江苏省泰州市泰兴中学2018学年高一上学期12月段考数学

2018-2018学年江苏省泰州市泰兴中学高一（上）12月段考数学

试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．设集合A={x|x2+x≤0，x∈R}，则集合A∩Z中有 个元素． 2．函数y=3tan（+

）的最小正周期为 ．

3．下列关于向量的说法中不正确的个数有 个

①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=．

4．已知cos（π+x）=，x∈（π，2π），则tan（π﹣x）= ． 5．已知sin（2x+

）=

，则sin（

﹣2x）+sin2（

﹣2x）= ．

6．函数y=的定义域为 ．

7．不等式log3（x++）≤2﹣log32的解集为 ． 8．已知函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，则ω的最大值为 ． 9．已知函数f（x）=

是奇函数，则sinλα= ．

]上为增函数，且图象关于点（3π，0）对称，

10．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（1）＜f（lg（2x））的x的取值范围是 ． 11．已知f（x）=|x2﹣4|+x2+kx，若f（x）在（0，4）上有两个不同的零点x1，x2，则k的取值范围是 ．

12．已知x，y均为正数，θ∈（

，

），且满足

=

，

+

=，则的值为 ．

13．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围为 ．

14．设f（x）=x2+ax+bcosx，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，则满足条件的所有实数a，b的值分别为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx+φ 0 x Asin（ωx+φ） ）在某一个周期内的

π 2π 0 0 5 ﹣5 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式； （2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动（x）在区间[0，

个单位长度，得到y=g（x）图象，求出y=g

]上的最小值和取得最小值时x的值．

16．如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点p0）开始计算时间． （1）将点p距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数； （2）点p第一次到达最高点大约需要多少时间？

17．已知函数f（x）=ax2+，其中a为实数．

（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并用定义证明． 18．已知函数f（x）=lg（a﹣ax﹣x2）．

（Ⅰ）若函数f（x）存在，求a的取值范围．

（Ⅱ） 若f（x）在x∈（2，3）上有意义，求a的取值范围． （Ⅲ）若f（x）＞0的解集为（2，3），求a的值． 19．已知关于x的二次函数f（x）=x2﹣2sinθx+，（θ∈R）． （1）若θ=

，求函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的值域；

（2）若函数f（x）在区间[﹣，]上是单调函数，求θ的取值集合；

（3）若对任意x1，x2，∈[2，3]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤2sinθt2+8t+5对任意θ∈R恒成立，求t的取值范围．

20．已知f1（x）=|3x﹣1|，f2（x）=|a•3x﹣9|（a＞0），x∈R，且f（x）=

．

（1）当a=1时，求f（x）的解析式；

（2）在（1）的条件下，若方程f（x）﹣m=0有4个不等的实根，求实数m的范围； （3）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m），试求l的最大值．

2018-2018学年江苏省泰州市泰兴中学高一12月段（上）

考数学试卷

参与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．设集合A={x|x2+x≤0，x∈R}，则集合A∩Z中有 2 个元素． 【考点】交集及其运算；集合的表示法．

【分析】先求出集合A，从而求出A∩B，由此能求出集合A∩Z中元素的个数． 【解答】解：∵集合A={x|x2+x≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤0}， ∴集合A∩Z={﹣1，0}． ∴集合A∩Z中有2个元素． 故答案为：2．

2．函数y=3tan（+

）的最小正周期为 2π ．

【考点】正切函数的图象．

【分析】根据正切函数的图象与性质即可求出最小正周期． 【解答】解：函数y=3tan（+

）的最小正周期为：

T===2π．

故答案为：2π．

3．下列关于向量的说法中不正确的个数有 4 个

①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=． 【考点】平行向量与共线向量．

【分析】直接利用向量共线与相等以及平行的关系判断选项即可．

【解答】解：①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；不正确，例如直线AB∥CD．

②单位向量都相等；不正确，单位向量的方向不一定相同，所以不正确； ③任一向量与它的相反向量不相等；例如零向量．不正确；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=．并且A、B、C、D不在一条直线上．所以④不正确； 故答案为：4．

4．已知cos（π+x）=，x∈（π，2π），则tan（π﹣x）= ﹣ ．

【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用． 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系进行解答． 【解答】解：∵cos（π+x）=﹣cosx=， ∴cosx=﹣， ∵x∈（π，2π）， ∴sinx=﹣

=﹣，

∴tan（π﹣x）=﹣tanx=﹣=﹣=﹣．

故答案是：﹣．

5．已知sin（2x+

）=

，则sin（

﹣2x）+sin2（

﹣2x）=

．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】根据同角三角函数关系求得cos2（2x+【解答】解：∵sin（2x+∴cos2（2x+sin（

