高二数学 上学期直线的方程 第二课时教案二

●教学目标 (一)教学知识点

1.直线方程的两点式. 2.直线方程的截距式. (二)能力训练要求

1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围. 2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围. (三)德育渗透目标

1.认识事物之间的普遍联系与相互转化. 2.用联系的观点看问题. ●教学重点

直线方程的两点式. ●教学难点

两点式推导过程的理解. ●教学方法 学导式

本节的学习过程与上一节一样，始终遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律，让学生在应用旧知识的过程中探究，通过老师的引导启发得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点，从而达到理解进而掌握的目的.

整节课堂的教学活动要注意最大限度地发挥学生的主体参与，并要求学生尝试运用直线方程的多种形式解题，以形成学生灵活的解题方法.

●教具准备 投影片三张

第一张：两点式的推导(记作§7.2.2 A) 第二张：截距式的推导(记作§7.2.2 B) 第三张：本节例题(记作§7.2.2 C) ●教学过程 Ⅰ.课题导入

［师］上一节课，我们一起学习了直线方程的点斜式，并要求大家熟练掌握.下面，我们利用点斜式来解答如下题目：

已知直线l经过两点P1（1，2），P2（3，5），求直线l的方程. ［师］下面，我们让一位同学来说一下此题的解答思路.

［生］由于直线两点坐标已知，所以可根据斜率公式求出过两点的直线斜率，然后再将求出的直线斜率与点P1坐标代入点斜式，即可获得所求直线方程.

［师］很好，那么我们一起来作出解答.

解：k＝

523 312由点斜式得：

y－2＝

3(x-1) 2［师］由上述过程，我们可以看出，已知直线上两点坐标，便可得到直线方程，也即我们通常所说的“两点确定一条直线”，那么，能否将P1，P2的坐标推广到一般呢?这也就是我

们这节课将要研究的问题.

Ⅱ.讲授新课

1.直线方程的两点式

yy1xx1（x1≠x2，y1≠y2） y2y1x2x1其中，x1，y1，x2，y2是直线上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的坐标. (给出投影片§7.2.2 A)

推导：因为直线l经过点P（y1）、P（y2）并且x1≠x2，所以它的斜率k＝1x1，2x2，（x1≠x2）代入点斜式得：

y2y1x2x1y－y1＝

y2y1（x－x1)

x2x1当y2≠y1时，方程可以写成

yy1xx1（x1≠x2，y1≠y2） y2y1x2x1说明：(1)这个方程由直线上两点确定；(2)当直线没有斜率(x1＝x2）或斜率为0(y1＝y2）时，不能用两点式求出它的方程.

［师］下面我们来看两点式的应用. 2.例题讲解

［例4］已知直线l与x轴的交点为(a，0），与y轴的交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，求直线l的方程.

分析：此题条件符合两点式的适用范围，可以直接代入. 解：由两点式得

y0xa b00axy即＝1 ab说明：(1)这一直线方程由直线在x轴和y轴上的截距确定，所以叫做直线方程的截距式；(2)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.

［师］下面我们通过例题进一步熟悉各种直线方程形式的应用. ［例5］三角形的顶点是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），这个三角形三边所在的直线方程.

解法一：(用两点式)

直线AB经过点A(－5，0)，B(3，－3)，由两点式得

y0x(5)，

303(5)整理得3x＋８y＋15＝0，这就是直线AB的方程. 直线B、C经过点B(3，－3)，C（0，2），由两点式得

y(3)x3 2(3)03整理得5x＋3y－6＝0 这就是直线BC的方程.

直线AC过A(－5，0)，C(0，2)，由两点式得

y0x(5) 200(5)整理得2x－5y＋10＝0. 这就是直线AC的方程.

解法二：(用斜截式求BC所在直线方程) ∵kBC＝

2(3)5

033∴由斜截式得

y＝－＋2

整理得5x＋3y－6＝0

这就是直线BC的方程.

