力

第一章 力 物体的平衡

一、力的分类 1.按性质分

重力（万有引力）、弹力、摩擦力、分子力、电场力、磁场力 „„（按现代物理学理论，物体间的相互作用分四类：长程相互作用有引力相互作用、电磁相互作用；短程相互作用有强相互作用和弱相互作用。宏观物体间只存在前两种相互作用。） 2.按效果分

压力、支持力、拉力、动力、阻力、向心力、回复力 „„ 3.按产生条件分

场力（非接触力）、接触力。 二、弹力

1.弹力的产生条件

弹力的产生条件是两个物体直接接触，并发生弹性形变。 2.弹力的方向

⑴压力、支持力的方向总是垂直于接触面。

⑵绳对物体的拉力总是沿着绳收缩的方向。

⑶杆对物体的弹力不一定沿杆的方向。如果轻直杆只有两个端点受力而处于平衡状态，则轻杆两端对物体的弹力的方向一定沿杆的方向。 例1. 如图所示，光滑但质量分布不均的小球的球心在O，重心在P，静止

O F2 B 在竖直墙和桌边之间。试画出小球所受弹力。 F1 P 解：由于弹力的方向总是垂直于接触面，在A点，弹力F1应该垂直于球面

A 所以沿半径方向指向球心O；在B点弹力F2垂直于墙面，因此也沿半径指向球心O。

注意弹力必须指向球心，而不一定指向重心。又由于F1、F2、G为共点力，重力的作用线必须经过O点，因此P和O必在同一竖直线上，P点可能在O的正上方（不稳定平衡），也可能在O的正下方（稳定平衡）。

例2. 如图所示，重力不可忽略的均匀杆被细绳拉住而静止，试画出杆

F1 所受的弹力。 A F2 解：A端所受绳的拉力F1沿绳收缩的方向，因此沿绳向斜上方；B端所

受的弹力F2垂直于水平面竖直向上。 B 由于此直杆的重力不可忽略，其两端受的力可能不沿杆的方向。

杆受的水平方向合力应该为零。由于杆的重力G竖直向下，因此杆的下端一定还受到向右的摩擦力f作用。

F 例3. 图中AC为竖直墙面，AB为均匀横梁，其重为G，处于水平位

A B 置。BC为支持横梁的轻杆，A、 B、C三处均用铰链连接。试画出横梁B端所受弹力的方向。

解：轻杆BC只有两端受力，所以B端所受压力沿杆向斜下方，其反作用力轻杆对横梁的弹力F沿轻杆延长线方向斜向上方。 C

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3.弹力的大小

对有明显形变的弹簧、橡皮条等物体，弹力的大小可以由胡克定律计算。对没有明显形变的物体，如桌面、绳子等物体，弹力大小由物体的受力情况和运动情况共同决定。 ⑴胡克定律可表示为（在弹性限度内）：F=kx，还可以表示成ΔF=kΔx，即弹簧弹力的改变量和弹簧形变量的改变量成正比。 ⑵“硬”弹簧，是指弹簧的k值大。（同样的力F作用下形变量Δx小）

⑶一根弹簧剪断成两根后，每根的劲度k都比原来的劲度大；两根弹簧串联后总劲度变小；两根弹簧并联后，总劲度变大。

例4. 如图所示，两物体重分别为G1、G2，两弹簧劲度分别为k1、k2，弹簧两端与物体和地面相连。用竖直向上的力缓慢向上拉G2，最后平衡时拉力F=G1+2G2，求该过程系统重力势能的增量。

解：关键是搞清两个物体高度的增量Δh1和Δh2跟初、末状态两根弹簧F G2 的形变量Δx1、Δx2、Δx1/、Δx2/间的关系。

Δx2/ k2 无拉力F时 Δx1=(G1+G2)/k1，Δx2= G2/k2，（Δx1、Δx2为压缩量）

G2 加拉力F时 Δx1/=G2/k1，Δx2/= (G1+G2) /k2，（Δx1/、Δx2/为伸长量） Δx2 k2 G1 ///

而Δh1=Δx1+Δx1，Δh2=(Δx1+Δx2)+(Δx1+Δx2)

Δx1/ k1 Δx1 k1

系统重力势能的增量ΔEp= G1Δh1+G2Δh2

G1G2G2 整理后可得：EPG12G2k1k2G1

三、摩擦力

1.摩擦力产生条件

摩擦力的产生条件为：两物体直接接触、相互挤压、接触面粗糙、有相对运动或相对运动的趋势。这四个条件缺一不可。

两物体间有弹力是这两物体间有摩擦力的必要条件。（没有弹力不可能有摩擦力） 2.滑动摩擦力大小

⑴在接触力中，必须先分析弹力，再分析摩擦力。

⑵只有滑动摩擦力才能用公式F=μFN，其中的FN表示正压力，不一定等于重力G。 例5. 如图所示，用跟水平方向成α角的推力F推重量为G的木块沿天G 花板向右运动，木块和天花板间的动摩擦因数为μ，求木块所受的摩擦α F F F2 力大小。

