、

满足

，则|+|= ．

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17．若全集，集合，则 。 ，

），（3，

），则O点到直线AB

18．在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2的距离是 ．

三、解答题

19．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M． （1）求M；

（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

20．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知函数fxaxlnx，

212451xxlnx，f2xx22ax，aR 6392（1）求证：函数fx在点e,fe处的切线恒过定点，并求出定点的坐标； f1x（2）若fxf2x在区间1,上恒成立，求a的取值范围； （3）当a2时，求证：在区间0,上，满足f1xgxf2x恒成立的函数gx有无穷多个．（记3ln51.61,ln61.79）

21．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B,C两点，弦CD//AP，AD,BC相 交于点E，F为CE上一点，且DE2EFEC．

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（Ⅰ）求证：EDFP；

（Ⅱ）若CE:BE3:2,DE3,EF2，求PA的长．

【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．

22．（本小题满分12分）

2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达3.32亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．

（Ⅰ）确定x，y，p，q的值；

（Ⅱ）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．

①请将列联表补充完整；

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购物金额在2000元以上 购物金额在2000元以下 合计 参考数据： 网龄3年以上 35 网龄不足3年 20 合计 100 ②并据此列联表判断，是否有97.5%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关？

2k 0.15 2.072 0.10 2.706 20.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 k nadbc2（参考公式：，其中nabcd）

abcdacbd

23．已知数列{an}满足a1=a，an+1=（1）求a2，a3，a4；

（2）猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

24．（本小题满分12分）

某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100-110的学生 数有21人.

（1）求总人数N和分数在110-115分的人数；

（n∈N）．

*

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（2）现准备从分数在110-115的名学生（女生占

1）中任选3人，求其中恰好含有一名女生的概率； 3（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩 （满分150分），物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩. 88 83 117 92 108 数学 物理 94 91 108 96 104 100 101 112 106 已知该生的物理成绩y与数学成绩是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理 成绩大约是多少？

附：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)……(un,vn)，其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分 别为：^n(uu)(vv)iii1(uu)ii1n，avu.

^^2

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广丰区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参） 一、选择题

1． 【答案】A 【解析】

试题分析：根据约束条件画出可行域Z|PQ|表示圆上的点到可行域的距离,当在点A处时,求出圆心到可 行域的距离内的点的最小距离5,当在点A处最小, |PQ|最小值为51,因此，本题正确答案是51.

考点：线性规划求最值. 2． 【答案】 B

【解析】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2． 则f（x）=

x3﹣x2+ax，

2

函数的导数f′（x）=x﹣2x+a，

因为原点处的切线斜率是﹣3， 即f′（0）=﹣3， 所以f′（0）=a=﹣3， 故a=﹣3，b=2， 所以不等式组则不等式组

如图阴影部分表示，

所以圆内的阴影部分扇形即为所求．

为

22

确定的平面区域在圆x+y=4内的面积，

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∵kOB=﹣，kOA=，

∴tan∠BOA==1，

∴∠BOA=，

，扇形的面积是圆的面积的八分之一，

×4×π=

，

∴扇形的圆心角为

22

∴圆x+y=4在区域D内的面积为

故选：B

【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．

3． 【答案】D

【解析】解：函数f（x）=lg（1﹣x）在（﹣∞，1）上递减， 由于函数的值域为（﹣∞，1]， 则lg（1﹣x）≤1， 则有0＜1﹣x≤10， 解得，﹣9≤x＜1． 则定义域为[﹣9，1）， 故选D．

【点评】本题考查函数的值域和定义域问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．

4． 【答案】A

【解析】解：如果随机变量ξ～N（﹣1，σ），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，

2

∵P（﹣3≤ξ≤﹣1） =∴

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∴P（ξ≥1）=．

【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．

5． 【答案】B

【解析】解：∵函数

设g（x）=﹣x﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）

2

2

由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调

是R上的增函数

递增，且g（1）≤h（1） ∴

∴

解可得，﹣3≤a≤﹣2

故选B

6． 【答案】D

【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减

结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C

当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B 故选D

【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题

7． 【答案】C 【解析】

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试题分析：由a1a2a3ann，则a1a2a32n2，所以a1)，两式作商，可得ann1(n2(n1)2325261a3a522，故选C．

