子群非互素图的连通性

第36卷第6期 萍乡学院学报 2019年12月 Vol.36 NO.6 Journal of Pingxiang University Dec.2019

子群非互素图的连通性 张花连，蔡江华，刘太德

（萍乡学院 初等教育学院，江西 萍乡 337000）

摘 要：文章主要研究了一类子群非互素图，给出了有限群G的子群非互素图的定义，群G是一个有限群，G的子群非互素图2G为以G的非单位真子群为顶点，2G中的两个顶点A,B相连当且仅当A,B1。通过研究得到有限群的子群非互素图的连通性的条件。 关键词：有限群；子群非互素图；连通性

中图分类号：O152 文献标识码：A 文章编号：2095-9249（2019）06-0013-03

引言

群与图是基础数学研究的两个重要分支，它们的结合研究也引起了学者们的兴趣。比如群的Cayley图，就是通过Cayley图的研究，结合群与图产生的重要的一类图，有许多学者从事了这方面的研究并得到了丰富的结果[1~4]。促使其他学者对群的其它的图产生兴趣，如交换图、非交换图、幂图、非循环图、中心图等等，由此得到许多结果并产生新的研究课题[5~10]。2013年，马懁龙和韦华全[11]提出了有限群的非互素图的概念，得到了关于这类图的一些初步结果。在文献[12]中，作者也进一步得到关于这类图的图论性质和群论性质的较深入的结果。本文在上述结果的基础上，给出一种新的定义——有限群G的子群非互素图。

1 预理

(G)本文讨论的群都是有限群，设G是群，记(G)和e(G)分别为G的素因子集合和G的元素的阶的集合，

为G的因式分解中所有素因子的幂次和。

本文讨论的是没有圈和重边的简单图。设是一个图，分别记V()和E()为的顶点集合和边的集合。一个图是完全图当且仅当这个图的每个顶点都是相连的，n个顶点的完全图记为Kn，中的顶点v的度数记为deg(G)，表示中与v相连边的数量。一个图可以平面化表示的是这个图中所有的边可以不交叉地画在平面上。图真着色时所需要最少颜色数记为()，称为这个图的着色数。图包含的最大完全子图的阶数定义为的团数，记为()。对于图论当中其他的概念和知识可以参阅文献[13~14]。下面先给出一些已知的结论将用于后面的研究和证明当中。

11

引理1. 设G是群，是完全图当且仅当G是素数幂阶群。

11

引理2. 如果G15，则G是循环群。

nnn115n

引理3. 若G是有限群，p是素数。设pG，即pG，但p不整除G，则G中必存在p阶子群P，且P是G的较大G子群，即定义1.6.915意义下的Slyowp子群。

15

引理4. 有限群G中Slyowp子群的个数np是G的因子，并且np1(modp)。

15

引理5. 设G是超可解群，则对任意正整数dG，G必有d阶子群。

收稿日期：2019-03-10

基金项目：江西省教育厅科学技术研究项目（GJJ191158）；萍乡学院青年科研基金项目（2019D0209） 作者简介：张花连（1991—），女，江西上饶人，助教，硕士，研究方向：群与组合结构。

· 14 萍乡学院学报 2019年 ·2 子群非互素图的连通性

定义2.1 称有限群G是超可解群，如果G的每个主因子都是素数阶循环群。

定义2.2 群G的子群非互素图2G是指以G的非单位真子群为顶点，2G中的两个顶点A,B相连当且仅当

A,B112。

下面探讨子群非互素图的连通性的充分或必要条件。

定理2.3 设G是群且(G)2。如果G中有子群H和K使得GHK且H,Ke，其中HeK且HK，那么2G连通且diam(2G)3。

证明：设A,BV(2G)且(A,B)1。对于p(A)，q(B)，假设A1A，A1p；B1B，B1q。记DHK，则DZ(G)。若De， 取D1DZ(G)，D1r且r(D)。因为(G)2，所以D1B1G，这样AD1D1B1B是A到B的一条路径并且有d(A,B)3。

