您好,欢迎来到抵帆知识网。
搜索
您的当前位置:首页函数的定义域教学设计

函数的定义域教学设计

来源:抵帆知识网
函数的定义域教学设计

一. 教学内容: 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性

二 . 教学目标: 理解函数的性质,能够运用函数的性质解决问题。 三. 教学重点:函数性质的运用. 四. 教学难点:函数性质的理解。 [学习过程] 一、知识归纳: 1.

求函数的解析式

(1)求函数解析式的常用方法: ① 换元法(注意新元的取值范围)

② 待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函 数等)

③ 整体代换(配凑法)

④ 构造方程组(如自变量互为倒数、已知 f (x)为奇函数且g (X)为偶函数等)

(2)求函数的解析式应指明函数的定义域, 函数的定义域是使

式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义。

( 3)理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2.

求函数的定义域

求用解析式y = f (x)表示的函数的定义域时,常有以下几种 情况: ① 若f (x)是整式,则函数的定义域是实数集 R;

② 若f (x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于 0的实数 集;

③ 若f (x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大 于或等于 0 的实数集合;

④ 若f (x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域 是使各部分式子都有意义的实数集合;

⑤ 若f (x)是由实际问题抽象出来的函数,贝間数的定义域应 符合实际问题 . 3.

求函数值域(最值)的一般方法:

( 1)利用基本初等函数的值域; (2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数);

( 3)不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如型的函数) (4)函数的单调性:特别关注的图象及性质 ( 5)部分分式法、判别式法(分式函数) ( 6)换元法(无理函数) ( 7)导数法(高次函数) ( 8)反函数法 ( 9)数形结合法 4.

求函数的单调性 (1)定义法: (2)导数法:

(3) 利用复合函数的单调性:

(4) 关于函数单调性还有以下一些常见结论:

① 两个增(减)函数的和为 ________ ;一个增(减)函数与一个减

(增)函数的差是 ______ ;

② 奇函数在对称的两个区间上有 ____ 的单调性;偶函数在对称 的两个区间上有 ____ 的单调性;

③ 互为反函数的两个函数在各自定义域上有 ______ 的单调性; (5) 求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法、复合函数

法、导数法等

( 6)应用:比较大小,证明不等式,解不等式。 5.

函数的奇偶性

奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较 f ( x )与 f (-X)的关系。f (x)— f (- x)= Of (x) = f (- x) f (x)为偶 函数; f

(x) +f (-x) = Of (x)=- f (-x) f (x)为奇函数。

判别方法:定义法,图象法,复合函数法 应用:把函数值进行转化求解。 6.

周期性:定义:若函数 f ( x )对定义域内的任意 x 满足: f

(x+T)= f (x),则T为函数f (x)的周期。

其他:若函数f (x)对定义域内的任意x满足:f (x+a)= f (x-a),则2a为函数f (x)的周期.

应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。 二、典型例题分析

例1.若集合A= {a1 , a2, a3} , B= {b1 , b2}求从集合A到集合 B 的映射的个数。

分析:解决这类问题,关键是要掌握映射的概念:设 A、B是两 个

集合,对于集合A中的任何一个元素,按照某种对应法则 f,若集 合B中都有唯一确定的元素和它对应,这时对应法则

f叫做从集合A

到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对 于本例,集合A= {a1 , a2, a3}中的每一个元素的象都有bl或b2这 两种情形,由乘法原理可知,A到B的映射的个数共有N= 222= 8个。

例2.线段|BC| = 4, BC的中点为M点A与B、C两点的距离之 和为6,设|AM| = y, |AB| = x,求y = f (x)的函数表达式及这函数 的定义域。

解:1若A、B C三点不共线,如图所示,由余弦定理可知, x2 = 22+y2 — 4ycosAM①

(6— x) 2 = 22+y2— 4ycos (180—AMB ② ① + ②x2+ (6 — x) 2 = 2y2+8y2= x2 — 6x+14 又 x2— 6x+14=( x— 3)2+5 恒正, 又三点A、B、C能构成三角形 1 v xv 5

2 若三点A、B C共线,由题意可知, x+4

= 6 — x, x= 1 或 4+6— x= xx = 5

综上所述:

说明:第一,首先要分析三点 A、B、C是否在同一条直线上, 因为由题意,A、B、C不一定能构成三角形,它们也可在同一条直线 上,所以要分两种情形来讨论。第二,实际问题在求解析式时要特别 注意函数的定义域。

例3.设f (x)为定义在R上的偶函数,当x — 1时,y= f (x) 的图象是经过点(一2, 0),斜率为1的射线,又在y = f (x)的图 象中有一部分是顶点在( 0, 2),且过点(— 1, 1)的一段抛物线, 试写出函数f (x)的表达式,并在图中作出其图象。

