四川省遂宁市射洪中学2014-2015学年高二下学期期末数学模拟试卷(理科)

四川省遂宁市射洪中学2014-2015学年高二下学期期末数学模拟试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1．（5分）复数 A． 第一象限

n

（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（） B． 第二象限

C． 第三象限

D．第四象限

2．（5分）（x﹣3）的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则n为（）

A． 3 B． 4 C． 5 D．6

3．（5分）设随机变量X：B（6，），则D（X）等于（） A． 2

B．

C．

D．

4．（5分）下列命题的说法错误的是（）

A． 对于命题p：∀x∈R，x+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x+x+1≤0

22

B． 命题“若x﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x﹣3x+2≠0” C． 若复合命题p∨q为假命题，则p，q都是假命题

D． “y＜2”是“向量=（1，2），=（﹣2，y﹣4）之间的夹角为钝角”的充要条件

5．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

2

2

A． B．

C． D． 6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．

7．（5分）已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且用，，表示向量 A．

+

+

为（） B．

﹣

+

C． ﹣

+

+

D．﹣

+

﹣

=，

=，

=，

B．

C． 16

D．32

8．（5分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数

均为偶数”，则P（B/A）=（） A．

B．

C．

D．

9．（5分）某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为（） A． 720 B． 600 C． 520 D．360 10．（5分）已知函数f（x）=2ln x﹣xf′（1），则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程是（） A． x﹣y+2=0 B． x+y+2=0 C． x+y﹣2=0 D．x﹣y﹣2=0

11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：

﹣

=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对

称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（） A． B． 3 C． D．2

12．（5分）已知函数g（x）=ax+bx+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），且a+2b+3c=0，f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两根，则|x1﹣x2|的取值范围是（）

A． 上存在x0（a＜x0＜b），满足

2

3

2

，则称函数y=f（x）是

上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x是上的平均值函数，0就是它的均值点．现

3

有函数f（x）=x+mx是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是．

三、解答题（共6小题，共70分）

52345

17．（10分）已知（1﹣2x）=a0+a1x+a2x+a3x+a4x+a5x （1）求a0+a1+a2+a3+a4+a5 （2）求a1+a3+a5．

18．（12分）设函数f（x）=x﹣3ax+3bx的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11）． （1）求a，b的值；

（2）求函数f（x）的极值． 19．（12分）袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等．

（Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；

（Ⅱ）用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率分布与数学期望． 20．（12分）如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=6． （Ⅰ）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE； （Ⅱ）在线段AB上找一点E，使二面角D﹣CE﹣M的大小为

时，求出AE的长．

3

2

21．（12分）设椭圆E：

过

，

两点，O

为坐标原点

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B，且

？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．

22．（12分）已知函数f（x）=

（其中a为常数）．

（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当a＜1时，若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；

（Ⅲ）当a=1时，对于任意大于1的实数x，恒有f（x）≥k成立，求实数k的取值范围．

四川省遂宁市射洪中学2014-2015学年高二下学期期末数学模拟试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1．（5分）复数

（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）

D．第四象限

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限

考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数．

分析： 利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

解答： 解：复数==1+i在复平面上对应的点（1，1）位于第一象限，

故选：A．

点评： 本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．

2．（5分）（x﹣3）的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则n为（） A． 3 B． 4 C． 5 D．6

考点： 二项式系数的性质． 专题： 二项式定理．

分析： 由题意结合二项式系数的性质，可知二项展开式中仅有5项，则n可求．

n

解答： 解：∵（x﹣3）的展开式中只有第3项的二项式系数最大，

n

∴（x﹣3）的展开式中只有5项，则n=4． 故选：B．

点评： 本题考查二项式系数的性质，当n为偶数时，只有中间一项的二项式系数最大，是基础题．

n

3．（5分）设随机变量X：B（6，），则D（X）等于（） A． 2

B．

C．

D．

考点： 二项分布与n次重复试验的模型． 专题： 概率与统计．

分析： 由已知求出E（X）=6×=2，D（X）=6×=，由Y=3X+5，知E（Y）=3EX+5，D（Y）=9D（X），由此能求出结果．

解答： 解：∵随机变量X服从二项分布B（6，）， ∴E（X）=6×=2， D（X）=6××=，

故选：B

点评： 本题考查二项分布的期望与方差，是基础题，解题时要注意二项分布的性质的合理运用． 4．（5分）下列命题的说法错误的是（） A． 对于命题p：∀x∈R，x+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x+x+1≤0

22

B． 命题“若x﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x﹣3x+2≠0” C． 若复合命题p∨q为假命题，则p，q都是假命题

D． “y＜2”是“向量=（1，2），=（﹣2，y﹣4）之间的夹角为钝角”的充要条件

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．

分析： A项根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． B项由命题的四种命题之间的转化即可 C项由联接词“且”的真假判断．

