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江苏省泰州市泰兴中学2018学年高一上学期12月段考数学

来源:抵帆知识网


2018-2018学年江苏省泰州市泰兴中学高一(上)12月段考数学

试卷

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.

1.设集合A={x|x2+x≤0,x∈R},则集合A∩Z中有 个元素. 2.函数y=3tan(+

)的最小正周期为 .

3.下列关于向量的说法中不正确的个数有 个

①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上; ②单位向量都相等;

③任一向量与它的相反向量不相等;

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=.

4.已知cos(π+x)=,x∈(π,2π),则tan(π﹣x)= . 5.已知sin(2x+

)=

,则sin(

﹣2x)+sin2(

﹣2x)= .

6.函数y=的定义域为 .

7.不等式log3(x++)≤2﹣log32的解集为 . 8.已知函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,则ω的最大值为 . 9.已知函数f(x)=

是奇函数,则sinλα= .

]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,

10.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则满足不等式f(1)<f(lg(2x))的x的取值范围是 . 11.已知f(x)=|x2﹣4|+x2+kx,若f(x)在(0,4)上有两个不同的零点x1,x2,则k的取值范围是 .

12.已知x,y均为正数,θ∈(

),且满足

=

+

=,则的值为 .

13.设函数f(x)的定义域为D,若函数f(x)满足条件:存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[,],则称f(x)为“倍缩函数”,若函数f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”,则t的范围为 .

14.设f(x)=x2+ax+bcosx,{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x))=0,x∈R}≠∅,则满足条件的所有实数a,b的值分别为 .

二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<图象时,列表并填入了部分数据,如表:

ωx+φ 0 x Asin(ωx+φ) )在某一个周期内的

π 2π 0 0 5 ﹣5 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动(x)在区间[0,

个单位长度,得到y=g(x)图象,求出y=g

]上的最小值和取得最小值时x的值.

16.如图,一个水轮的半径为4m,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点p0)开始计算时间. (1)将点p距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数; (2)点p第一次到达最高点大约需要多少时间?

17.已知函数f(x)=ax2+,其中a为实数.

(1)根据a的不同取值,判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若a∈(1,3),判断函数f(x)在[1,2]上的单调性,并用定义证明. 18.已知函数f(x)=lg(a﹣ax﹣x2).

(Ⅰ)若函数f(x)存在,求a的取值范围.

(Ⅱ) 若f(x)在x∈(2,3)上有意义,求a的取值范围. (Ⅲ)若f(x)>0的解集为(2,3),求a的值. 19.已知关于x的二次函数f(x)=x2﹣2sinθx+,(θ∈R). (1)若θ=

,求函数f(x)在x∈[﹣1,1]上的值域;

(2)若函数f(x)在区间[﹣,]上是单调函数,求θ的取值集合;

(3)若对任意x1,x2,∈[2,3],总有|f(x1)﹣f(x2)|≤2sinθt2+8t+5对任意θ∈R恒成立,求t的取值范围.

20.已知f1(x)=|3x﹣1|,f2(x)=|a•3x﹣9|(a>0),x∈R,且f(x)=

(1)当a=1时,求f(x)的解析式;

(2)在(1)的条件下,若方程f(x)﹣m=0有4个不等的实根,求实数m的范围; (3)当2≤a<9时,设f(x)=f2(x)所对应的自变量取值区间的长度为l(闭区间[m,n]的长度定义为n﹣m),试求l的最大值.

2018-2018学年江苏省泰州市泰兴中学高一12月段(上)

考数学试卷

参与试题解析

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.

1.设集合A={x|x2+x≤0,x∈R},则集合A∩Z中有 2 个元素. 【考点】交集及其运算;集合的表示法.

【分析】先求出集合A,从而求出A∩B,由此能求出集合A∩Z中元素的个数. 【解答】解:∵集合A={x|x2+x≤0,x∈R}={x|﹣1≤x≤0}, ∴集合A∩Z={﹣1,0}. ∴集合A∩Z中有2个元素. 故答案为:2.

2.函数y=3tan(+

)的最小正周期为 2π .