）=

， ）=，

）+cos2（2x+

）=

+=

．

）=，然后利用诱导公式进行化简求值．

）=1﹣sin2（2x+

﹣2x）+sin2（

．

﹣2x）=sin（2x+

故答案是： 6．函数y=

的定义域为 （，1） ．

【考点】对数函数的值域与最值；对数函数的定义域．

【分析】根据对数函数的性质得，由log0.5（4x﹣3）＞0且4x﹣3＞0可解得【解答】解：由题意知log0.5（4x﹣3）＞0且4x﹣3＞0， 由此可解得

，

，

故答案为：（，1）．

7．不等式log3（x++）≤2﹣log32的解集为 ．

【考点】指、对数不等式的解法．

【分析】把不等式两边化为同底数，然后转化为分式不等式组求解． 【解答】解：由log3（x++）≤2﹣log32，得： log3（x++）≤log3，即0＜x++≤， 解得：﹣2＜x＜

或x=1．

．

∴不等式log3（x++）≤2﹣log32的解集为故答案为：

8．已知函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，则ω的最大值为

．

．

]上为增函数，且图象关于点（3π，0）对称，

【考点】正弦函数的图象． 【分析】由条件可得

，k∈Z，由此求得ω的最大值．

【解答】解：由题意知，，即其中 k∈Z，

故有ω的最大值为． 故答案为：．

9．已知函数f（x）=

【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】利用函数f（x）=

再利用三角函数的诱导公式即可求得答案． 【解答】解：∵f（x）=

是奇函数，

是奇函数的性质可求得λ与α，是奇函数，则sinλα= 1 ．

∴当x＜0时，﹣x＞0，

∴f（﹣x）=（﹣x）2+2018（﹣x）+sin（﹣x）=﹣f（x）=﹣[﹣x2+λx+cos（x+α）]， ∴λ=2018，且sinx=cos（α+x），

∴α=2kπ﹣（k∈Z），

）=﹣sin（﹣

）=1．

∴sinλα=sin2018（2kπ﹣

故答案为：1．

10．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（1）＜f（lg（2x））的x的取值范围是 （0，）∪（5，+∞） ．

【考点】函数奇偶性的性质．

【分析】根据函数是偶函数，把不等式转化成f（1）＜f（|lg（2x）|），就可以利用函数在区间[0，+∞）上单调递增转化成一般的不等式进行求解． 【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数， ∴f（1）＜f（lg（2x））=f（|lg（2x）|） ∵函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，

∴|lg（2x）|＞1，即lg（2x）＞1或lg（2x）＜﹣1 解得：x＞5或0＜x＜

）∪（5，+∞）．

所以满足不等式f（1）＜f（lg（2x））的x的取值范围是（0，故答案为：（0，

）∪（5，+∞）．

11．已知f（x）=|x2﹣4|+x2+kx，若f（x）在（0，4）上有两个不同的零点x1，x2，则k的取值范围是 （﹣7，﹣2） ．

【考点】带绝对值的函数；函数的零点．

【分析】可构造函数g（x）=|x2﹣4|+x2（0＜x＜4），h（x）=﹣kx，作出二函数的图象，数形结合由k的几何意义即可求得k的取值范围． 【解答】解：令g（x）=|x2﹣4|+x2=

，h（x）=﹣kx，作图如下：

∵f（x）=|x2﹣4|+x2+kx在（0，4）上有两个不同的零点x1，x2， ∴g（x）=|x2﹣4|+x2与h（x）=﹣kx在（0，4）上有两个交点，

由图可知P（2，4），Q（4，28）， ∴kOP=2，kOQ=7， ∴2＜﹣k＜7， ∴﹣7＜k＜﹣2． 故答案为：（﹣7，﹣2）．

12．已知x，y均为正数，θ∈（

，

），且满足

=

，

+

=，则的值为 ．

【考点】基本不等式． 【分析】利用条件，求出x=

y代入

，化简可得结论．

【解答】解：∵+=， =

∴化简可得=，

2

=1×[∵cos6θ+sin6θ=（cos2θ+sin2θ）（cos4θ+sin4θ﹣sin2θcos2θ）（cos2θ+sin2θ）﹣3sin2θcos2θ]=1

﹣3sin2θcos2θ，

∴

，化为sin2θ+cos2θ=

=

，与sin2θ+cos2θ=1联立

解得sin2θ=，cos2θ=或sin2θ=，cos2θ=． 由θ∈（

，

），得0＜cosθ＜

＜sinθ＜1 ，cosθ=，

故取sin2θ=，cos2θ=，解得sinθ=∴=

，即x=

y

代入，可得=．

故答案为：

．

13．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围为 （0，） ．

【考点】函数的值域．

【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．

【解答】解：∵函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”， 且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]， ∴f（x）在[a，b]上是增函数；