2416考点：数列的通项公式． 8． 【答案】D

【解析】解：由图可知，故选D．

，但

不共线，故

，

【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．

9． 【答案】 B

【解析】解：∵①若m∥l，m⊥α，

则由直线与平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确； ②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误； ③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 平面ABB1A1∩平面ABCD=AB， 平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1， 平面ABCD∩平面BCC1B1=BC， 由AB、BC、BB1两两相交，得：

若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题； ④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，

则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m， 得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确． 故选：B．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

10．【答案】B

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第

11．【答案】C

【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立空间直角坐标系， 设AA1=2AB=2AD=2，

A1（1，0，2），C1（0，1，2），B（1，1，0），G（0，1，1），设直线A1C1与BG所成角为θ， cosθ=∴θ=60°． 故选：C．

=

=，

=（﹣1，1，0）， =（﹣1，0，1），

【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．

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12．【答案】D 【解析】

考

点：函数导数与不等式．1 数gxe范围.

x【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令fx0将函数变为两个函

2x1,hxaxa，将题意中的“存在唯一整数，使得gt在直线hx的下方”，转化为

存在唯一的整数，使得gt在直线hxaxa的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m的取值

二、填空题

13．【答案】

．

【解析】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球

=，

故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=

，

设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2 再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P=根据条件概率公式，得：P2=故答案为：

=，

=，

【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．

14．【答案】 ＞

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x

【解析】解：∵y=3是增函数， 又0.8＞0.7，

0.80.7∴3＞3．

故答案为：＞

【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用，是基础题．

15．【答案】

．

【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所 围成的弓形面积S1，由图知，

，又

，所以

【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．

16．【答案】 5 ．

=（1，0）+（2，4）=（3，4）． 【解析】解：∵∴

=

=5．

故答案为：5．

【点评】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式，属于基础题．

17．【答案】{|0＜＜1｝ 【解析】∵18．【答案】

【解析】解：根据点A，B的极坐标分别是（2）、（﹣，

），

，

），（3，

），可得A、B的直角坐标分别是（3，

．

，∴

{|0＜＜1｝。

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故AB的斜率为﹣，故直线AB的方程为 y﹣

=

，

=﹣（x﹣3），即x+3y﹣12=0，

所以O点到直线AB的距离是故答案为：

．

【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1； 当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4； 当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2． 所以M=（﹣2，2）．…

（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，

22222222

∵4（a+b）﹣（4+ab）=4（a+2ab+b）﹣（16+8ab+ab）=（a﹣4）（4﹣b）＜0， 22

∴4（a+b）＜（4+ab），

∴2|a+b|＜|4+ab|．…

【点评】本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．

20．【答案】（1）切线恒过定点e111,．（2） a的范围是, （3） 在区间1,上，满足

2222f1xgxf2x恒成立函数gx有无穷多个

11ee12aex，故过定点,；2e222【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求得切线方程为y试题解析：

（1）因为fx2ax

11，所以fx在点e,fe处的切线的斜率为k2ae， xe第 15 页，共 19 页

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1e11ee1整理得y2aex，所以切线恒过定点,．

2e2221（2）令pxfxf2xax22axlnx0，对x1,恒成立，

222a1x112a1x2ax1x1*

因为px2a1x2axxx1令px0，得极值点x11，x2，

2a111①当a1时，有x2x11，即a1时，在x2,上有px0，

22此时px在区间x2,上是增函数，并且在该区间上有pxpx2,，不合题意；

所以fx在点e,fe处的切线方程为y2aexeae21，

②当a1时，有x2x11，同理可知，px在区间1,上，有pxp1,，也不合题意； ③当a从而px在区间1,上是减函数；

1时，有2a10，此时在区间1,上恒有px0， 2110a， 22要使px0在此区间上恒成立，只须满足p1a所以11a． 22综上可知a的范围是11,． 22（利用参数分离得正确答案扣2分）

