6.4.余弦定理(学案)- 高中数学人教A版(2019)必修第二册

余弦定理

[目标] 1.了解向量法推导余弦定理的过程；2.能利用余弦定理求三角形中的边角问题；3.能利用正、余弦定理解决综合问题．

[重点] 能利用余弦定理求三角形中的边角问题．

[难点] 余弦定理的推导及能利用正、余弦定理解决综合问题． 知识点一 余弦定理

[填一填]

[答一答]

1．在△ABC中，若a2＝b2＋c2，a2>b2＋c2，a2提示：若a2＝b2＋c2，则△ABC是直角三角形； 若a2>b2＋c2，则△ABC是钝角三角形；

若a2提示：在已知三角形内角的余弦值求角时，由于函数y＝cosx在(0，π)上单调递减，所以角的余弦值与角一一对应，故不存在多解的情况．

知识点二 余弦定理及其推论的应用

[填一填]

余弦定理及其推论可解决两类基本的解三角形的问题：一类是已知两边及夹角解三角形；另一类是已知三边解三角形．

[答一答]

3．在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，能否用余弦定理解该三角形？

提示：能用余弦定理解．设另一边为x，由余弦定理列出方程求解． 4．余弦定理推论的作用有什么？

提示：余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．

类型一 已知三角形三边解三角形

[例1] 已知△ABC中，ab形内角和定理求出第三个内角．

[解] ∵abc＝2

6

(3＋1)，

c＝2

6

(3＋1)，求△ABC的各内角度数．

[分析] 根据三边比例关系设出三边，然后用余弦定理推论求出两个内角，再用三角

令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k>0)． b2＋c2－a2

由余弦定理的推论得：cosA＝ 2bc6＋3＋12－42＝＝，∴A＝45°， 2×6×3＋12a2＋c2－b24＋3＋12－61cosB＝＝＝，

2ac2×2×3＋12∴B＝60°.

∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.

已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角.,利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在0，π上是单调的.当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角.

[变式训练1] (1)在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A为( C ) π

A. 32πC. 3

解析：在△ABC中，由余弦定理，

πB. 6π2πD.或 33

b2＋c2－a2－bc1

得cosA＝＝＝－. 2bc2bc22π

∵A∈(0，π)，∴A＝. 3

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则此三角形的最大边长为14.

解析：已知a－b＝4，则a>b且a＝b＋4.又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而知a>b>c，所以a为最大边，故A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8.

由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2＋bc＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14，即此三角形的最大边长为14.

类型二 已知三角形两边及一角解三角形

[例2] (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝23，A＝30°，求a； (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A、角C和边a.

[分析] (1)已知两边及其夹角，可直接利用余弦定理求出第三条边；(2)已知两边及一边的对角，可利用余弦定理求解，也可利用正弦定理求解．

[解] (1)由余弦定理，

得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(23)2－2×3×23cos30°＝3，所以a＝3.

(2)解法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.当a＝3时，A＝30°，C＝120°；当a＝6时，由正弦1

6×2asinB

定理，得sinA＝＝＝1.

b3

∴A＝90°，∴C＝60°.

133

解法二：由bcsin30°＝33×＝，知本题有两解．由正弦定理，221

33×

2csinB3

得sinC＝＝＝，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a

b32＝b2＋c2＝32＋332＝6；当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.

已知三角形的两边及一角解三角形的方法：

已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)．

[变式训练2] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－1

，3sinA＝2sinB，则c＝4. 4

解析：由3sinA＝2sinB及正弦定理知：3a＝2b.又因为a＝2，所以b＝3.由余弦定理得：1

－＝16，所以c＝4. c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×4类型三 判断三角形的形状

[例3] 在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且sinC＝2cosAsinB，试判断△ABC的形状．

[分析] 判断三角形的形状时，一般有两种思路：一种是考虑三角形的三边关系；另一种是考虑三角形的内角关系．当然有时可将边和角巧妙结合，同时考虑．

[解] 方法一：利用边的关系来判断． sinCc

由正弦定理得＝，

sinBb

sinCc

由2cosAsinB＝sinC，得cosA＝＝.

2sinB2bb2＋c2－a2cb2＋c2－a2

又cosA＝，∴＝，

2bc2b2bc即c2＝b2＋c2－a2，∴a＝b. 又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， ∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴4b2－c2＝3b2，∴b＝c. 综上，a＝b＝c， ∴△ABC为等边三角形． 方法二：利用角的关系来判断． ∵△ABC中，sinC＝sin(A＋B)，

又2cosAsinB＝sinC＝sinAcosB＋cosAsinB， ∴sin(A－B)＝0， 又∵－180°又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， ∴(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab. ∴由余弦定理知2abcosC＝ab， 1

∴cosC＝.∴C＝60°，

2∴△ABC为等边三角形．

利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线：1先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.2先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.

1

[变式训练3] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，b＝3c，

3

试判断△ABC的形状．

解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA. 1

又因为cosA＝，b＝3c，

3

1

所以a2＝b2＋c2－2×3c×c×＝b2－c2.

3π

所以a2＋c2＝b2，所以B＝，

2所以△ABC是直角三角形．

1．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝3b＝12，则c的值为( C ) A．4 C．4或8

即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.

c2－a2－b22．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若>0，则△ABC( C )

2abA．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形

c2－a2－b2

解析：由>0得－cosC>0，所以cosC<0，从而C为钝角，因此△ABC一定

2ab是钝角三角形．

π

3．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝23，

6则b＝2.

解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×23×4．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，则最大的角是120°. 解析：∵a>c>b，∴A为最大角． b2＋c2－a232＋52－721cosA＝＝＝－，

2bc22×3×5又∵0°5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．

解：5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0. 3

∴x1＝，x2＝－2(舍去)．

53

∴cosC＝. 5根据余弦定理，

B．8 D．无解

解析：由3a＝3b＝12，得a＝4，b＝43，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，

3

＝4，所以b＝2. 2

c2＝a2＋b2－2abcosC 3

＝52＋32－2×5×3×＝16.

5∴c＝4，即第三边长为4.

1．适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． 2．结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．

3．揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．

4．主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．