∴，

即，

∴方程+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0；

∴，

解得：0＜t＜，

∴满足条件t的范围是（0，）． 故答案为：（0，）．

14．设f（x）=x2+ax+bcosx，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，则满足条件的所有实数a，b的值分别为 0≤a＜4，b=0 ． 【考点】集合关系中的参数取值问题；集合的相等．

【分析】根据已知中f（x）=x2+ax，我们分a=0时和a≠0时，对{{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅进行讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案． 【解答】解：∵f（x）=x2+ax， ∴f（f（x））=f（x）2+af（x）=（x2+ax）2+a•（x2+ax）=x4+2ax3+（a2+a）x2+a2x 当a=0时，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}={0}≠∅ 当a≠0时，{x|f（x）=0，x∈R}={0，﹣a}． 若{x|f（f（x））=0，x∈R}={0，﹣a}， 则f（f（﹣a））=0且除0，﹣a外f（f（x））=0无实根， 即x2+ax+a=0无实根

即a2﹣4a＜0，即0＜a＜4

综上满足条件的所有实数a的取值范围为0≤a＜4 故答案为：0≤a＜4，b=0．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜图象时，列表并填入了部分数据，如表： ωx+φ 0 x Asin（ωx+φ） ）在某一个周期内的

π 2π 0 0 5 ﹣5 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式； （2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动（x）在区间[0，

个单位长度，得到y=g（x）图象，求出y=g

]上的最小值和取得最小值时x的值．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】（Ⅰ）利用五点法作图，将表格数据补充完整，并求得函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式．

（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得y=g（x）在区间[0，

]上的最小值和取得最小值时x的值．

，

，解

【解答】解 （Ⅰ）根据表中已知数据可得：A=5，得ωx+φ x ．数据补全如下表：

0 y=sinx 0 5 π （kπ，0） 0 2π k∈Z 0 k∈Z 且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）知

）．

，因此

，

在区间[0，]上，，当=，即 时，函数的最小值为﹣5．

16．如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点p0）开始计算时间． （1）将点p距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数； （2）点p第一次到达最高点大约需要多少时间？

【考点】已知三角函数模型的应用问题． 【分析】（1）先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，z=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得； （2）令最大值为6，即 z=4sin

+2=6可求得时间．

【解答】解：（1）依题意可知z的最大值为6，最小为﹣2， ∴

⇒

；

，得z=4sin

，故所求的函数关系式为

，

∵op每秒钟内所转过的角为

当t=0时，z=0，得sinφ=﹣，即φ=﹣z=4sin（2）令z=4sin取

+2

+2=6，得sin

，得t=4，

=1，

故点P第一次到达最高点大约需要4S．

17．已知函数f（x）=ax2+，其中a为实数．

（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并用定义证明． 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的判断． 【分析】（1）通过讨论a的范围，判断函数的奇偶性问题； （2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可． 【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，显然是奇函数；

当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1）且f（1）+f（﹣1）≠0， 所以此时f（x）是非奇非偶函数．

（2）设∀x1＜x2∈[1，2]，

则f（x1）﹣f（x2）=a（x1﹣x2）（x1+x2）+

=（x1﹣x2）[a（x1+x2）﹣

]，

因为x1，x2∈[1，2]，所以x1﹣x2＜0，2＜x1+x2＜4，1＜x1x2＜4， 所以2＜a（x1+x2）＜12，＜

＜1，＜

＜2，

所以a（x1+x2）﹣

＞0，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2），

故函数f（x）在[1，2]上单调递增．

18．已知函数f（x）=lg（a﹣ax﹣x2）．

（Ⅰ）若函数f（x）存在，求a的取值范围．

（Ⅱ） 若f（x）在x∈（2，3）上有意义，求a的取值范围． （Ⅲ）若f（x）＞0的解集为（2，3），求a的值． 【考点】对数函数的图象与性质．

【分析】第（Ⅰ）问是能成立问题，相当于存在实数x，使a﹣ax﹣x2＞0成立；

第（Ⅱ）问是恒成立问题，等价于ϕ（x）=a﹣ax﹣x2＞0在（2，3）恒成立，即ϕ（x）的最小值大于0；

第（Ⅲ）问是恰成立问题，等价于不等式a﹣ax﹣x2＞1的解集为（2，3），于是有x2+ax+1﹣a＜0，等价于方程x2+ax+1﹣a=0的两个根为2和3． 【解答】解：（Ⅰ） f（x）的定义域非空，相当于存在实数x，使a﹣ax﹣x2＞0成立， =a﹣ax﹣x2的最大值大于0成立，即ϕ（x）