22

D项为钝角，但平角时也满足，故许排除平角．

2

2

解答： 解：对于命题p：∀x∈R，x+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x+x+1≤0，A正确．

22

命题“若x﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x﹣3x+2≠0”B正确． 若复合命题p∨q为假命题，则p，q都是假命题，C正确．

向量=（1，2），=（﹣2，y﹣4）之间的夹角为钝角，则﹣2+2y﹣8＜0，解得y＜5．所有并非充要条件．D错误， 故选D

点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握有关的基础知识，如四种命题真假的判断，联接词真假判断，向量之间的夹角为钝角的条件等知识点．属基础题型 5．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

A． B．

C． D．

考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义． 专题： 压轴题．

分析： 本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．

解答： 解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．

点评： 考查函数的单调性问题． 6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．

B．

C．

16 D． 32

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，由三视图判断四棱锥的高为4，底面是对角线长为4的正方形，求出正方形的边长，把数据代入棱锥的体积公式计算． 解答： 解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2， 四棱锥的底面是对角线长为4的正方形， ∴底面正方形的边长为2，

∴几何体的体积V=×故选：A．

×2=．

点评： 本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．

7．（5分）已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且用，，表示向量 A．

+

+

为（） B．

﹣

+

C． ﹣

+

+

D．﹣

+

﹣

=，

=，

=，

考点： 空间向量的加减法． 专题： 空间向量及应用．

分析： 如图所示，连接ON，AN，利用向量的中点公式可得=（

+

），进而即可得出．

=（+）=（+），

解答： 解：如图所示，连接ON，AN， 则

=（=（=（

+﹣2

+

）=（+）， ） +

）

=（﹣2++） =﹣+所以

+=（

， +

）=﹣

+

+

．

故选C．

点评： 熟练掌握向量的运算法则、中点公式等是解题的关键． 8．（5分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数

均为偶数”，则P（B/A）=（） A．

B．

C．

D．

考点： 相互事件的概率乘法公式． 专题： 应用题；概率与统计．

分析： 利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解．

解答： 解：P（A）==，P（AB）==．

由条件概率公式得P（B|A）==．

故选：B．

点评： 本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题． 9．（5分）某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为（） A． 720 B． 600 C． 520 D．360

考点： 排列、组合及简单计数问题． 专题： 概率与统计．

分析： 利用分类加法计数原理、排列与组合的计算公式、“插空法”即可得出． 解答： 解：由题意可分为以下3类：

①只有甲汽车被选中，则可有②只有乙汽车被选中，则可有

=240种方法； =240种方法；

=120种

③若甲乙两辆汽车都被选中，且它们出发时不能相邻，则不同排法种数=

方法．

综上由分类加法计数原理可知：所要求的不同排法种数=240+240+120=600． 故选B．

点评： 熟练掌握分类加法计数原理、排列与组合的计算公式、“插空法”是解题的关键． 10．（5分）已知函数f（x）=2ln x﹣xf′（1），则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程是（） A． x﹣y+2=0 B． x+y+2=0 C． x+y﹣2=0 D．x﹣y﹣2=0

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 综合题；导数的综合应用． 分析： 求出f′（x），由题意可知曲线在点（1，f（1））处的切线方程的斜率等于f′（1），所以把x=1代入到f′（x）中即可求出f′（1）的值，得到切线的斜率，然后把x=1和f′（1）的值代入到f（x）中求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率直线切线的方程即可． 解答： 解：f′（x）=2ln x﹣xf′（1）， 由题意可知，曲线在（1，f（1））处切线方程的斜率k=f′（1），

则f′（1）=2﹣f′（1），解得f′（1）=1， 则f（1）=﹣1，所以切点（1，﹣1）

所以切线方程为：y+1=x﹣1，化简得x﹣y﹣2=0 故选：D．

点评： 此题考查学生会利用导数求过曲线上某点切线方程的斜率，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道中档题．

11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：

﹣

=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对

称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（） A． B． 3 C． D．2

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为的距离为

=b．

，则F2到渐近线

设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点 又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角， ∴△MF1F2为直角三角形，

222

∴由勾股定理得4c=c+4b

22222∴3c=4（c﹣a），∴c=4a， ∴c=2a，∴e=2． 故选D．

点评： 本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

12．（5分）已知函数g（x）=ax+bx+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），且a+2b+3c=0，f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两根，则|x1﹣x2|的取值范围是（）

A． 上存在x0（a＜x0＜b），满足

2

3

2

，则称函数y=f（x）是

上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x是上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x+mx是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是﹣3＜m≤