解:(1)当 x— 1 时,设 f (x)= x+b

T射线过点(—2, 0) 0= — 2+b 即 b= 2, f (x)= x+2

(2) 当—11 时,设 f (x)= ax2+2

T抛物线过点(一1, 1), 1 = a (— 1) 2+2,即卩 a=— 1

f

(x)=— x2+2

(3) 当 x1 时, f(x)=— x+2 综上可知:f (x)=作图由读者来完成。 例 4. 求下列函数的定义域 ( 1 )( 2) 解:( 1 )

x4 或x— 1且x — 3,即函数的定义域为(―,—3) ( — 3, — 1) [4, +]

( 2),则 0x2

— 3x— 108,即

—3xv — 2 或 5vx6 即定义域为[—3,— 2] (5, 6)

说明:求函数的定义域, 我们常常可以从以下三个方面来考虑: 若有分母则分母不为零、 若有偶次根式则被开方数大于或等于零、 若 有对数式,则真数大于零、底数大于零且不等于 1。求函数的定义域, 实质

上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。

变、已知函数f (x)的定义域为[—1, 4],求的定义域。 解:,则 又,或

则或即为所求函数的定义域。

说明:此题实质上是求复合函数的定义域,我们把看成是由 y =f (u)、两个函数复合而成的,因为一1uv4,贝y,从而求出x的 范围,另外,对不等式进行倒数运算时, 应注意不等式两边必须同号, 取倒数后不等号的方向改变, 这里也是学习时常常容易发生错误的地 方,应加以重视。

例5.若对于任何实数x,不等式:恒成立,求实数a的取值范 围。 解:令f (x)= |x — 1|+2|x — 2|,去绝对值把f (x)表示成分 段函数后为 5 f

— 3xx v 1

(x)= 3 — xx2

3x — 5x > 2

作出y=f (x)的图象如图,由此可知f (x)的最小值为1, f ( x)> a 对一切实数 x 恒成立,则 av 1 。

说明:该题看上去是一个不等式的问题,若用去绝对值分类讨 论的方法来求解则比较繁锁,而如果注意到不等式左边是一个关于 x 的函数,只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了 问题,这种解题思想应引起我们的注意。另外,对于函数

f (x)=

|x—1|+2|x — 2|只要把它写成分段函数的形式, 作出函数的图象, 则

该函数的所有性质, 包括函数的单调区间, 值域等一切问题都可以迎 刃而解了。

例 6. 求函数的值域。 解:令,则 13 — 4x = t2

该二次函数的对称轴为t = 1,又tO由二次函数的性质可知y4, 当且仅当t = 1即x = 3时等式成立,原函数的值域为(一,4)。

说明:对于所有形如的函数,求值域时我们可以用换元法令 转化为关于 t 的二次函数在区间 [O, +)上的最值来处理。这里 要注意tO的范围不能少。如:已知f (x)的值域为,试求函数的值 域。该题我们只需要把f (x)看成是一个变量,则求值域时仍可用 上述换元法,但是如果被开方数不是关于x的一次式,而含x的平方 项,则就不能用上述换元法了。如求函数的值域,若令,则

x无法用 t

来表示。这里我们如果注意到 x 的取值范围:- 22,则- 11 的话, 我们就可以用三角换元:令 [0 , ] ,问题也就转化为三角函数求最值 了。同样我们作三角换元时,要注意的条件,因为当取遍 0 到之 间的每一个值时,恰好可以取遍- 1 到 1 之间的每一个值,若不 的范围,则根号无法直接去掉,就会给我们解题增添麻烦。

例 7. 求下列函数的最值。 (1) ( 2)

解:( 1)先求出函数的定义域:

-27,又在区间 [ -2,7] 上函数单调递增,单调递增,所以在 定义域内也单调递增。

当x = — 2时,;当x= 7时,

(2) v 0y2 = x2 (1— x2)由基本不等式可知: y2 = x2 (1 — x2),又 y,。

说明:对于一些比较复杂的函数,求值域或最值时,如果我们 能利用函数的单调性、 奇偶性或运用基本不等式, 问题往往会很快得 到解决。在运用基本不等式求最值时,要注意“一正二定三相等”的 条件,特别是要注意等号能否成立。

