《 三角恒等变换(一)》示范课教学设计【高中数学人教】

【复习引入】

问题1 前面学习了哪些三角函数公式，你能默写出来吗？你能用结构图表示它们的关系吗？

答案：同角三角函数关系式（2个）；诱导公式（6组16个）；和（差）角公式（6个）；倍角公式（5个）．

默写（略）．

问题2 在解决具体问题中，根据以前的经验，我们选择公式的依据有哪些？ 答案：（1）依据角的关系；（2）依据式子结构． 【技能初建】 1．典例精析 例1 求证： 同角三角函数关系 和（差）角公式 特殊化 诱导公式 倍角公式 1［sin(α＋β)＋sin(α－β)］； 2（2）sin θ＋sin φ＝2sincos．

22（1）sin α cos β＝

追问1 （1）中式子的左右两边的角有什么关系？在结构形式上有什么不同？你能根据发现的角的关系和结构上的差异选择适当的公式设计变换过程吗？

答案：第一，角的关系：等式左侧包含角α及β，而等式右侧包含了α与β的和角以及差角，因此如果从等式右边出发，借助和角公式与差角公式化简，最后可以化成等号左边的形式；第二，结构形式上的差异：等号左侧是sinα与cosβ的乘积，而右侧是加的形式．如果设计从左向右的变换过程，需要将积转化为和的形式，回顾所学公式，在公式S(α+β)，S(α

－β)

中遇到过sinαcosβ这一结构，但上述两个公式中同时都包含了cosαsinβ这个结构，因此

需要两个式子用加减消元法消去cosαsinβ即可证明待证结论．这两种思考方法是本质上是一致的．

证明：（1）因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，

将以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，

即sin αcos β＝

1［sin(α＋β)＋sin(α－β)］． 2追问2 注意观察（2）式的左右两侧，它与（1）的结构特征有什么区别？又有什么联系？

答案：从等式中角的关系考虑：等式（1）右侧的角是左侧角的和角与差角，而（2）左侧的角也是右侧角的和角与差角；从等式的结构考虑：（1）左侧是乘积的形式，右侧是和的形式，（2）左侧是和的形式，右侧是乘积的形式．可见，（2）是（1）在式子结构上和角的关系上都是一致的，区别只是两个式子中的角不一样，（1）中的两个角是α，β，（2）中的两个角是,．综合以上分析，只需将（1）式等号两侧交换，再将α，β分别替

22换成,即可得到（2）．

22（2）证明：由（1）可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β． 设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝，β＝－．

22

③

把α，β的值代入③，即得sin θ＋sin φ＝2sincos－．

22追问3 如果不用（1）的结论，（2）如何证明？你能先说说你的证明思路吗？ 答案：根据（2）式中角的关系，思路1：θ=+－，φ=－－，用正弦的

22

22

和差角公式即可证明．思路2：=+，－=－，θ、φ分别是、的2倍，

2222

2222所以从等式右边先用和差角公式，再用二倍角公式，即可证明．

证明1：sin θ＋sin φ＝sin(+－)+sin(－－)

22

22

=sincos－+cossin－+sincos－－cossin－

22

22

22

22=2sin

2cos

22．

证明2：2sincos－

2=2(sincos+cossin)(coscos+sinsin)

2222222222=2(sincoscos2+sin2sincos+cos2sincos+sincossin2)

222222222222=2[sincos(cos2+sin2)+sincos(sin2+cos2)]

222222

=2sincos+2sincos

2222=sin θ＋sin φ． 2．方法提炼

问题3 结合例1的解答过程，你能谈一谈三角恒等变换与代数恒等变换二者之间有何区别吗？

答案：与代数恒等变换相比，进行三角恒等变换时，三角函数式不仅有结构形式的差异，而且存在角的差异，以及三角函数名的差异．进行三角恒等变换时，常常先依据角之间的关系选择适当的公式，消除式子中角的差异，然后消除函数名的差异，最后消除结构形式的差异．