解法三：(用截距式求直线AC的方程) ∵直线AC的横、纵截距分别为－5，2. ∴由截距式得

53xy＝1 52整理得2x－5y＋10＝0 这就是直线AC的方程.

评述：此题可采用多种方法求解，体现了直线方程多种形式应用的灵活性，应要求学生予以重视.

Ⅲ.课堂练习

课本P４1练习 1，2.

1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化成斜截式方程. (1)P1（2，1），P2（0，－3）； (2)A（0，5），B（5，0）； (3)C（－４，－5），D（0，0）. 解：(1)直线P1P2的两点式方程为：

y1x2

3102整理得斜截式方程为： y＝2x－3.

(2)直线AB的两点式方程为：

y5x0 0550整理得斜截式方程为： y＝－x+5

(3)直线CD的两点式方程为：

y0x0

5040整理得斜截式方程为：

y＝

5x. 42.根据下列条件求直线方程，并画出图形： (1)在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3； (2)在x轴上的截距是－5，在y轴上的截距是6 解：(1)由截距式得：

xy＝1 23整理得：3x＋2y－6＝0 (2)由截距式得

xy＝1 56整理得：6x－5y＋30＝0 图形依次为：

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，要求大家掌握直线方程的两点式，了解直线方程的截距式，并能运用直线方程的多种形式灵活求解直线方程.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P44习题7.2 6.求证A(1，3），B（5，7），C（10，12）三点在同一直线上.

734＝1 5141239＝1 kAC＝

1019证明：∵kAB＝

∴kAB＝kAC

又∵AB与AC有相同起点A ∴A、B、C三点共线.

说明：此题也可通过两点式求出直线AB的方程，再检验点C也符合直线AB方程，从而证明A、B、C三点共线.

7.(1)已知三角形的顶点是A(８，5）、B（４，－2）、C(－6，3)，求经过每两边中点的三条直线的方程.

(2)△ABC的顶点是A（0，5），B（1，－2），C（－6，4），求BC边上的中线所在的直线的方程.

解：(1)如图设AB、BC、CA的中点分别为D、E、F根据中点坐标公式得D（6，

31），Ｅ（－1，），Ｆ（1，４）. 22由两点式得DE的直线方程：

32x6 131622y整理得2x－1４y＋9＝0这就是直线DE的方程.

12x(1), 由两点式得

11(1)42y整理得7x－４y＋9＝0 这就是直线EF的方程. 由两点式得

32x6 31642y整理得x＋2y－9＝0 这就是直线DF的方程.

(2)设BC的中点为D，则D点的坐标为（－

5，1）由两点式得 25x()y12 5510()2整理得８x－5y＋25＝0

这就是BC边上的中线所在直线方程. （二）1.预习内容：P４2～４3 2.预习提纲：

（1）直线方程的一般式有何特点?

（2）直线方程的一般式能否与其他形式互相转化? ●板书设计

§7.2.2 直线的方程 1.两点式 yy1xx1 3.［例4］ y2y1x2x1(x1≠x2，y1≠y2) ［例5］ 2.截距式： 4.练习1 xy1（a，b≠0） 练习2 ab

高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题（三）

［例1］求经过两点P1（2，1）和P2（m，2）（m∈R)的直线l的斜率，并且求出l的倾斜角α及其取值范围.

选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.

解：(1)当m=2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直于x轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=

 2(2)当m≠2时，直线l的斜率k=∴α=arctan

1∵m＞2时，k＞0. m21,α∈（0，）， m221，α∈(,π). m221，m）共线，求m的值. 2∵当m＜2时，k＜0 ∴α＝π＋arctan

说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A(－2，3），B（3，－2），C（

选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A、B、C三点共线， ∴ｋAB＝ｋAC，

23m3. 13222解得m=

1. 2说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.

［例3］已知两点A(－1,－5),B(3,－2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率.

选题意图：强化斜率公式.

