新编高考数学(理)一轮知识点专题讲座：指数与对数的运算及函数(含答案)

的运算及函数（解析版）

加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用

一、考纲目标

理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图像和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、知识梳理

1．根式的运算性质：

①当n为任意正整数时，(na)=a

na(a0)②当n为奇数时，a=a；当n为偶数时，a=|a|=

a(a0)nnnn⑶根式的基本性质：

npampnam，（a0）

2．分数指数幂的运算性质：

amanamn(m,nQ) (am)namn(m,nQ)

(ab)nanbn(nQ)3．ya(a0且a1)的图象和性质

a>1 05．重要公式： loga10，logaa1.对数恒等式a6．对数的运算法则

如果a0,a1,N0,M0有

logaNN

loga(MN)logaMlogaN

logaMlogaMlogaN NmloganMmlogaM

n7．对数换底公式：

logaNlogmN ( a > 0 ,a  1 ，m > 0 ,m  1,N>0)

logma8．两个常用的推论:

①logablogba1， logablogbclogca1 ② logambnnlogab（ a, b > 0且均不为1） m9．对数函数的性质：

a>1 0f(x)

=bf(x)=logab, logaf(x)=bf(x)=a; （定义法） =a=b

g(x)

b

f(x)

f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)>0（转化法） f(x)logma=g(x)logmb (取对数法)

f(x)g(x)

(4) logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法) 三、考点逐个突破 1.指数、对数的运算法则

例1 .计算：（1）(124223)27162(8)；

（2）(lg2)lg2lg50lg25；

（3）(log32log92)(log43log83) 解：（1）原式(113)212212163423133316243423282(1)3

1133222212311338811

2 （2）原式(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5 (11)lg22lg52(lg2lg5)2

（3）原式(lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3)()()() lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg2 3lg25lg35 2lg36lg24例2. 设、b、为正数，且满足a2b2c2

bcac)log2(1)1 abbc2 （2）若log4(1)1，log8(abc)，求、b、的值

a3abcabcabcabc证明：（1）左边log2log2log2()

abab （1）求证：log2(1(ab)2c2a22abb2c22abc2c2log2log2log2log221；

ababab解：（2）由log4(1bcbc)1得14， aa∴3abc0……………①

2由log8(abc)得abc834………… ……………②

3由①②得ba2……………………………………③ 由①得c3ab，代入a2b2c2得2a(4a3b)0， ∵a0， ∴4a3b0………………………………④ 由③、④解得a6，b8，从而c10 例3. 已知xx1212121223，求

12x2x22xx3232的值

3解：∵xx3，∴(xx)9，∴x2x19，∴xx17，

122 ∴(xx)49，∴x2x247， 又∵xx ∴

323212(xx)(x1x1)3(71)18， 4723

1831212x2x22xx323232.指对互化

例4.已知3a5bc，且

112，求的值 ab1； a解：由3ac得：logc3a1，即alogc31，∴logc3 同理可得

111logc5，∴由2 得 logc3logc52， bab∴logc152，∴c215，∵c0，∴c15 3．换底公式

例5.设x1，y1，且2logxy2logyx30，求Tx24y2的最小值 解：令 tlogxy，∵x1，y1，∴ t0 由2logxy2logyx30得2t230，∴2t23t20， t111 ∴(2t1)(t2)0，∵t0，∴t，即logxy，∴yx2，

22 ∴Tx4yx4x(x2)4， ∵x1，∴当x2时，Tmin4 4.比较大小

例6．（1）若a2ba1，则logb2222b，logba，logab从小到大依次为 ； a （2）若2x3y5z，且，，都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为 ； （3）设x0，且axbx1（a0，b0），则与b的大小关系是（ ） A．ba1 B。ab1 C。1ba D。1ab 解：（1）由a2ba1得

bba，故logblogba1logab aa （2）令2x3y5zt，则t1，xlgtlgtlgt，y，z， lg2lg3lg5 ∴2x3y2lgt3lgtlgt(lg9lg8)0，∴2x3y； lg2lg3lg2lg3同理可得：2x5z0，∴2x5z，∴3y2x5z （3）取x1，知选 5.指数函数综合运用 例7．已知函数f(x)axx2(a1)， x1求证：（1）函数f(x)在(1,)上为增函数；

（2）方程f(x)0没有负数根 证明：（1）设1x1x2，

则f(x1)f(x2)ax1x12x2 ax22x11x21ax1ax2x12x223(x1x2)， ax1ax2x11x21(x11)(x21)∵1x1x2，∴x110，x210，x1x20， ∴

3(x1x2)0；

(x11)(x21)∵1x1x2，且a1，∴ax1ax2，∴ax1ax20， ∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)， ∴函数f(x)在(1,)上为增函数； 另法：∵a1，x(1,) ∴f(x)(axx23)axlna0 2x1(x1)∴函数f(x)在(1,)上为增函数；

（2）假设x0是方程f(x)0的负数根，且x01，则a0xx020， x01 即ax02x03(x01)31， ① x01x01x01333,∴12, x01x01当1x00时,0x011,∴

x0而由a1知a1 ∴①式不成立；

当x01时，x010，∴∴①式不成立

330，∴11，而ax00 x01x01综上所述，方程f(x)0没有负数根 6.对数函数综合运用

例8.已知函数f(x)loga(ax1)（a0且a1）

求证：（1）函数f(x)的图象在轴的一侧；

（2）函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0 证明：（1）由ax10得：ax1，

∴当a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(0,)，此时函数f(x)的图象在轴的右侧； 当0a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(,0)，此时函数f(x)的图象在轴的左侧 ∴函数f(x)的图象在轴的一侧；

（2）设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数f(x)图象上任意两点，且x1x2， 则直线AB的斜率ky1y2，

x1x2x2y1y2loga(a1)loga(a1)logax1ax11a1xx2，

xxx当a1时，由（1）知0x1x2，∴1a1a2，∴0a11a21，

ax11∴0x1，∴y1y20，又x1x20，∴k0；

a21当0a1时，由（1）知x1x20，∴a1a∴a11a210，

xxxx21，

ax11∴x1，∴y1y20，又x1x20，∴k0 a21∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0