函数的定义域教学设计

一. 教学内容： 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性

二 . 教学目标： 理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。 三. 教学重点：函数性质的运用． 四. 教学难点：函数性质的理解。 ［学习过程］ 一、知识归纳： 1.

求函数的解析式

（1）求函数解析式的常用方法： ① 换元法（注意新元的取值范围）

② 待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函 数等）

③ 整体代换（配凑法）

④ 构造方程组（如自变量互为倒数、已知 f （x）为奇函数且g （X）为偶函数等）

（2）求函数的解析式应指明函数的定义域， 函数的定义域是使

式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。

（ 3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2.

求函数的定义域

求用解析式y = f (x)表示的函数的定义域时，常有以下几种 情况： ① 若f (x)是整式，则函数的定义域是实数集 R；

② 若f (x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于 0的实数 集；

③ 若f (x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大 于或等于 0 的实数集合；

④ 若f (x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域 是使各部分式子都有意义的实数集合；

⑤ 若f (x)是由实际问题抽象出来的函数，贝間数的定义域应 符合实际问题 . 3.

求函数值域(最值)的一般方法：

( 1)利用基本初等函数的值域； (2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数)；

( 3)不等式法(利用基本不等式，尤其注意形如型的函数) (4)函数的单调性：特别关注的图象及性质 ( 5)部分分式法、判别式法(分式函数) ( 6)换元法(无理函数) ( 7)导数法(高次函数) ( 8)反函数法 ( 9)数形结合法 4.

求函数的单调性 (1)定义法： (2)导数法：

(3) 利用复合函数的单调性：

(4) 关于函数单调性还有以下一些常见结论：

① 两个增(减)函数的和为 ________ ;一个增(减)函数与一个减

(增)函数的差是 ______ ；

② 奇函数在对称的两个区间上有 ____ 的单调性;偶函数在对称 的两个区间上有 ____ 的单调性;

③ 互为反函数的两个函数在各自定义域上有 ______ 的单调性; (5) 求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数

法、导数法等

( 6)应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5.

函数的奇偶性

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较 f ( x )与 f (-X)的关系。f (x)— f (- x)= Of (x) = f (- x) f (x)为偶 函数; f

(x) +f (-x) = Of (x)=- f (-x) f (x)为奇函数。

判别方法：定义法，图象法，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。 6.

周期性：定义：若函数 f ( x )对定义域内的任意 x 满足： f

(x+T)= f (x),则T为函数f (x)的周期。

其他：若函数f (x)对定义域内的任意x满足：f (x+a)= f (x-a),则2a为函数f (x)的周期.

应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。 二、典型例题分析

例1.若集合A= {a1 , a2, a3} , B= {b1 , b2}求从集合A到集合 B 的映射的个数。

分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设 A、B是两 个

集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则 f,若集 合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则

f叫做从集合A

到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对 于本例，集合A= {a1 , a2, a3}中的每一个元素的象都有bl或b2这 两种情形，由乘法原理可知，A到B的映射的个数共有N= 222= 8个。

例2.线段|BC| = 4, BC的中点为M点A与B、C两点的距离之 和为6,设|AM| = y, |AB| = x，求y = f (x)的函数表达式及这函数 的定义域。

解：1若A、B C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知， x2 = 22+y2 — 4ycosAM①

(6— x) 2 = 22+y2— 4ycos (180—AMB ② ① + ②x2+ (6 — x) 2 = 2y2+8y2= x2 — 6x+14 又 x2— 6x+14=( x— 3)2+5 恒正， 又三点A、B、C能构成三角形 1 v xv 5

2 若三点A、B C共线，由题意可知， x+4

= 6 — x, x= 1 或 4+6— x= xx = 5

综上所述：

说明：第一，首先要分析三点 A、B、C是否在同一条直线上， 因为由题意，A、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线 上，所以要分两种情形来讨论。第二，实际问题在求解析式时要特别 注意函数的定义域。

例3.设f (x)为定义在R上的偶函数，当x — 1时，y= f (x) 的图象是经过点(一2, 0),斜率为1的射线，又在y = f (x)的图 象中有一部分是顶点在( 0， 2)，且过点(— 1， 1)的一段抛物线， 试写出函数f (x)的表达式，并在图中作出其图象。