现在，假设D1，在这种情况下，有GHK。设p(A),q(B)，由条件不妨假设p(H)，取PH且Pp。若q(K)，则有子群QK使得Qq。子群PQ满足PQpq，子群A和B与PQ都是相连的且PQG。同样的，有d(AB)2，现在我们假设q(K)。则有q(H)和QH使得Qq。取w(K),WK,且Ww。

所以A和B与QW是相连的并且QWG，同样的，d(A,B)2。如果pw，则PWpw如果pw则QWqp，



有且QWqw，APWQWB是A到B的一条路径并且d(A,B)2。所以2G是连通的并且有diam(2G)3。

定理2.4 设G是超可解群并且(G)2，则2G连通并且diam(2G)2。

证明：设Gp11p22pss,A,BV(2G)且(A,B)1。由于G是超可解群，所以存在G的子群C使得CAB。若CG，则A和B与C都是相连的，所以A与是连通的。因此d(A,B)2。现在假设CG，则1i2sGAB。pi2ps我们不妨假设Ap11p22pii，Bpii1。若i1，则存在G的子群D使得Dp22p33pss，因此A和B与D都是相连的，并且d(A,B)2。类似地，若11，则A与B是相连的并且d(A,B)2。所以假

设i1，并且11。相同的，我们也可以假设s1并且11。但是此(G)2，这与(G)2矛盾。

注2.5 定理2.4中的连通的逆是不正确的。比如，设GA10，则e(G)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,21。

我们已知G是连通的，所以2G也是连通图的, 但是群G是一个非交换单群。 定理2.6 若群G的子群非互素图2G是连通的，则diam(2G)(G)。

证明：若否，假设n(G)diam(2G)，则存在两个顶点A1,An2V(2G)，并且满足diam(A1,An2)n1。在2G中设A1A2An2是一条长度为n1从A1到An2的路径；可知这条路径是A1到An2的最短路径。记

pi(Ai,Ai1)其中i1,2,3,,n1，由子群非互素图的定义可知pi1，如果存在ij使得q(pi,pj)1（不妨假设ij），所以Ai和Aj1可以被q整除，因此，(Ai,Aj1)1，则Ai与Aj1是相连的。这与A1A2An2

是从A1到An2的最短路径矛盾。所以(pi,pj)1对于任何ij都成立。所以(pi)(G)(i1,2,3,,n1)，即n1n，矛。结论diam(2G)(G)成立。

定理2.7 设G是超可解群。则2G是n正则的当且仅当群G是素数幂阶群，其中nG2。

证明：若G是素数幂阶群，则2G是完全图，所以2G是n正则图，其中nG2。相反地，假设2G是n正则图。我们证明G是素数幂阶群。若否，取G是极小反例。

（1）对任意AG并且Ae，有(A)1

若否，则存在p,q(A)并且pq。记Am取MA且Mpq，另取P,QA并且Pp,Qq，所以P和Q都与M是相连的。若2G中的顶点N与P相连，则p(N)，且N与M也相连，可知degG(P)degG(M)。而P与Q是不相连的，所以degG(P)degG(M)。与n正则矛盾，（1）成立。

2

2

2

2

（2）(G)1

如果(G)1，取p,q(G)且pq，由（1）可知在2G中群G的任何一个非平凡的q子群对应的点只能与群G非平凡的q子群对应的点相连，由条件可知群G的非平凡的q子群个数有n1。设CG且Cpq，则C与p子群和q子群对应的点都相连，这与2G是n正则矛盾，故CG。不妨假设pq，QSylq(G)。则QG，从而q1n1。又设np为G的Slyowp子群的个数。由定理2.2.3[15]则有nppk1，G中p阶元个