【考点】正切函数的图象.

【分析】根据正切函数的图象与性质即可求出最小正周期. 【解答】解:函数y=3tan(+

)的最小正周期为:

T===2π.

故答案为:2π.

3.下列关于向量的说法中不正确的个数有 4 个

①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上; ②单位向量都相等;

③任一向量与它的相反向量不相等;

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=. 【考点】平行向量与共线向量.

【分析】直接利用向量共线与相等以及平行的关系判断选项即可.

【解答】解:①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;不正确,例如直线AB∥CD.

②单位向量都相等;不正确,单位向量的方向不一定相同,所以不正确; ③任一向量与它的相反向量不相等;例如零向量.不正确;

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=.并且A、B、C、D不在一条直线上.所以④不正确; 故答案为:4.

4.已知cos(π+x)=,x∈(π,2π),则tan(π﹣x)= ﹣ .

【考点】三角函数的化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系进行解答. 【解答】解:∵cos(π+x)=﹣cosx=, ∴cosx=﹣, ∵x∈(π,2π), ∴sinx=﹣

=﹣,

∴tan(π﹣x)=﹣tanx=﹣=﹣=﹣.

故答案是:﹣.

5.已知sin(2x+

)=

,则sin(

﹣2x)+sin2(

﹣2x)=

【考点】三角函数的化简求值.

【分析】根据同角三角函数关系求得cos2(2x+【解答】解:∵sin(2x+∴cos2(2x+sin(

)=

, )=,

)+cos2(2x+

)=

+=

)=,然后利用诱导公式进行化简求值.

)=1﹣sin2(2x+

﹣2x)+sin2(

﹣2x)=sin(2x+

故答案是: 6.函数y=

的定义域为 (,1) .

【考点】对数函数的值域与最值;对数函数的定义域.

【分析】根据对数函数的性质得,由log0.5(4x﹣3)>0且4x﹣3>0可解得【解答】解:由题意知log0.5(4x﹣3)>0且4x﹣3>0, 由此可解得

故答案为:(,1).

7.不等式log3(x++)≤2﹣log32的解集为 .

【考点】指、对数不等式的解法.

【分析】把不等式两边化为同底数,然后转化为分式不等式组求解. 【解答】解:由log3(x++)≤2﹣log32,得: log3(x++)≤log3,即0<x++≤, 解得:﹣2<x<

或x=1.

∴不等式log3(x++)≤2﹣log32的解集为故答案为:

8.已知函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,则ω的最大值为

]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,

【考点】正弦函数的图象. 【分析】由条件可得

,k∈Z,由此求得ω的最大值.

【解答】解:由题意知,,即其中 k∈Z,

故有ω的最大值为. 故答案为:.

9.已知函数f(x)=

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】利用函数f(x)=

再利用三角函数的诱导公式即可求得答案. 【解答】解:∵f(x)=

是奇函数,

是奇函数的性质可求得λ与α,是奇函数,则sinλα= 1 .

∴当x<0时,﹣x>0,

∴f(﹣x)=(﹣x)2+2018(﹣x)+sin(﹣x)=﹣f(x)=﹣[﹣x2+λx+cos(x+α)], ∴λ=2018,且sinx=cos(α+x),

∴α=2kπ﹣(k∈Z),

)=﹣sin(﹣

)=1.

∴sinλα=sin2018(2kπ﹣

故答案为:1.

10.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则满足不等式f(1)<f(lg(2x))的x的取值范围是 (0,)∪(5,+∞) .

【考点】函数奇偶性的性质.

【分析】根据函数是偶函数,把不等式转化成f(1)<f(|lg(2x)|),就可以利用函数在区间[0,+∞)上单调递增转化成一般的不等式进行求解. 【解答】解:∵函数f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f(1)<f(lg(2x))=f(|lg(2x)|) ∵函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,

∴|lg(2x)|>1,即lg(2x)>1或lg(2x)<﹣1 解得:x>5或0<x<

)∪(5,+∞).

所以满足不等式f(1)<f(lg(2x))的x的取值范围是(0,故答案为:(0,

)∪(5,+∞).