例8.设a>0, x[ — 1, 1]时函数y= — x2 — ax+b有最小值—1, 最大值 1,求使函数取得最小值和最大值时相应的 x 的值。

解:

v a>0,v 0,又定义域为[—1, 1]

x = 1 时,即—1 — a+b= — 1a — b= 0 下面分 a 的情形来讨论: 1

当 0>— 1 即 Ova2 时, 当时,即,则 a2+4a — 4= 0, 又 a(O, 2),则 2

当v— 1,即卩a>2时,当x =— 1时

— 1+a+b= 1 , a+b= 2 又 a= ba= 1 与 a> 2 矛盾,舍去 综上所述: x= 1 时,,时。

例9.已知函数y = f (x) = ( a, b, cR, aO, bO)是奇函数, 当xO时,f (x)有最小值2,其中bN且f (1)

(1) 试求函数f (x)的解析式;

(2) 问函数f (x)的图象上是否存在关于点(1, 0)对称的

两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由

解:(1)V f ( x )是奇函数, f

( — x)= — f ( X),即卩

c =0,v aO, bO, xO, f (x)= 2,

当且仅当 x =时等号成立,于是 2= 2,a= b2, 由 f (1)v得v即v, 2b2— 5b+2vO,解得v bv2,又 bN, b = 1 ,a= 1 , f ( x)= x+

(2)设存在一点(xO, yO)在y = f (x)的图象上,并且关于 (1, O)的对称点(2 — xO, — yO)也在y = f (x)的图象上,贝S 消去

yO 得 xO2 — 2xO — 1 = O, xO= 1

y = f (x)的图象上存在两点(1+, 2) , (1-, — 2)关于(1, 0)对称 例10.已知奇函数f (x)的定义域为R,且f (x)在]0, +) 上是增函数,是否存在实数 m 使f (cos2 — 3) +f (4m— 2mcoS f

(0)对所有[0,]都成立?若存在,求出符合条件的所有实数 m的 范围,若不存在,说明理由

解:T f (x)是R上的奇函数,且在[0, +)上是增函数,f (x)是R上的增函数于是不等式可等价地转化为 f (cos2 — 3)f (2mcos — 4m),

即 cos2 — 32mcos- 4m 即 cos2 — mcos+2n— 2 设t = cos,贝y问题等价地转化为函数

g (t) ? = t2 — mt+2r— 2=( t —) 2 — +2m-2 在]0, 1]上的 值恒为正,又转化为函数g (t )在[0, 1]上的最小值为正

当 0, 即卩 m0时,g (0)= 2m-21 与 m0不符; 当 01 时,即 02 时, g( m)=— +2m— 20 4

— 24+2, ?4— 22

当 1, 即卩 m2时,g (1)= m— 11m2

综上,符合题目要求的 m的值存在,其取值范围是 m4—2 另法(仅限当m能够解出的情况)cos2 — mcos+2n- 20对于]恒成立,

等价于m(2— cos2) / (2— cos)对于]0,]恒成立 •••当[0,]时,(2 — cos2) / (2— cos) 4— 2, m4 -2

例11.设a为实数,记函数f (x)= a的最大值为g (a)。 (1) 设t =,求t的取值范围并把f (x)表示为t的函数(t); (2) 求 g(a);

(3) 求满足g (a)= g ()的所有实数a. 解:(1)v t =

要使t有意义,必须有1+xO且1 — x0,即—11.

v t2 = 2+2[2 , 4] , t ……①

t 的取值范围是[,2]由①得=x2 — 1 m (t) = a (t2 — 1)+ t = at2+t — a, t[ , 2]

0,] (2)由题意知g (a)即为函数m(t) = at2+t — a, t[ , 2]的 最大

值 .

注意到直线t =—是抛物线m( t) = at2+t — a的对称轴,分下 列情况讨论 .

当a0时,函数y = m(t) , t[ , 2]的图像是开口向上的抛物线 的一段,由t = — 0知m( t )在[,2]上单调递增, g

(a)= m (2)= a+2.

当 a = 0 时,m( t) = t, t[ , 2] , g (a)= 2.

当a0时,函数y = m(t) , t[ , 2]的图像是开口向下的抛物线 的一段,

若有 t = — [0 ,],即 a—,则 g (a)= m()=.

若有 t =—(, 2), 即卩 a,则 g (a)= m ( — )=— a —. 若有 t =- [0 ,],即 a,则 g (a)= m (2)= a+2. 综上有g (a)= (3) 当 a-时,g (a)= a+2, 当时,- a ,,所以, g (a)= 2=.因此当 a-时,g (a).

当 a0 时,0,由 g (a)= g ()知 a+2= +2 解得 a= 1.

当a0时,=1,因此a- 1或一1,从而g (a)=或g ()=. 要使g (a)= g (),必须有a-或—,即—— 此时 g( a)== g() . 综上知,满足g (a)= g ()的所有实数a为:——或a= 1.

因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容

Copyright © 2019- dfix.cn 版权所有 湘ICP备2024080961号-1

违法及侵权请联系:TEL:199 1889 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com

本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务