解：由竖直方向合力为零可得FN=Fsinα-G，因此有：f =μ(Fsinα-G) α f F1 3.静摩擦力大小 G FN ⑴必须明确，静摩擦力大小不能用滑动摩擦定律F=μFN计算，只有当静摩擦力达到最大值时，其最大值一般可认为等于滑动摩擦力，既Fm=μFN

⑵静摩擦力的大小要根据物体的受力情况和运动情况共同确定，其可能的取值范围是 0＜Ff≤Fm

例6. 如图所示，A、B为两个相同木块，A、B间最大静摩擦力Fm=5N，水平A F 面光滑。拉力F至少多大，A、B才会相对滑动？ B 解：A、B间刚好发生相对滑动时，A、B间的相对运动状态处于一个临界状态，既可以认为发生了相对滑动，摩擦力是滑动摩擦力，其大小等于最大静摩擦力5N，也可以认

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为还没有发生相对滑动，因此A、B的加速度仍然相等。分别以A和整体为对象，运用牛顿第二定律，可得拉力大小至少为F=10N

（研究物理问题经常会遇到临界状态。物体处于临界状态时，可以认为同时具有两个状态下的所有性质。） 4.摩擦力方向

⑴摩擦力方向和物体间相对运动（或相对运动趋势）的方向相反。

⑵摩擦力的方向和物体的运动方向可能成任意角度。通常情况下摩擦力方向可能和物体运动方向相同（作为动力），可能和物体运动方向相反（作为阻力），可能和物体速度方向垂直（作为匀速圆周运动的向心力）。在特殊情况下，可能成任意角度。

例7. 小车向右做初速为零的匀加速运动，物体恰好沿车后壁匀速下滑。试分析下滑过程中物体所受摩擦力的方向和物体速度方向的关系。

解：物体受的滑动摩擦力的始终和小车的后壁平行，方向竖直向上，a v相对 而物体的运动轨迹为抛物线，相对于地面的速度方向不断改变（竖直分速度大小保持不变，水平分速度逐渐增大），所以摩擦力方向和运动方向间的夹角可能取90°和180°间的任意值。

由二、三、的分析可知：无明显形变的弹力和静摩擦力都是被动力。就是说：弹力、静摩擦力的大小和方向都无法由公式直接计算得出，而是由物体的受力情况和运动情况共同决定的。

四、力的合成与分解

1.矢量的合成与分解都遵从平行四边形定则（可简化成三角形定则）

平行四边形定则实质上是一种等效替换的方法。一个矢量（合矢量）的作用效果和另外几个矢量（分矢量）共同作用的效果相同，就可以用这一个矢量代替那几个矢量，也可以用那几个矢量代替这一个矢量，而不改变原来的作用效果。 由三角形定则还可以得到一个有用的F F F1 F1 推论：如果n个力首尾相接组成一个封闭

多边形，则这n个力的合力为零。

O O F2 F2

在分析同一个问题时，合矢量和分矢量不能同时使用。也就是说，在分析问题时，考虑了合矢量就不能再考虑分矢量；考虑了分矢量就不能再考虑合矢量。

矢量的合成分解，一定要认真作图。在用平行四边形定则时，分矢量和合矢量要画成带箭头的实线，平行四边形的另外两个边必须画成虚线。 各个矢量的大小和方向一定要画得合理。

在应用正交分解时，两个分矢量和合矢量的夹角一定要分清哪个是大锐角，哪个是小锐角，不可随意画成45°。（当题目规定为45°时除外）

v 2.应用举例

A a 例8. A的质量是m，A、B始终相对静止，共同沿水平面向右运动。

当a1=0时和a2=0.75g时，B对A的作用力FB各多大？ B 解：一定要审清题：B对A的作用力FB是B对A的支持力和摩擦力的合力。而A所受重力G=mg和FB的合力是F=ma。

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当a1=0时，G与 FB二力平衡，所以FB大小为mg，方向竖直向上。 α 当a2=0.75g时，用平行四边形定则作图：先画出重力（包括大小和方向），