11.已知f(x)=|x2﹣4|+x2+kx,若f(x)在(0,4)上有两个不同的零点x1,x2,则k的取值范围是 (﹣7,﹣2) .

【考点】带绝对值的函数;函数的零点.

【分析】可构造函数g(x)=|x2﹣4|+x2(0<x<4),h(x)=﹣kx,作出二函数的图象,数形结合由k的几何意义即可求得k的取值范围. 【解答】解:令g(x)=|x2﹣4|+x2=

,h(x)=﹣kx,作图如下:

∵f(x)=|x2﹣4|+x2+kx在(0,4)上有两个不同的零点x1,x2, ∴g(x)=|x2﹣4|+x2与h(x)=﹣kx在(0,4)上有两个交点,

由图可知P(2,4),Q(4,28), ∴kOP=2,kOQ=7, ∴2<﹣k<7, ∴﹣7<k<﹣2. 故答案为:(﹣7,﹣2).

12.已知x,y均为正数,θ∈(

),且满足

=

+

=,则的值为 .

【考点】基本不等式. 【分析】利用条件,求出x=

y代入

,化简可得结论.

【解答】解:∵+=, =

∴化简可得=,

2

=1×[∵cos6θ+sin6θ=(cos2θ+sin2θ)(cos4θ+sin4θ﹣sin2θcos2θ)(cos2θ+sin2θ)﹣3sin2θcos2θ]=1

﹣3sin2θcos2θ,

,化为sin2θ+cos2θ=

=

,与sin2θ+cos2θ=1联立

解得sin2θ=,cos2θ=或sin2θ=,cos2θ=. 由θ∈(

),得0<cosθ<

<sinθ<1 ,cosθ=,

故取sin2θ=,cos2θ=,解得sinθ=∴=

,即x=

y

代入,可得=.

故答案为:

13.设函数f(x)的定义域为D,若函数f(x)满足条件:存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[,],则称f(x)为“倍缩函数”,若函数f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”,则t的范围为 (0,) .

【考点】函数的值域.

【分析】由题意得,函数是增函数,构造出方程组,利用方程组的解都大于0,求出t的取值范围.

【解答】解:∵函数f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”, 且满足存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域是[,], ∴f(x)在[a,b]上是增函数;

∴,

即,

∴方程+t=0有两个不等的实根,且两根都大于0;

∴,

解得:0<t<,

∴满足条件t的范围是(0,). 故答案为:(0,).

14.设f(x)=x2+ax+bcosx,{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x))=0,x∈R}≠∅,则满足条件的所有实数a,b的值分别为 0≤a<4,b=0 . 【考点】集合关系中的参数取值问题;集合的相等.

【分析】根据已知中f(x)=x2+ax,我们分a=0时和a≠0时,对{{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x))=0,x∈R}≠∅进行讨论,最后综合讨论结果,即可得到答案. 【解答】解:∵f(x)=x2+ax, ∴f(f(x))=f(x)2+af(x)=(x2+ax)2+a•(x2+ax)=x4+2ax3+(a2+a)x2+a2x 当a=0时,{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x))=0,x∈R}={0}≠∅ 当a≠0时,{x|f(x)=0,x∈R}={0,﹣a}. 若{x|f(f(x))=0,x∈R}={0,﹣a}, 则f(f(﹣a))=0且除0,﹣a外f(f(x))=0无实根, 即x2+ax+a=0无实根

即a2﹣4a<0,即0<a<4

综上满足条件的所有实数a的取值范围为0≤a<4 故答案为:0≤a<4,b=0.

二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<图象时,列表并填入了部分数据,如表: ωx+φ 0 x Asin(ωx+φ) )在某一个周期内的

π 2π 0 0 5 ﹣5 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动(x)在区间[0,

个单位长度,得到y=g(x)图象,求出y=g

]上的最小值和取得最小值时x的值.

【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.

【分析】(Ⅰ)利用五点法作图,将表格数据补充完整,并求得函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式.

(Ⅱ)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得g(x)的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得y=g(x)在区间[0,

]上的最小值和取得最小值时x的值.