解：设直线l的倾斜角α，则由题得直线AB的倾斜角为2α.

∵tan2α=ｋAB=

2(5)3.

3(1)42tan3

1tan241或tanα＝－3. 3即3tan2α+8tanα－3=0， 解得tanα＝∵tan2α＝

3＞0,∴0°＜2α＜90°, 40°＜α＜45°，

∴tanα＝

1. 31 3因此，直线l的斜率是

说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.

命题否定的典型错误及制作

在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述．

一、典型错误剖析

错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论

在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命题：2是无理数，其否定是：2不是无理数．但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了．

例1 写出下列命题的否定： ⑴ 对于任意实数x，使x＝1； ⑵ 存在一个实数x，使x＝1． 错解：它们的否定分别为 ⑴ 对于任意实数x，使x≠1； ⑵ 存在一个实数x，使x≠1．

剖析：对于⑴是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使x≠1即可；对于⑵是存在命题，要否定它必须是对所有实数x，使x≠1．

正解：⑴存在一个实数x，使x≠1； ⑵对于任意实数x，使x≠1．

错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词

在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．

2

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例2 写出下列命题的否定： ⑴ 线段AB与CD平行且相等； ⑵ 线段AB与CD平行或相等．

错解：⑴ 线段AB与CD不平行且不相等； ⑵ 线段AB与CD不平行或不相等．

剖析：对于⑴是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是选言命题，其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”．

正解：⑴ 线段AB与CD不平行或不相等； ⑵ 线段AB与CD不平行且不相等．

错误3——认为“都不是”是“都是”的否定 例3 写出下列命题的否定： ⑴ a，b都是零；

⑵ 高一(一)班全体同学都是共青团员． 错解：⑴ a，b都不是零；

⑵ 高一(一)班全体同学都不是共青团员．

剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”．

正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一个不是零”．

⑵ 高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员．

错误4——认为“命题否定”就是“否命题”

根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若p则q)而言的．如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：假言命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”，而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”，而不是“若p则非q”．

例4 写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定． 错解：不满足条件C的点不都在直线F上．

剖析：对于原命题可表示为“若A，则B”，其否命题是“若┐A，则┐B”，而其否定形式是“若A，则┐B”，即不需要否定命题的题设部分．

正解：满足条件C的点不都在直线F上．

二、几类命题否定的制作 1．简单的简单命题

命题的形如“A是B”，其否定为“A不是B”．只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可．

例5 写出下列命题的否定： ⑴ 3＋4＞6； ⑵ 2是偶数．

解：所给命题的否定分别是： ⑴ 3＋4≤6； ⑵ 2不是偶数．

2．含有全称量词和存在量词的简单命题

全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A是B”，其否定为“存在某个A不是B”；存在量词相当于 “存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等，形如“某一个A是B”，其否定是“对于所有的A都不是B”．

全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题． 例6 写出下列命题的否定：

⑴ 不论m取什么实数，x＋x－m＝0必有实根． ⑵ 存在一个实数x，使得x＋x＋1≤0． ⑶ 至少有一个整数是自然数． ⑷ 至多有两个质数是奇数．

解：⑴ 原命题相当于“对所有的实数m，x＋x－m＝0必有实根”，其否定是“存在实数m，使x＋x－m＝0没有实根”．

⑵ 原命题的否定是“对所有的实数x，x＋x＋1＞0”． ⑶ 原命题的否定是“没有一个整数是自然数”． ⑷ 原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”．

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3．复合命题“p且q”，“p或q”的否定

“p且q”是联言命题，其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“；“p或q”是选言命题，其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“；

例7 写出下列命题的否定：

⑴ 他是数学家或物理学家．⑵ 他是数学家又是物理学家． ⑶

1≥0． 2x2x3解：⑴ 原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”．

⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物理学家”．

⑶若认为┐p：

11＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括＜0或22x2x3x2x31＝0．

x22x3或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．