・１０・ 中学教研（数学） 思维导向的数学导学案设计 ——基于一则案例的分析 ●唐恒钧 （浙江师范大学教师教育学院浙江金华３２１００４） ●周柳青 （油川初级中学浙江永康３２１３０６） 基于导学案的教学已成为当下比较流行的课 结解这类题的４个步骤．） 堂教学模式－１ Ｊ．近几年，笔者在参加浙江省初中的 一些教研活动中发现，数学课堂中广泛地应用了导 学案．应该说在数学课堂中应用导学案是很有价值 的，这与数学这一学科的特殊性有关．首先，“问题 是数学的心脏”，学生的数学学习就是在解决数学 问题的过程中进行的，导学案则为学生的数学问题 解决提供了载体．其次，数学学习需要学生的 思考，导学案只有问题而没有答案的形式正好为学 生的思考提供了合适的载体． 但笔者也发现，目前数学导学案还存在一些问 题，特别是一些导学案变成了新的习题册，对学生 导学、尤其是思维上的引导功能明显不足．下面以 一个典型的导学案为例，分析其在思维引导上存在 的不足，并以此为基础探讨改进的策略． １“一次函数复习”导学案概述 该课是在学生学完浙教版《数学》八年级“一 次函数”一章后的复习课．导学案共包括复习和新 知探究２个版块． 复习版块包括２个任务：第１个任务是学案给 出６个空白的坐标系，让学生动手画一次函数ｙ＝ ＋６的大致图像有哪几类；第２个任务是让学生 填写以下空格，回顾表达式中．］｝，６与图像有什么联 系． 当——时，直线——，ｙ随 的增大而——； 当——时，直线——，ｙ随 的增大而——； 总结１： 当—— 时，直线——，直线与ｙ轴 当—— 时，直线——，直线与＿ｙ轴 当—— 时，直线——，直线与ｙ轴 总结２： 新知探究版块包含２个例题：其中例１是关于 单个函数的解析式与图像间的关系，具体包括４个 问题． 例１（１）这条直线经过（１，２）和（４，一４），能 求出这条直线的表达式吗？ （注：要求学生完成这一问题后，用４个字总 （２）这条直线与 轴的交点坐标是一 （３）当），＞０时， ——；当 ＞０时，ｙ （４）若０＜），＜４，则 的取值范围为一 这４个问题层层递进，第（１）小题是知道２个 点的坐标求直线表达式，第（２）小题是知道表达式 求特殊点，第（３）和第（４）小题则更进一步根据ｙ 或 的范围求 或ｙ范围．例２的难度进一步提 升，由１条直线增加为２条直线，包含２个问题． 例２（１）求直线ｚ ：ｙ ：一２ ＋４与２２：ｙ ＝ 一５的交点Ａ的交点坐标：——． （２）当 为何值时， ＞Ｙ２； 。＝Ｙ２； １＜Ｙ２． ２思维导向视角下的分析与评价 该导学案的知识点遵循了如下设计逻辑：复习 一次函数的图像（直线）与表达式间的关系，强化后 确定直线方向，ｂ确定直线与），轴的交点位置， 与ｂ 共同决定直线经过的象限；其次，例１是复习内容的 进一步精细化，讨论通过点的坐标求直线的解析式， 通过解析式求特殊点以及点横纵坐标的关系；再次， 例２进一步讨论２条直线之间的关系，包括交点坐 标、同一横坐标下纵坐标之间的关系等因此，该导 学案所建构的知识结构是清晰的、逐步推进的，这对 于学生已有知识的整理是很有帮助的． 若进一步从数学思维角度看，则存在值得探讨 的问题．第一，导学案都是以封闭问题出现．杨玉东 博士曾将数学课堂上的问题分为指向教学内部的 问题和指向教学外部的管理眭问题，并将指向内部 的问题细分为“旨在获得结论的问题”和“旨在引 发思考的问题”．本学案中的问题均是旨在获得结 论的问题．因此，学习结果是多数学生能解决问题， 并获得相应结论，但对于为什么要解决这些问题并 不清楚．比如，学生也许并不清楚例１中为什么要 给出２个点的坐标，至少不会有意识地从解析式、 方程等角度理解这一条件的必要性．具体地，学生 并不能用“待定系数法解方程”这一角度来理解以 下关系：有２个未知数 和ｂ，就需要构造２个方 第３期 唐恒钧，等：思维导向的数学导学案设计 程，从而需要给出２个点的坐标．事实上，相比于单 纯地求出直线方程的学习结果，这一理解更具教育 意义和数学方意义．后者在后续的学习中具有 通用性．