21245124时，f1xxxlnx，f2xxx 363923125记yf2xf1xxlnx，x1,．

392x56x25因为y， 39x9x5令y0，得x

655所以yf2xf1x在0,6,上为增函数， 为减函数，在6（3）当a所以当x559时，ymin

1806第 16 页，共 19 页

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设Rxf591x18001，则f1xRxf2x， 所以在区间1,上，满足f1xgxf2x恒成立函数gx有无穷多个 21．【答案】

【解析】（Ⅰ）∵DE2EFEC,DEFDEF ∴DEF∽CED,∴EDFC……………………2分 又∵CD//AP,∴PC, ∴EDFP．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得EDFP，又DEFPEA，∴EDF∽EPA，

∴

EAEFEPED，∴EAEDEFEP，又∵EAEDCEEB，∴CEEBEFEP． ∵DE2EFEC,DE3,EF2，∴ EC9272，∵CE:BE3:2，∴BE3，解得EP4.

∴BPEPEB15．∵PA是⊙O的切线，∴PA24PBPC

∴PA21(27492)，解得PA1534．……………………10分 22．【答案】

【解析】（Ⅰ）因为网购金额在2000元以上的频率为0.4， 所以网购金额在2000元以上的人数为1000.4=40 所以30y40，所以y10，……………………1分

x15，……………………2分

所以p0.15,q0.1……………………4分

⑵由题设列联表如下

网龄3年以上 网龄不足3年 合 计

购物金额在2000元以上 35 5 40 ……………………7分 购物金额在2000元以下 40 20 60 合计 75 25 100 所

2n(adbc)2K(ab)(cd)(ac)(bd)100(3520405)2752540605.56…………9分

因为5.565.024……………………10分

所以据此列联表判断，有97.5%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关．

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以=

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……………………12分 23．【答案】

【解析】解：（1）由an+1=，可得a2=

=

，

a3=

=

=

，

a4=

==．

（2）猜测an=

（n∈N*

）．

下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，左边=a1=a， 右边=

=a，猜测成立．

②假设当n=k（k∈N*

）时猜测成立，

即ak=

．

则当n=k+1时，ak+1==

=

．

故当n=k+1时，猜测也成立．

由①，②可知，对任意n∈N*

都有an=

24．【答案】（1）60，n6；（2）P815；（3）115. 【解析】

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=

成立．

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试

题解析：

（1）分数在100-110内的学生的频率为P1(0.040.03)50.35，所以该班总人数为N2160， 0.35分数在110-115内的学生的频率为P21(0.010.040.050.040.030.01)50.1，分数在110-115内的人数n600.16.

（2）由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为A1,A2,A3,A4，女生为B1,B2，从6名学生中选出3人的基本事件为：(A1,B1)，(A2,A3)，(A2,A4)，1,A2)，(A1,A3)，(A1,A4)，(A1,B2)，(A(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,A4)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A4,B1)，(A4,B2)，(B1,B2)共15个.

其中恰 好含有一名女生的基本事件为(A1,B1)，(A(A2,B1)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A4,B1)，1,B2)，(A2,B2)，

(A4,B2)，共8个，所以所求的概率为P（3）x1008. 151217178812100；

76984416y100100；

7由于与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到

^^497b0.5，a1000.510050，

994∴线性回归方程为y0.5x50，

∴当x130时，y115.1

考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.线性回归方程.

【易错点睛】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，线性回归方程,数据处理和计算能力.求线性回归方程,关键在于正确求出系数a,b,一定要将题目中所给数据与公式中的a,b,c相对应,再进一步求解.在求解过程中,由于a,b的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误,特别是回归直线方程中一次项系数为b,常数项为这与一次函数的习惯表示不同.

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