F 再画出A所受合力F的大小和方向，再根据平行四边形定则画出FB。由已知

可得FB的大小FB=1.25mg，方向与竖直方向成37o角斜向右上方。

例9．已知质量为m、电荷为q的小球，在匀强电场中由静止释放后沿直线OPG 向斜下方运动（OP和竖直方向成θ角），那么所加匀强电场的场强E的最小值O θ 是多少？

解：根据题意，释放后小球所受合力的方向必为OP方向。用三角形定则从右

Eq 图中不难看出：重力矢量OG的大小方向确定后，合力F的方向确定（为OP

方向），而电场力Eq的矢量起点必须在G点，终点必须在OP射线上。在图中P mg 画出一组可能的电场力，不难看出，只有当电场力方向与OP方向垂直时Eq才会最小，所以E也最小，有E =mgsin

qF 这是一道很典型的考察力的合成的题，不少同学只死记住“垂直”，而不分析哪两个矢量

垂直，经常误认为电场力和重力垂直，而得出错误答案。越是简单的题越要认真作图。 例10. 轻绳AB总长l，用轻滑轮悬挂重G的物体。绳能承受的最大拉力是2G，将A端固定，将B端缓慢向右移动d而使绳不断，求d的最大可能值。 A B 解：以与滑轮接触的那一小段绳子为研究对象，在任何一个平衡位置都在滑轮对它的压力（大小为G）和绳的拉力F1、F2共同作用下静止。而同一根绳子上的拉力大小F1、F2总是相等N 的，它们的合力N是压力G的平衡力，方向竖直向上。因此以F1 F2 F1、F2为分力做力的合成的平行四边形一定是菱形。利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合相似形知识可得d∶l =15∶4，所以d最大为15 l4G 五、物体的受力分析

1.明确研究对象

在进行受力分析时，研究对象可以是某一个物体，也可以是保持相对静止的若干个物体。在解决比较复杂的问题时，灵活地选取研究对象可以使问题简洁地得到解决。研究对象确定以后，只分析研究对象以外的物体施予研究对象的力（既研究对象所受的外力），而不分析研究对象施予外界的力。 2.按顺序找力 必须是先场力（重力、电场力、磁场力），后接触力；接触力中必须先弹力，后摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有摩擦力）。 3.只画性质力，不画效果力

画受力图时，只能按力的性质分类画力，不能按作用效果（拉力、压力、向心力等）画力，否则将出现重复。

C 4.需要合成或分解时，必须画出相应的平行四边形（或三角形）

B 在解同一个问题时，分析了合力就不能再分析分力；分析了分

A 力就不能再分析合力，千万不可重复。

θ 例11. 如图所示，倾角为θ的斜面A固定在水平面上。木块B、C

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的质量分别为M、m，始终保持相对静止，共同沿斜面下滑。B的上表面保持水平，A、B间的动摩擦因数为μ。⑴当B、C共同匀速下滑；⑵当B、C共同加速下滑时，分别求B、C所受的各力。

解：⑴先分析C受的力。这时以C为研究对象，重力G1=mg，B对C的弹N2 θ f2 力竖直向上，大小N1= mg，由于C在水平方向没有加速度，所以B、C间无摩擦力，即f1=0。

再分析B受的力，在分析 B与A间的弹力N2和摩擦力f2时，以BC整G1+G体为对象较好，A对该整体的弹力和摩擦力就是A对B的弹力N2和摩擦力

f2，得到B受4个力作用：重力G2=Mg，C对B的压力竖直向下，大小N1= mg，A对B的弹力N2=(M+m)gcosθ，A对B的摩擦力f2=(M+m)gsinθ

⑵由于B、C 共同加速下滑，加速度相同，所以先以B、C整体为对N2 象求A对B的弹力N2、摩擦力f2，并求出a ；再以C为对象求B、C f2 间的弹力、摩擦力。 a v 这里，f2是滑动摩擦力N2=(M+m)gcosθ， f2=μN2=μ(M+m)gcosθ θ 沿斜面方向用牛顿第二定律：(M+m)gsinθ-μ(M+m)gcosθ=(M+m)a

G1+G可得a=g(sinθ-μcosθ)。B、C间的弹力N1、摩擦力f1则应以C为对象求得。

由于C所受合力沿斜面向下，而所受的3个力的方向都在水平或竖直方向。这种情况下，比较简便的方法是以水平、竖直方向建立直角坐标系，分解加速度a。 N1 v 分别沿水平、竖直方向用牛顿第二定律： θ f1=macosθ，mg-N1= masinθ，

a G可得：f1=mg(sinθ-μcosθ) cosθ N1= mg(cosθ+μsinθ)cosθ

由本题可以知道：①灵活地选取研究对象可以使问题简化；②灵活选定坐标系的方向也可以使计算简化；③在物体的受力图的旁边标出物体的速度、加速度的方向，有助于确定摩擦力方向，也有助于用牛顿第二定律建立方程时保证使合力方向和加速度方向相同。 例12. 小球质量为m，电荷为+q，以初速度v向右滑入水平绝缘杆，匀强磁场方向如图所示，球与杆间的动摩擦因数为μ。试描述小球在+ 杆上的运动情况。