考点： 函数与方程的综合运用；函数的值． 专题： 综合题；函数的性质及应用．

3

．

分析： 函数f（x）=x+mx是区间上的平均值函数，故有x+mx=

33

在

（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．

解答： 解：函数f（x）=x+mx是区间上的平均值函数，故有x+mx=在（﹣1，1）内有实数根． 由x+mx=又1∉（﹣1，1） ∴x+m+1+x=0的解为：﹣3＜m≤

．

⇒

＜m≤

．

23

3

3

⇒x+mx﹣m﹣1=0，解得x+m+1+x=0或x=1．

32

，必为均值点，即⇒

∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤故答案为：﹣3＜m≤

．

点评： 本题主要是在新定义下考查方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定答．

三、解答题（共6小题，共70分）

17．（10分）已知（1﹣2x）=a0+a1x+a2x+a3x+a4x+a5x （1）求a0+a1+a2+a3+a4+a5 （2）求a1+a3+a5．

考点： 二项式系数的性质． 专题： 二项式定理．

分析： （1）直接在二项式中取x=1得答案；

（2）再在二项式中取x=﹣1，与（1）中求得的a0+a1+a2+a3+a4+a5作和即可求得a1+a3+a5．

52345

解答： 解：（1）由（1﹣2x）=a0+a1x+a2x+a3x+a4x+a5x，

5

取x=1得，（1﹣2）=a0+a1+a2+a3+a4+a5，即a0+a1+a2+a3+a4+a5=﹣1；

5

（2）取x=﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=3=243，① 又a0+a1+a2+a3+a4+a5=﹣1，②

②﹣①得：2（a1+a3+a5）=﹣244，则a1+a3+a5=﹣122．

点评： 本题考查二项式系数的性质，关键是在二项式中对x的取值，是基础的计算题．

52345

18．（12分）设函数f（x）=x﹣3ax+3bx的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11）． （1）求a，b的值；

（2）求函数f（x）的极值．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

32

专题： 导数的综合应用．

分析： （1）函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程解．

（2）导函数大于0对应区间是单调递增区间；导函数小于0对应区间是单调递减区间．

2

解答： 解：（1）求导得f′（x）=3x﹣6ax+3b．

由于f（x）的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11）， 所以f（1）=﹣11，f′（1）=﹣12，即： 1﹣3a+3b=﹣11，3﹣6a+3b=﹣12 解得：a=1，b=﹣3．

32

（2）由a=1，b=﹣3得：f（x）=x﹣3x﹣9x，

2

f′（x）=3（x﹣2x﹣3）=3（x+1）（x﹣3） 令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞3； 又令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜3．

故当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）是增函数， 当x∈（3，+∞）时，f（x）也是增函数， 但当x∈（﹣1，3）时，f（x）是减函数，

∴f（x）极大值=f（﹣1）=5， f（x）极小值=f（3）=﹣27．

点评： 考查导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间． 19．（12分）袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等．

（Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；

（Ⅱ）用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率分布与数学期望．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．

分析： （Ⅰ）解法一：利用古典概型概率公式，可求概率；解法二：记“取出的2个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“取出的2个小球上的数字相同”的事件记为B，则事件A与事件B是对立事件，从而可求概率；

（II）确定变量的取值，求出相应的概率，可得随机变量ξ的概率分布与数学期望． 解答： （Ⅰ）解法一：记“取出的2个小球上的数字互不相同”为事件A，

∵从袋中的6个小球中任取2个小球的方法共有其中取出的2个小球上的数字互不相同的方法有

种，…（1分）

，…（3分）

∴． …（4分）

解法二：记“取出的2个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“取出的2个小球上的数字相同”的事件记为B，则事件A与事件B是对立事件． ∵

，…（2分）

∴． …（4分）

（Ⅱ）解：由题意，ξ所有可能的取值为：2，3，4，5，6． …（6分） 则

，

，

，

，

故随机变量ξ的概率分布列为 ξ 2 3 4 5 6 P

．

…（10分） 因此，ξ的数学期望

．…（12分）

点评： 本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题． 20．（12分）如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=6． （Ⅰ）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE； （Ⅱ）在线段AB上找一点E，使二面角D﹣CE﹣M的大小为

时，求出AE的长．

考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： （I）如图所示，连接AM交ND于点F，连接EF．利用正方形的性质可得AF=FM，利用三角形的中位线定理可得：EF∥BM．利用线面平行的判定定理可得：BM∥平面NDE． （II）由DM⊥AD，利用面面垂直的性质定理可得：DM⊥平面ABCD，DM⊥DC．以DA，DC，DM所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设E（3，b，0），设平

