人教新课标版数学高一-人教B版必修4作业设计 平面向量基本定理

§2．2 向量的分解与向量的坐标运算

2．2．1 平面向量基本定理

课时目标 1．理解并掌握平面向量基本定理．2．掌握向量之间的夹角与垂直．

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________的向量，那么对于这一平面内的________向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝________________．

(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．直线的向量参数方程

已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点，则对直线l上任一点P，存在实数t，→→→

使OP关于基底{OA，OB}的分解式为______________．上式叫做直线l的向量参数方程式，

1

其中实数t叫做参变数，简称参数．令t＝，点M是AB的中点，则OM＝__________．

2

一、选择题

1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )

1

A．e1－e2，e2－e1 B．2e1＋e2，e1＋e2

2

C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 2．下面三种说法中，正确的是( )

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

x

3．已知向量e1、e2不共线，且(3x－4y)e1＋3e2＝6e1＋(2x－3y)e2，则的值是( )

y

A．3 B．－3 C．0 D．2

→→→→→

4．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2(λ≠－1)，则OP等于( ) A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b

1λ

C．λa＋b D．a＋b

1＋λ1＋λ5．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( ) ①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ、μ有无数多对；

③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；

④若实数λ、μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0．

A．①② B．②③ C．③④ D．②

AF1

6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且＝，连结CF

FD5

AE

并延长交AB于E，则等于( )

EB

1111A． B． C． D．

123510

二、填空题

7．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用m，n表示p，则p＝________． 8．设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2

－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1．其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)

→→→→→

9．在△ABC中，AB＝c，AC＝b．若点D满足BD＝2DC，则AD＝____________．

→→→

10．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________．

三、解答题

→→

11．已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若AB＝a，AC＝b，用

→→→

a，b表示AD，AE，AF．

→→

12．如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，OD＝2DB，DC

→→

和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b．

→→

(1)用a和b表示向量OC、DC；

→→

(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．

能力提升

13．如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区

1→→→

域内(不含边界)运动，且OP＝xOA＋yOB，则x的取值范围是________；当x＝－时，y的

2

取值范围是____________．

14．如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1．

1．对基底的理解 (1)基底的特征

基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．

(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．

(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．

§2．2 向量的分解与向量的坐标运算

2．2．1 平面向量基本定理

答案

知识梳理

1．(1)不平行 任一 a1e1＋a2e2

→→→1→→2．OP＝(1－t)OA＋tOB (OA＋OB)

2

作业设计 1．D 2．B 3．D 4．D 5．B 6．D

7137．－m＋n

48

解析 设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b) ＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，

7

x＝－

4

2x＋4y＝3

得⇒13－3x－2y＝2y＝8

．

8．①②

解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)， ∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底．

219．b＋c 33

→→→→2→

解析 AD＝AB＋BD＝AB＋BC

3

→2→→＝AB＋(AC－AB)

3

1→2→21＝AB＋AC＝b＋c． 3333410．

3

→→

解析 设AB＝a，AD＝b，

1→1→

则AE＝a＋b，AF＝a＋b，

22→

又∵AC＝a＋b，

24→2→→

∴AC＝(AE＋AF)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝．

333→→→

11．解 AD＝AB＋BD →1→＝AB＋BC

2111＝a＋(b－a)＝a＋b；

222

1→→→→1→

AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝a＋(b－a)

33

21＝a＋b； 33

2→→→→2→

AF＝AB＋BF＝AB＋BC＝a＋(b－a)

33

12＝a＋b． 33

→2→

12．解 (1)由题意，A是BC的中点，且OD＝OB，

3

→→→

由平行四边形法则，OB＋OC＝2OA． →→→

∴OC＝2OA－OB＝2a－b，

25→→→

DC＝OC－OD＝(2a－b)－b＝2a－b．

33

→→→→→

(2)EC∥DC．又∵EC＝OC－OE＝(2a－b)－λa

5→

＝(2－λ)a－b，DC＝2a－b，

32－λ14∴＝，∴λ＝． 255

3

1313．(－∞，0) 2，2

解析 由题意得： →→→OP＝a·OM＋b·OB(a，b∈R＋，0→→＝a·λAB＋b·OB

→→→＝aλ(OB－OA)＋b·OB

→→

＝－aλ·OA＋(aλ＋b)·OB(λ>0)．

由－aλ<0，得x∈(－∞，0)．

→→→

又由OP＝xOA＋yOB，则有011

当x＝－时，有0<－＋y<1，

2213

解得y∈2，2．

→→

14．证明 设AB＝b，AC＝c， →11→2→2则AM＝b＋c，AN＝AC＝c，

2233

→→→2

BN＝BA＋AN＝c－b．

3

→→→→∵AP∥AM，BP∥BN，

→→→→

∴存在λ，μ∈R，使得AP＝λAM，BP＝μBN，

→→→又∵AP＋PB＝AB， →→→∴λAM－μBN＝AB，

112

b＋c－μc－b＝b得 由λ2231λ＋μb＋1λ－2μc＝b． 223又∵b与c不共线，

∴12

2λ－3μ＝0.

1

λ＋μ＝1，2

解得3

μ＝5.

4λ＝，5

→4→

故AP＝AM，即AP∶PM＝4∶1．

5