,解

【解答】解 (Ⅰ)根据表中已知数据可得:A=5,得ωx+φ x .数据补全如下表:

0 y=sinx 0 5 π (kπ,0) 0 2π k∈Z 0 k∈Z 且函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣(Ⅱ)由(Ⅰ)知

).

,因此

在区间[0,]上,,当=,即 时,函数的最小值为﹣5.

16.如图,一个水轮的半径为4m,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点p0)开始计算时间. (1)将点p距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数; (2)点p第一次到达最高点大约需要多少时间?

【考点】已知三角函数模型的应用问题. 【分析】(1)先根据z的最大和最小值求得A和B,利用周期求得ω,当x=0时,z=0,进而求得φ的值,则函数的表达式可得; (2)令最大值为6,即 z=4sin

+2=6可求得时间.

【解答】解:(1)依题意可知z的最大值为6,最小为﹣2, ∴

,得z=4sin

,故所求的函数关系式为

∵op每秒钟内所转过的角为

当t=0时,z=0,得sinφ=﹣,即φ=﹣z=4sin(2)令z=4sin取

+2

+2=6,得sin

,得t=4,

=1,

故点P第一次到达最高点大约需要4S.

17.已知函数f(x)=ax2+,其中a为实数.

(1)根据a的不同取值,判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若a∈(1,3),判断函数f(x)在[1,2]上的单调性,并用定义证明. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的判断. 【分析】(1)通过讨论a的范围,判断函数的奇偶性问题; (2)根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可. 【解答】解:(1)当a=0时,f(x)=,显然是奇函数;

当a≠0时,f(1)=a+1,f(﹣1)=a﹣1,f(1)≠f(﹣1)且f(1)+f(﹣1)≠0, 所以此时f(x)是非奇非偶函数.

(2)设∀x1<x2∈[1,2],

则f(x1)﹣f(x2)=a(x1﹣x2)(x1+x2)+

=(x1﹣x2)[a(x1+x2)﹣

],

因为x1,x2∈[1,2],所以x1﹣x2<0,2<x1+x2<4,1<x1x2<4, 所以2<a(x1+x2)<12,<

<1,<

<2,

所以a(x1+x2)﹣

>0,

所以f(x1)﹣f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),

故函数f(x)在[1,2]上单调递增.

18.已知函数f(x)=lg(a﹣ax﹣x2).

(Ⅰ)若函数f(x)存在,求a的取值范围.

(Ⅱ) 若f(x)在x∈(2,3)上有意义,求a的取值范围. (Ⅲ)若f(x)>0的解集为(2,3),求a的值. 【考点】对数函数的图象与性质.

【分析】第(Ⅰ)问是能成立问题,相当于存在实数x,使a﹣ax﹣x2>0成立;

第(Ⅱ)问是恒成立问题,等价于ϕ(x)=a﹣ax﹣x2>0在(2,3)恒成立,即ϕ(x)的最小值大于0;

第(Ⅲ)问是恰成立问题,等价于不等式a﹣ax﹣x2>1的解集为(2,3),于是有x2+ax+1﹣a<0,等价于方程x2+ax+1﹣a=0的两个根为2和3. 【解答】解:(Ⅰ) f(x)的定义域非空,相当于存在实数x,使a﹣ax﹣x2>0成立, =a﹣ax﹣x2的最大值大于0成立,即ϕ(x)

解得 a

<﹣4或a>0.

(Ⅱ)f(x)在区间(2,3)上有意义,等价于ϕ(x)=a﹣ax﹣x2>0在(2,3)恒成立,即ϕ(x)的最小值大于0. 解不等式组

或解得 .

(Ⅲ)f(x)>0的解集为(2,3),等价于不等式a﹣ax﹣x2>1的解集为(2,3);于是有x2+ax+1﹣a<0,

这等价于方程x2+ax+1﹣a=0的两个根为2和3,于是可解得a=﹣5.

19.已知关于x的二次函数f(x)=x2﹣2sinθx+,(θ∈R).