面MCE的法向量为=（x，y，z），则，解得．取平面ABCD

的法向量=（0，0，1）．根据二面角D﹣CE﹣M的大小为解出b即可．

时，可得=，

解答： （I）证明：如图所示，连接AM交ND于点F，连接EF． ∵四边形ADMN是正方形，∴AF=FM， 又AE=EB，∴EF∥BM．

∵BM⊄平面NDE，EF⊂平面NDE， ∴BM∥平面NDE．

（II）解：由DM⊥AD，平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD， ∴DM⊥平面ABCD，∴DM⊥DC，又AD⊥DC．

以DA，DC，DM所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 设E（3，b，0），D（0，0，0），C（0，6，0），M（0，0，3）． =（3，b﹣6，0），

=（0，﹣6，3）．

，

设平面MCE的法向量为=（x，y，z），则

取y=1，则z=2，x=∴=

． ．

取平面ABCD的法向量=（0，0，1）． ∵二面角D﹣CE﹣M的大小为

时，∴

=

=

，

解得b=（0≤b≤6）．

时，AE=

．

∴二面角D﹣CE﹣M的大小为

点评： 本题考查了正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、二面角的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

21．（12分）设椭圆E：为坐标原点

（1）求椭圆E的方程；

过

，

两点，O

（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B，且

？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．

考点： 圆与圆锥曲线的综合．

分析： （1）利用待定系数法，可求椭圆E的方程；

（2）分类讨论，设出切线方程与椭圆方程联立，要使达定理，即可求解．

解答： 解：（1）因为椭圆E：

，需使x1x2+y1y2=0，结合韦

（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，

所以，解得，

所以，

所以椭圆E的方程为（5分）

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

，设该圆的切线方程为y=kx+m．

解方程组

2

2

得x+2（kx+m）=8，即（1+2k）x+4kmx+2m﹣8=0，

2

2

2

2

22222

则△=16km﹣4（1+2k）（2m﹣8）=8（8k﹣m+4）＞0，

22

即8k﹣m+4＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

（7分）

． 要使

，需使x1x2+y1y2=0，即

，

所以3m﹣8k﹣8=0，所以

22

．

又8k﹣m+4＞0，所以

22

，

所以，即或，

，

因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为

所以，所以，

所以所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或，

而当切线的斜率不存在时，切线为与椭圆的两个交点为

或

综上，存在圆心在原点的圆B，且

．（13分）

，满足，

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，

点评： 本题考查利用待定系数法求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

22．（12分）已知函数f（x）=

（其中a为常数）．

（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当a＜1时，若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；

（Ⅲ）当a=1时，对于任意大于1的实数x，恒有f（x）≥k成立，求实数k的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 导数的综合应用．

分析： （Ⅰ）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间； （Ⅱ）问题转化为求使函数f（x）在（1，2）上不为单调函数的a的取值范围，通过讨论x的范围，得到函数的单调性，进而求出a的范围；

（Ⅲ）x＞1时，f（x）≥k，即（x﹣1）﹣klnx≥0成立，分类讨论利用函数的单调性即可求出实数k的范围．

2

解答： 解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=，f′（x）=， ，

令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜∴函数f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增； （Ⅱ）依题意即求使函数f（x）=

在（1，2）上不为单调函数的a的取值范围，

而f′（x）=，（1＜x＜2，a＜1），

设g（x）=2xlnx﹣x+a，则g（1）=a﹣1，g（2）=4ln2﹣2+a，

因为g′（x）=2lnx+1＞0，g（x）在（1，2）上为增函数， 当

，即当2﹣4ln2＜a＜1时，函数g（x）在（1，2）上有且只有

一个零点，设为x0，

当x∈（1，x0）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）为减函数；

当x∈（x0，2）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）为增函数，满足在（1，2）上不为单调函数．

当a≤2﹣4ln2时，g（1）＜0，g（2）＜0，所以在（1，2）上g（x）＜0成立（因g（x）在（1，2）上为增函数），

所以在（1，2）上f′（x）＜0成立，即f（x）在（1，2）上为减函数，不合题意， 综上：2﹣4ln2＜a＜1．

（Ⅲ）x＞1时，f（x）≥k，即（x﹣1）﹣klnx≥成立， 令g（x）=（x﹣1）﹣klnx，则g′（x）=

2

2

2

，

∵x＞1，∴2x﹣2x=2x（x﹣1）＞0，

①k≤0，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）单调递增， ∴x＞1时，g（x）＞g（1）=0，满足题意， ②k＞0时，令f′（x）=0，解得：x1=

＜0，x2=

＞1，

∴x∈（1，x2），g′（x）＜0，g（x）在（1，x2）单调递减， ∴x∈（1，x2）时，g（x）＜g（1）=0（舍）， ∴k≤0．

点评： 本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，考查转化思想，分类讨论思想，熟练掌握基础知识并对其灵活应用是解题的关键，本题是一道难题．