3.典例精析 例2 证明：（1）

1＋sin 2𝜃−cos 2𝜃

1＋sin 2𝜃＋cos 2𝜃

＝tan θ；

（2）3＋cos 4α－4cos 2α＝8sin4α； （3）

tantan2π+3(sin2α－cos2α)＝2sin(2α－)．

tan2tan3追问 以上各个等式的左右两侧差异很明显，而且都是左侧相对复杂，右侧相对简单．因此我们需要借助三角恒等变换的公式对每个等式的左侧进行化简变形，最终变为等号右侧的形式．你能发现每个等式等号两侧最明显的差异是什么吗？你打算如何利用你发现的差异指导我们后续恒等变换？

答案：（1）的两侧有以下差异：第一，角不同，左边是二倍角，右边是单倍角；第二，结构不同，左边是比的形式，右侧不是，因此打算借助二倍角公式把左边的2α化为α，由于右侧的比值只有一项，因此需要想办法把左边的分子与分母的项数尽可能变少；（2）的两侧最明显的差异是，角不同，左侧包括4α，2α，而右侧仅含有α，因此打算利用二倍角公式将左侧的4α变为2α，再将2α变为α；（3）两侧差异有三处：第一，角不同，左侧第二项所含角为α，其它项包括等号右侧均为2α；第二，函数名称不同，左侧第一项为正切，其它各项均为正弦、余弦；第三，结构不同，左侧为两项之和，右侧仅有一项，因此打算逆用二倍角公式将第二项变为含有2α的形式，将第一项的正切利用同角三角关系转化为正弦、余弦，最后逆用和角公式或差角公式将两项合并成一项，从等号右侧形式推断，最可能的情形就是提取2之后，剩下的部分组成2α与

π两角差的正弦形式． 3

21+2sincos(12sin)2sin(sincos)证明：（1） 左侧=tan右侧； 212sincos2cos12cos(sincos)（2）左侧=32cos2214cos22(cos22a2cos21)2(cos21)2

2(2sin2)28sin4=右侧；

sinsin2.sinsin2coscos23cos2（3）左侧=3cos2

sin2sinsin2coscos2sincos2cossinsin213 3cos2sin23cos22sin2cos2sin(2)22πππ=2sin2coscos2sin2sin2右侧．

3334．方法提炼

问题4 在例2（1）中，我们对等号左侧化简变形时，分子和分母中均含有cos2θ，但是却采用了不同的形式进行了变形，分子中利用了公式cos2θ=1－2sin2θ，而分母中则利用了cos2θ=2cos2θ－1，你能结合这个题目谈一谈二倍角的余弦公式的三种不同形式的特点与适用场合吗？

答案：cos2θ=cos2θ－sin2θ特征是齐次，在需要分解因式的场合有可能采用此形式；cos2θ=2cos2θ－1的特征是含有cosθ不含sinθ，还包括－1，在我们需要仅含cosθ的场合或需要抵消1的时候可以采用此形式；类似地，cos2θ=1－2sin2θ的特征是含有sinθ但不包含cosθ，且含有1，在我们需要仅含sinθ的场合或需要抵消－1时，可采用此形式． 【归纳小结】

问题5 （1）在进行三角恒等变换时，应该怎样进行分析？在进行变换时，你还获得了哪些经验？经常会用到哪些数学思想或方法？

（2）你能在上一节的基础上进一步完善本单元的知识结构图吗？

答案：（1）在进行三角恒等变换时，应该分析已知条件与目标之间的差异，这些差异可能是所含角的差异，也可能是三角函数名的差异，或是结构差异等等．找到“差异”之后，再选择合适的公式，逐步消除这些“差异”，最终达到目标．

变换中，在消除角的差异时，最好逐步消除角的差异，比如例2（2），先把4α变为2α，将式子整理化简之后，再把2α变为α，而不是同时把4α变为α，2α变为α，前者经常可以减少运算量．在消除函数名差异的时候，一般先进行“切化弦”，比如例2（3）．还有在使用余弦的倍角公式时，要注意三种形式的灵活应用，根据不同的式子结构或者需求选择不

同的公式形式．

在三角恒等变换中，经常用到化归思想、转化思想、方程思想以及换元法．

圆的旋转对称性 C(α－β) C(α+β) C2α 证明 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式 三角恒等变换 S(α－β) T(α－β) S(α+β) T(α+β) S2α T2α 角的差异 函数名的差异 结构的差异