第6期 张花连，蔡江华，刘太德：子群非互素图的连通性

数为(pk1)(p1)，从而(pk1)(p1)q1，这就推出pq，矛盾。

定理2.8 设G是非循环超可解群，若G连通则2G也是连通的且diam(2G)diam(G)。

·15·

证明：任取子群A,B且1A,BG，则A,BV(2G)，设x,yV(G)且xA,yB，因为G连通，在G中从x到y有一条路径，不妨假设这条路径是xz1z2zny其中n1，由G的定义可知(x,z1)1，故(A,Z1)1，其中Z1z1。显然Z1G，所以顶点A与Z1在图2G当中是相连的。类似地AZ1Z2ZnB，其中Zizi且ZiG,i1,2,,n。由A,B的任意性，可知2G是一个连通图且diam(2G)diam(G)。

定理2.9 设G是有限非循环群且(G)2，如果(G)是一个连通图，则2G也是连通的，且

diam(2G)diam((G))1。

证明：取任意三个子群A,B,C满足1A,B,CG，则A,B,CV(2G)，取三个元素记为a,b,c满足1aA,1bB,1cC。若a,b,c(G)由定义可知a,b,cG\\Z(G)。假设ap,bq,cr，由条件(G)是一个连通图，根据文献[12]可知元素非互素图G是连通的，再由定理2.8可知2G也是连通的。若否，可能存在

a,b,c(G)或a,b(G),c(G)或a(G),b,c(G)。详细证明第一种可能情况，其他分析也是类似的。当a,b,c(G)时，即abba,bccb,acca，如果(a,b)1，可知(A,B)1，则在图2G中A,B是相连的。如

mn

果(a,b)1且abba和(A,B)1。可知存在m,n使得ap,bq，而m,n是满足(m,p)1,(n,q)1的正整数，取xambn，则1xG。在图2G中A与x是相连的；同时可用x代替B。如果(b,c)1，在图2G中nl

有x与B是相连的；否则取ybc其中n,l是满足(n,q)1,(l,r)1的正整数，在图2G中x与y是相连的并且y与C也是相连的，因此AxyC是一条从A到C的路径。再由A,B,CV(2G)选择的任意性，可知2G也是连通的。由文献[12]和定理2.8，可得diam(2G)diam((G))1。

3 总结

本文主要研究子群非互素图，给出了子群非互素图连通时对直径的范围约束，得到子群非互素图连通时直径与素因子集合的关系，我们进一步还可继续探究关于子群非互素图的亏格问题。

参 考 文 献

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〔责任编校：范延琛〕

（下转第21页）

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〔责任编校：吴侃民〕

Minimum Potential Energy Method for Analyzing Sub-grade Slope Stability

under Rainfall Infiltration

WEN Yun-xiang, LIU Chan

(Architectural Engineering Institute, Zhejiang Guangsha College of Applied Construction Technology, Dongyang Zhejiang

322100, China)

Abstract: In order to study the stability of sub-grade slope under rainfall infiltration condition, the influence of

seepage force, matric suction and suction friction angle on slope stability was analyzed by using unsaturated soil strength theory and improved minimum potential energy method. The results show that under the action of rainfall seepage force, the safety factor and stability of the slope are reduced, the error between the improved minimum potential energy method and the Bishop, Jabu method is less than 10%, and the change trend of the safety factor of the sub-grade slope with the matrix suction and suction friction angle is in good agreement with the engineering practice. The method does not need to be divided into blocks and iterations, and is convenient for engineering application.

Key words: sub-grade engineering; seepage force; minimum potential energy method; stability

（上接第15页）

Connectivity of the Subgroup Non-coprime Graph

ZHANG Hua-lian, CAI Jiang-hua, LIU Tai-de

（School of Primary Education, Pingxiang University, Pingxiang Jiangxi 337000, China）

Abstract: A class of connectivity of the subgroup non-coprime graph is studied in the paper and the definition

of subgroups of finite group G is given. Gis a finite group, whose subgroup non-coprime graph 2G is the graph with vertices of the non-identity proper subgroup and two distinct verticesAand Badjacent when

A,B1. Thus the conditions for the connectivity of the subgroups of finite groups are obtained.

Key words: finite group; the subgroup non-coprime graph; connectivity