因此，在数学导学案的问题设计时应尽量 采用开放式的、文字性的问题，在为学生提供思维 背景的基础上，通过问题驱动学生的思考．这也是有 学者提出的数学导学案应该具备的发展陛特点 Ｊ． 第二，尽管教师在设计导学案时具有清晰的数 学知识逻辑，但由于学案问题过于封闭，这种知识 逻辑被掩盖在题目背后．学生通过该学案的学习， 并不能理解与体会教师所设计的思维逻辑．事实 上，就学生数学素养的发展而言，这比单纯会解这 些问题和获得结论性的认识更为重要．这是因为， 上述知识的内在逻辑其实是思考数学问题的一般 过程，这些内容的体验与学习将有助于学生数学活 动经验的丰富和数学思维的提升．因此，在学案设 计中要让学生体会数学思考的脉络，学会用具有普 遍意义的数学视角思考问题．比如，该课要让学生 体会到函数研究的一些基本视角：既然初中函数讨 论的是２个变量之间的依存关系，则研究函数就要 分析当自变量取特殊值或具有某种特定的变化趋 势时，应变量的取值或变化特点；函数可由３种方 法来刻画，考虑这３种方法之间的相互转化；在考 虑单个函数的基础上，还要分析多个函数之间的关 系，等等．同时，在问题链的设计中要蕴含数学思 维，比如这节课中反复应用的数形结合思想，在用 图像讨论解析式特点时用到的分类比较思想、从特 殊到一般、从一般到特殊的思想等． 此外，从某种程度而言，导学案是为学生的自 主学习设计的，是为学生的学服务的，因此导学案 的表述应考虑这一特点．导学案不能只有数学问 题，而需要一些铺垫性的语言，来引导学生的数学 思考或为学生的数学思考提供脉络． ３基于思维导向的“一次函数复习”导学案 这一章中我们学习了一次函数的相关知识．函 数实际上是研究一个变化过程中，２个变量之间的 依存关系，即对于 ，Ｙ这２个变量，当 取每一个 确定的值时，Ｙ都有唯一确定的值．函数有３种表 示方法：解析法、图像法和列表法．一次函数的一般 的解析式为Ｙ＝ ＋ｂ，图像为一条直线． 问题１ 由一次函数的图像，你能获得什么结 论？ 问题１－１ （出示一个经过第一、二、三象限的 一次函数图像，图咯）从 和Ｙ的关系出发，你能 得到哪些结论？ 结论预设这是一次函数Ｙ＝ｋｘ＋ｂ． 当 ＝０时， ｙ ｂｌｂ＞０１图像经过第一、二、＝－ｇｔｌ￣； 当 ：一÷时，ｙ：ｏ ０ ０时，ｙ ； 当 变大时，ｙ变大 Ｊ当ｙ＞０时， ＞一 ０’ 问题１－２你还能画出哪些一次函数的图像？ 有哪些结论？ 结论预设学生根据平移图像等方法，获得相 关的结论．其中一个特殊情况为图像经过原点时， 函数为正比例函数，由此使学生认识到正比例函数 是一次函数的特殊情形． 问题２刚才是用函数图像来理解函数的性 质，特别是解析式中ｋ，ｂ的取值问题．可见函数的 几种表达式之间是内在一致的，且可以相互理解． 在小学时学习过“２个点确定１条直线”，你能用一 次函数的图像与解析式作进一步理解吗？ 问题２—１ 为什么要给出２个点的坐标才能确 定１条直线呢？ 结论预设 学生利用待定系数法从求方程的 角度理解这一问题． 问题２－２你能自己设定２个点的坐标，并求 经过这２个点的直线表达式吗？ 问题３刚才研究的是坐标系中只有１条直 线的情况，现在让我们来研究２条直线的情况．２ 条直线有哪些可能的关系？如果用解析式来理解， 有什么结论？ 问题３－１ 如果设２条平行直线的解析式分别 为Ｙ１＝ｋｌ ＋ｂ１与Ｙ２＝ｋ２ｘ＋ｂ ，你能获得哪些结论？ 问题３－１—１ ｋ 与ｋ 之间有什么关系？ 问题３．１－２ ｂ 与ｂ 之间有什么关系？ 问题３．２如果设２条相交直线的解析式分别 为Ｙ ＝ ＋ｂ 与Ｙ２＝ｋ２ｘ＋ｂ：，你能获得哪些结论？ 问题３－２—１交点坐标是什么？ 问题３－２－２在交点右边，当 取某一确定值 时，Ｙ。与Ｙ 的关系如何？ 问题３．２－３在交点左边，当 取某一确定值 时，Ｙ 与Ｙ：的关系如何？ 参考文献 谭瑞军．数学“导学案”教学的再思考［Ｊ］．教 学与管理，２０１３（１）：４９－５１． ［２］ 陈蓓．数学学案教学研究综述［Ｊ］．教育实践 与研究，２０１１（１２Ｂ）：４２－４６．
