数学建模：人走路问题

问题：人在行走时，步长多大最省力。 一、问题分析：

1.所谓省力是指走步过程中做功最少；

2.走步时步子过长或过短都不省力，必有一个合适的步长，使得做功最少。做功大小是步长的函数。

3.提高人体重心所需的势能，以及人两腿前后运动所需的动能应为主要因素。

4.相关的因素：穿着的多少，是否负重，鞋子是否轻便，地面是否平坦、干燥。 二、模型假设：

1.人在行走时所做的功，由两部分组成，提高人体重心的势能，两条腿运动的动能。

2.人的行走可以视为腿绕腰的转动。

3.运动与所穿戴情况无关，地面相对平坦、干燥。 4.设定参量：

M------------人的体重； m------------人的腿重； l--------------人的腿长； v-------------行走速度； x-------------步长；

n-------------单位时间内行走的步数；

三、建立模型

1. 人体重心提高所需的势能，令人体重心提高的幅度为h 则有:

21xhllcosll(1sin2)ll(12)2 θ 4l12由动能与势能的关系可知，单位时间 腿长l l 内重心抬高h所需的势能为：

x212WMghMg[ll(1)] 24l此式子即为走一步所产生的是势能，则在单位时间内走了n步有：

x212WnMghnMg[ll(1)] 24l2.双腿运动所需要的动能：

v12由动能定理得：EIn（I表示转动惯量，为角速度，

l22lmml2I.rdrn是单位时间人走n步所消耗的动能）0l3

12nmv2vnx 则有EIn26,

3vMglx21mv2PWE[1(1)]则人在走路时所作的总功:2x4l6x

2l2xm(12Mglmv) 2计算结果： 6Mglmv

四、模型求解、分析、修改

dp、本题求的是P的最小值，即0或P0，可求出x的值。

dx

2lx26Mglmvm(12Mglmv)

2x212(1)因为参数较多，计算麻烦，最直接的“罪犯”是

4l2。

x231o(x)，如果我们把它用泰勒展开式展开就有只取前两28lx2Mgvx。 项12，就有W8l8l在求动能中如果腿的重量全部集中在脚上，则消耗的动能可

12Enmv近似为，vnx，Mm，从而

24lmv2Mgvmv3dp2Px0，有xvnx。所以，再令Mg，8l2xdxgn。定义的变量全部消掉，这是理想过程。只与人的腿

4l2长有关，人的腿长大约在85cm-----130cm之间，则n=1.4--1.7，即人在2秒内走走三步是最省力的。 结论是合乎常理的！！！！