(1)若θ=,求函数f(x)在x∈[﹣1,1]上的值域;

(2)若函数f(x)在区间[﹣,]上是单调函数,求θ的取值集合;

(3)若对任意x1,x2,∈[2,3],总有|f(x1)﹣f(x2)|≤2sinθt2+8t+5对任意θ∈R恒成立,求t的取值范围.

【考点】二次函数的性质. 【分析】(1)化简二次函数f(x),利用配方法求解二次函数的值域即可. (2)化简二次函数f(x)=(x﹣sinθ)2+﹣sin2θ,通过函数的单调性,推出函数单调减时sinθ≥,单调增时sinθ≤﹣,求解即可.

(3)判断函数在[2,3]上单调递增,求出最值,得到|f(x1)﹣f(x2)|的最值,推出不等式求解t即可.

【解答】解:(1)二次函数f(x)=x2﹣2sinθx+,θ=可得:f(x)=x2﹣x+=(x﹣)2∈[0,]. 函数的值域为:[0,].

(2)由题意二次函数f(x)=x2﹣2sinθx+=(x﹣sinθ)2+﹣sin2θ, 函数f(x)在区间[﹣,]上是单调函数, ∴函数单调减时sinθ≥,单调增时sinθ≤﹣,

(3)因为对称轴x=sinθ≤1,所以函数在[2,3]上单调递增, 从而|f(x1)﹣f(x2)|≤f(x)max﹣f(x)min =f(3)﹣f(2).

=5﹣2sinθ≤2sinθt2+8t+5,所以(1+t2)sinθ+4t≥0,对任意θ∈R恒成立, 即

所以t2﹣4t+1≤0,则t的取值范围:

20.已知f1(x)=|3x﹣1|,f2(x)=|a•3x﹣9|(a>0),x∈R,且f(x)=

(1)当a=1时,求f(x)的解析式;

(2)在(1)的条件下,若方程f(x)﹣m=0有4个不等的实根,求实数m的范围; (3)当2≤a<9时,设f(x)=f2(x)所对应的自变量取值区间的长度为l(闭区间[m,n]的长度定义为n﹣m),试求l的最大值.

【考点】对数函数图象与性质的综合应用;指数函数综合题. 【分析】(1)当a=1时,根据函数f1(x)和函数f2(x)的解析式以及条件f(x)=

可得f(x)的解析式.

(2)在(1)的条件下,由题意可得,函数y=f(x)与直线y=m有4个不同的交点,数形结合可得实数m的范围. (3)由于2≤a<9,分 x≥

时、当0≤x≤

时、当x<0时,分别由 f2(x)

﹣f1(x)≤0 求得x的范围,再把所得的x的范围取并集,从而得到区间长度l的解析式,

再根据函数的单调性求得l的最大值. 【解答】解:(1)当a=1时,f1(x)=∴当x=log35时,f1(x)=f2(x).

,f2(x)=

∴f(x)=.

(2)在(1)的条件下,若方程f(x)﹣m=0有4个不等的实根,则函数y=f(x)与直线y=m有4个不同的交点.

数形结合可得,0<m<1,故实数m的范围是(0,1). (3)由于2≤a<9,当 x≥

时,∵a•3x﹣9≥0,3x﹣1>0,

∴由 f2(x)﹣f1(x)=(a•3x﹣9)﹣( 3x﹣1)≤0 可得 x≤从而当当0≤x≤

≤x≤

时,f(x)=f2(x).

时,∵a•3x﹣9<0,3x﹣1≥0,

∴由 f2(x)﹣f1(x)=﹣(a•3x﹣9)﹣( 3x﹣1)=10﹣(a+1)3x≤0 解得 x≥从而当

≤x≤

时,f(x)=f2(x).

当x<0时,由 f2(x)﹣f1(x)=﹣(a•3x﹣9)﹣(1﹣3x)=8﹣(a﹣1)3x>0,故f(x)=f2(x) 一定不成立. 综上可得,当且仅当 x∈[

]时,有f(x)=f2(x) 一定成立.

故 l=﹣=

从而当a=2时,l取得最大值为

2018年12月5日

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