解：(1)当 x— 1 时，设 f (x)= x+b

T射线过点(—2, 0) 0= — 2+b 即 b= 2, f (x)= x+2

(2) 当—11 时，设 f (x)= ax2+2

T抛物线过点(一1, 1), 1 = a (— 1) 2+2,即卩 a=— 1

f

(x)=— x2+2

(3) 当 x1 时, f(x)=— x+2 综上可知：f (x)=作图由读者来完成。 例 4. 求下列函数的定义域 ( 1 )( 2) 解：( 1 )

x4 或x— 1且x — 3,即函数的定义域为(―，—3) ( — 3, — 1) [4， +]

( 2),则 0x2

— 3x— 108,即

—3xv — 2 或 5vx6 即定义域为[—3,— 2] (5, 6)

说明：求函数的定义域, 我们常常可以从以下三个方面来考虑： 若有分母则分母不为零、 若有偶次根式则被开方数大于或等于零、 若 有对数式,则真数大于零、底数大于零且不等于 1。求函数的定义域, 实质

上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。

变、已知函数f (x)的定义域为[—1, 4]，求的定义域。 解：,则 又,或

则或即为所求函数的定义域。

说明：此题实质上是求复合函数的定义域,我们把看成是由 y =f (u)、两个函数复合而成的，因为一1uv4,贝y,从而求出x的 范围,另外,对不等式进行倒数运算时, 应注意不等式两边必须同号, 取倒数后不等号的方向改变, 这里也是学习时常常容易发生错误的地 方,应加以重视。

例5.若对于任何实数x,不等式：恒成立，求实数a的取值范 围。 解：令f (x)= |x — 1|+2|x — 2|，去绝对值把f (x)表示成分 段函数后为 5 f

— 3xx v 1

(x)= 3 — xx2

3x — 5x > 2

作出y=f (x)的图象如图，由此可知f (x)的最小值为1, f ( x)> a 对一切实数 x 恒成立，则 av 1 。

说明：该题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨 论的方法来求解则比较繁锁，而如果注意到不等式左边是一个关于 x 的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了 问题，这种解题思想应引起我们的注意。另外，对于函数

f (x)=

|x—1|+2|x — 2|只要把它写成分段函数的形式， 作出函数的图象， 则

该函数的所有性质， 包括函数的单调区间， 值域等一切问题都可以迎 刃而解了。

例 6. 求函数的值域。 解：令，则 13 — 4x = t2

该二次函数的对称轴为t = 1,又tO由二次函数的性质可知y4, 当且仅当t = 1即x = 3时等式成立，原函数的值域为(一，4)。

说明：对于所有形如的函数，求值域时我们可以用换元法令 转化为关于 t 的二次函数在区间 [O， +)上的最值来处理。这里 要注意tO的范围不能少。如：已知f (x)的值域为，试求函数的值 域。该题我们只需要把f (x)看成是一个变量，则求值域时仍可用 上述换元法，但是如果被开方数不是关于x的一次式，而含x的平方 项，则就不能用上述换元法了。如求函数的值域，若令，则

x无法用 t

来表示。这里我们如果注意到 x 的取值范围：－ 22，则－ 11 的话， 我们就可以用三角换元：令 [0 ， ] ，问题也就转化为三角函数求最值 了。同样我们作三角换元时，要注意的条件，因为当取遍 0 到之 间的每一个值时，恰好可以取遍－ 1 到 1 之间的每一个值，若不 的范围，则根号无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦。

例 7. 求下列函数的最值。 (1) ( 2)

解：( 1)先求出函数的定义域：

－27，又在区间 [ －2，7] 上函数单调递增，单调递增，所以在 定义域内也单调递增。

当x = — 2时，；当x= 7时，

(2) v 0y2 = x2 (1— x2)由基本不等式可知： y2 = x2 (1 — x2)，又 y,。

说明：对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们 能利用函数的单调性、 奇偶性或运用基本不等式， 问题往往会很快得 到解决。在运用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的 条件，特别是要注意等号能否成立。

例8.设a>0, x[ — 1, 1]时函数y= — x2 — ax+b有最小值—1, 最大值 1，求使函数取得最小值和最大值时相应的 x 的值。

解：

v a>0,v 0,又定义域为[—1, 1]

x = 1 时，即—1 — a+b= — 1a — b= 0 下面分 a 的情形来讨论： 1

当 0>— 1 即 Ova2 时， 当时，即，则 a2+4a — 4= 0, 又 a(O， 2)，则 2

当v— 1,即卩a>2时，当x =— 1时

— 1+a+b= 1 ， a+b= 2 又 a= ba= 1 与 a> 2 矛盾，舍去 综上所述： x= 1 时,,时。

例9.已知函数y = f (x) = ( a, b, cR, aO, bO)是奇函数， 当xO时，f (x)有最小值2,其中bN且f (1)