解得 a

＜﹣4或a＞0．

（Ⅱ）f（x）在区间（2，3）上有意义，等价于ϕ（x）=a﹣ax﹣x2＞0在（2，3）恒成立，即ϕ（x）的最小值大于0． 解不等式组

或

或解得 ．

（Ⅲ）f（x）＞0的解集为（2，3），等价于不等式a﹣ax﹣x2＞1的解集为（2，3）；于是有x2+ax+1﹣a＜0，

这等价于方程x2+ax+1﹣a=0的两个根为2和3，于是可解得a=﹣5．

19．已知关于x的二次函数f（x）=x2﹣2sinθx+，（θ∈R）．

（1）若θ=，求函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的值域；

（2）若函数f（x）在区间[﹣，]上是单调函数，求θ的取值集合；

（3）若对任意x1，x2，∈[2，3]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤2sinθt2+8t+5对任意θ∈R恒成立，求t的取值范围．

【考点】二次函数的性质． 【分析】（1）化简二次函数f（x），利用配方法求解二次函数的值域即可． （2）化简二次函数f（x）=（x﹣sinθ）2+﹣sin2θ，通过函数的单调性，推出函数单调减时sinθ≥，单调增时sinθ≤﹣，求解即可．

（3）判断函数在[2，3]上单调递增，求出最值，得到|f（x1）﹣f（x2）|的最值，推出不等式求解t即可．

【解答】解：（1）二次函数f（x）=x2﹣2sinθx+，θ=可得：f（x）=x2﹣x+=（x﹣）2∈[0，]． 函数的值域为：[0，]．

（2）由题意二次函数f（x）=x2﹣2sinθx+=（x﹣sinθ）2+﹣sin2θ， 函数f（x）在区间[﹣，]上是单调函数， ∴函数单调减时sinθ≥，单调增时sinθ≤﹣，

，

．

（3）因为对称轴x=sinθ≤1，所以函数在[2，3]上单调递增， 从而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min =f（3）﹣f（2）．

=5﹣2sinθ≤2sinθt2+8t+5，所以（1+t2）sinθ+4t≥0，对任意θ∈R恒成立， 即

所以t2﹣4t+1≤0，则t的取值范围：

，

．

20．已知f1（x）=|3x﹣1|，f2（x）=|a•3x﹣9|（a＞0），x∈R，且f（x）=

．

（1）当a=1时，求f（x）的解析式；

（2）在（1）的条件下，若方程f（x）﹣m=0有4个不等的实根，求实数m的范围； （3）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m），试求l的最大值．

【考点】对数函数图象与性质的综合应用；指数函数综合题． 【分析】（1）当a=1时，根据函数f1（x）和函数f2（x）的解析式以及条件f（x）=

可得f（x）的解析式．

（2）在（1）的条件下，由题意可得，函数y=f（x）与直线y=m有4个不同的交点，数形结合可得实数m的范围． （3）由于2≤a＜9，分 x≥

时、当0≤x≤

时、当x＜0时，分别由 f2（x）

﹣f1（x）≤0 求得x的范围，再把所得的x的范围取并集，从而得到区间长度l的解析式，

再根据函数的单调性求得l的最大值． 【解答】解：（1）当a=1时，f1（x）=∴当x=log35时，f1（x）=f2（x）．

，f2（x）=

，

∴f（x）=．

（2）在（1）的条件下，若方程f（x）﹣m=0有4个不等的实根，则函数y=f（x）与直线y=m有4个不同的交点．

数形结合可得，0＜m＜1，故实数m的范围是（0，1）． （3）由于2≤a＜9，当 x≥

时，∵a•3x﹣9≥0，3x﹣1＞0，

，

∴由 f2（x）﹣f1（x）=（a•3x﹣9）﹣（ 3x﹣1）≤0 可得 x≤从而当当0≤x≤

≤x≤

时，f（x）=f2（x）．

时，∵a•3x﹣9＜0，3x﹣1≥0，

，

∴由 f2（x）﹣f1（x）=﹣（a•3x﹣9）﹣（ 3x﹣1）=10﹣（a+1）3x≤0 解得 x≥从而当

≤x≤

时，f（x）=f2（x）．

当x＜0时，由 f2（x）﹣f1（x）=﹣（a•3x﹣9）﹣（1﹣3x）=8﹣（a﹣1）3x＞0，故f（x）=f2（x） 一定不成立． 综上可得，当且仅当 x∈[

，

]时，有f（x）=f2（x） 一定成立．

故 l=﹣=

．

，

从而当a=2时，l取得最大值为

2018年12月5日