FN

FN 解：先分析小球的受力情况，再由受力情况确定其运动情况。

FN f Ff 小球刚滑入杆时，所受场力为：重力mg方向向下，洛伦兹力 f Ff=qvB方向向上；再分析接触力：由于弹力FN的大小、方向取决于Ff

mgv和的大小关系，所以须分三种情况讨论： mg mg mg qB① v＞

mgmg，在摩擦力作用下，v、Ff、FN、f都逐渐减小，当v减小到等于时达到平衡而qBqBmg，在摩擦力作用下，v、Ff逐渐减小，而FN、f逐渐增大，故v将一qBmg，Ff=G， FN、f均为零，小球保持匀速运动。 qB- 5 -

做匀速运动；② v<直减小到零；③ v=

例13. 一航天探测器完成对月球的探测任务后，在离开月球的过程中，由静止开始沿着与月

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球表面成一倾斜角的直线飞行，先加速运动，再匀速运动。探测器通过喷气而获得推动力。以下关于喷气方向的描述中正确的是

A.探测器加速运动时，沿直线向后喷气 B.探测器加速运动时，竖直向下喷气 C.探测器匀速运动时，竖直向下喷气 D.探测器匀速运动时，不需要喷气 解：探测器沿直线加速运动时，所受合力F合方向与运动方向相F F 同，而重力方向竖直向下，由平行四边形定则知推力方向必须斜向上方，因此喷气方向斜向下方。匀速运动时，所受合力为零，

F合 v 因此推力方向必须竖直向上，喷气方向竖直向下。选C

G 六、共点力作用下物体的平衡

v G 1.共点力

几个力作用于物体的同一点，或它们的作用线交于同一点（该点不一定在物体上），这几个力叫共点力。 2.共点力的平衡条件

在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零。 3.判定定理

物体在三个互不平行的力的作用下处于平衡，则这三个力必为共点力。（表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形） 4.解题途径

当物体在两个共点力作用下平衡时，这两个力一定等值反向；当物体在三个共点力作用下平衡时，往往采用平行四边形定则或三角形定则；当物体在四个或四个以上共点力作用下平衡时，往往采用正交分解法。

例14. 重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？ 解：由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处F1 F1 于静止状态，因此所受合力为零。应用三角形定则，G、

F2 F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，

F2

G G 而终点必须在F1所在的直线上，由作图可知，挡板逆时针转动90°过程，F2矢量也逆时针转动90°，因此F1逐渐变小，F2先

变小后变大。（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）

例15. 重G的均匀绳两端悬于水平天花板上的A、B两点。静止时绳两端的切线方向与天花板成α角。求绳的A端所受拉力F1和绳中点C处的张力F2。

解：以AC段绳为研究对象，根据判定定理，虽然AC所受的三个力分别作用在不同的点（如图中的A、C、P点），但它们必为共点力。设它们延长线的交点为O，用平行四边形定则作

GGF1 F1 α ,F2图可得：F1

2sin2tanA α P B F2 O O C F2 G/2 G/2 G 例16. 用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F的推力把一个重量F α - 6 -

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为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f。

解：从分析木块受力知，重力为G，竖直向下，推力F与竖直成30°斜向右上方，墙对木块的弹力大小跟F的水平分力平衡，所以N=F/2，墙对木块的摩擦力是静摩擦力，其大小和方向由F的竖直分力和重力大小的关系而决定：

当F2G时，f=0；当F2G时，f3FG，方向竖直向下；当F2G时，

3323fG3F，方向竖直向上。 2A 例17. 有一个直角支架AOB，AO水平放置,表面粗糙, OB竖直向下,表面O P 光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。现

Q 将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态B 和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是

A.FN不变，f变大 B.FN不变，f变小 C.FN变大，f变大 D.FN变大，f变小 解：以两环和细绳整体为对象求FN，可知竖直方向上始终二力平衡，FN=2mgF α 不变；以Q环为对象，在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡，设细

绳和竖直方向的夹角为α，则P环向左移的过程中α将减小，N=mgtanα也将减小。再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA 对P环的N 摩擦力f作用，因此f=N也减小。答案选B。

mg

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