(1) 试求函数f (x)的解析式；

(2) 问函数f (x)的图象上是否存在关于点(1, 0)对称的

两点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由

解：(1)V f ( x )是奇函数， f

( — x)= — f ( X),即卩

c =0,v aO, bO, xO, f (x)= 2,

当且仅当 x =时等号成立，于是 2= 2，a= b2， 由 f (1)v得v即v, 2b2— 5b+2vO,解得v bv2,又 bN, b = 1 ，a= 1 ， f ( x)= x+

(2)设存在一点(xO, yO)在y = f (x)的图象上，并且关于 (1, O)的对称点(2 — xO, — yO)也在y = f (x)的图象上，贝S 消去

yO 得 xO2 — 2xO — 1 = O, xO= 1

y = f (x)的图象上存在两点(1+, 2) , (1-, — 2)关于(1, 0)对称 例10.已知奇函数f (x)的定义域为R,且f (x)在］0, +) 上是增函数，是否存在实数 m 使f (cos2 — 3) +f (4m— 2mcoS f

(0)对所有［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数 m的 范围,若不存在,说明理由

解：T f (x)是R上的奇函数，且在［0, +)上是增函数，f (x)是R上的增函数于是不等式可等价地转化为 f (cos2 — 3)f (2mcos — 4m),

即 cos2 — 32mcos- 4m 即 cos2 — mcos+2n— 2 设t = cos，贝y问题等价地转化为函数

g (t) ? = t2 — mt+2r— 2=( t —) 2 — +2m-2 在］0, 1］上的 值恒为正，又转化为函数g (t )在［0, 1］上的最小值为正

当 0, 即卩 m0时，g (0)= 2m-21 与 m0不符； 当 01 时,即 02 时, g( m)=— +2m— 20 4

— 24+2, ?4— 22

当 1, 即卩 m2时，g (1)= m— 11m2

综上，符合题目要求的 m的值存在，其取值范围是 m4—2 另法(仅限当m能够解出的情况)cos2 — mcos+2n- 20对于］恒成立,

等价于m(2— cos2) / (2— cos)对于］0,］恒成立 •••当［0,］时，(2 — cos2) / (2— cos) 4— 2, m4 －2

例11.设a为实数，记函数f (x)= a的最大值为g (a)。 (1) 设t =，求t的取值范围并把f (x)表示为t的函数(t)； (2) 求 g(a)；

(3) 求满足g (a)= g ()的所有实数a. 解：(1)v t =

要使t有意义，必须有1+xO且1 — x0，即—11.

v t2 = 2+2[2 , 4] , t ……①

t 的取值范围是[,2]由①得=x2 — 1 m (t) = a (t2 — 1)+ t = at2+t — a, t[ , 2]

0,］ (2)由题意知g (a)即为函数m(t) = at2+t — a, t[ , 2]的 最大

值 .

注意到直线t =—是抛物线m( t) = at2+t — a的对称轴，分下 列情况讨论 .

当a0时，函数y = m(t) , t[ , 2]的图像是开口向上的抛物线 的一段，由t = — 0知m( t )在[,2]上单调递增， g

(a)= m (2)= a+2.

当 a = 0 时，m( t) = t, t[ , 2] , g (a)= 2.

当a0时，函数y = m(t) , t[ , 2]的图像是开口向下的抛物线 的一段,

若有 t = — [0 ,]，即 a—,则 g (a)= m()=.

若有 t =—(, 2), 即卩 a,则 g (a)= m ( — )=— a —. 若有 t =- [0 ,]，即 a,则 g (a)= m (2)= a+2. 综上有g (a)= (3) 当 a-时，g (a)= a+2, 当时,- a ,,所以, g (a)= 2=.因此当 a-时，g (a).

当 a0 时，0,由 g (a)= g ()知 a+2= +2 解得 a= 1.

当a0时，=1,因此a- 1或一1，从而g (a)=或g ()=. 要使g (a)= g ()，必须有a-或—，即—— 此时 g( a)== g() . 综上知，满足g (a)= g ()的所有实数a为：——或a= 1.