2020年甘肃省天水市中考数学试卷附详细答案解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）若x与3互为相反数，则|x+3|等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

2．（4分）如图所示的 几何体是由5个大小相同的 小立方块搭成，它的 俯视图是（ ）

A．

B．

C．

D．

3．（4分）下列运算正确的 是（ ）

A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2 C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣1 4．（4分）下列说法正确的 是（ ） A．不可能事件发生的 概率为0 B．随机事件发生的 概率为 C．概率很小的 事件不可能发生

D．投掷一枚质地均匀的 硬币1000次，正面朝上的 次数一定是500次

5．（4分）我国平均每平方千米的 土地一年从太阳得到的 能量，相当于燃烧130 000 000kg的 煤所产生的 能量．把130 000 000kg用

1

科学记数法可表示为（ ）

A．13×107kg B．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg 6．（4分）在正方形网格中，△ABC的 位置如图所示，则cosB的 值为（ ）

A． B．

C．

D．

7．（4分）关于A．

=2

的 叙述不正确的 是（ ）

B．面积是8的 正方形的 边长是C．

是有理数

D．在数轴上可以找到表示的 点

8．（4分）下列给出的 函数中，其图象是中心对称图形的 是（ ） ①函数y=x；②函数y=x2；③函数y=． A．①② B．②③ C．①③ D．都不是

9．（4分）如图，AB是圆O的 直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4则S阴影=（ ）

，

2

A．2π B．π C．π D．π

10．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以

cm/s的 速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q

从点B出发，以1cm/s的 速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的 面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的 图象是（ ）

A． B． C．

D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（4分）若式子

有意义，则x的 取值范围是 ．

12．（4分）分解因式：x3﹣x= ． 13．（4分）定义一种新的 运算：x*y=（2*3）*2= ．

14．（4分）如图所示，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的 点C′处，则∠AFC′= ．

3

，如：3*1==，则

15．（4分）观察下列的 “蜂窝图”

则第n个图案中的 “表示）

16．（4分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的 小明站在距离灯的 底部（点O）20米的 A处，则小明的 影子AM长为 米．

”的 个数是 ．（用含有n的 代数式

17．（4分）如图所示，正方形ABCD的 边长为4，E是边BC上的 一点，且BE=1，P是对角线AC上的 一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的 最小值是 ．

18．（4分）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的 图象的 一部分，抛物线的 顶点坐标是A（1，3），与x轴的 一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的 实数根；③抛物线与x

4

轴的 另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的 结论是 ．（只填写序号）

三、解答题（本大题共3小题，共28分） 19．（10分）（1）计算：﹣14+（2）先化简，再求值：（1﹣

sin60°+（）﹣2﹣（π﹣）÷

，其中x=

）0

﹣1．

20．（8分）一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的 A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的 B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的 最短距离．（结果保留根号）

21．（10分）八年级一班开展了“读一本好书”的 活动，班委会对学生阅读书籍的 情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的 频数分布表和扇形统计图．

5

类别 小说 戏剧 散文 其他 合计

频数（人数） 频率 4 10 6

0.5 0.25 1

根据图表提供的 信息，解答下列问题： （1）八年级一班有多少名学生？

（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的 百分比；

（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的 戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的 方法，求选取的 2人恰好是乙和丙的 概率．

四、解答题（共50分）

22．（8分）如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的 图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．

（1）分别求出一次函数与反比例函数的 表达式；

（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的 面积．

6

23．（10分）如图，△ABD是⊙O的 内接三角形，E是弦BD的 中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．

（1）求证：BC是⊙O的 切线；

（2）若⊙O的 半径为6，BC=8，求弦BD的 长．

24．（10分）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的 公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元， （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？

（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的 总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的 年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费

7

用最少？最少总费用是多少？

25．（10分）△ABC和△DEF是两个全等的 等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的 顶点E与△ABC的 斜边BC的 中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的 延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的 长．

26．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的 左侧），经过点A的 直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的 另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）求A、B两点的 坐标及抛物线的 对称轴；

（2）求直线l的 函数表达式（其中k、b用含a的 式子表示）； （3）点E是直线l上方的 抛物线上的 动点，若△ACE的 面积的 最大值为，求a的 值；

（4）设P是抛物线对称轴上的 一点，点Q在抛物线上，以点A、D、

8

P、Q为顶点的 四边形能否成为矩形？若能，求出点P的 坐标；若不能，请说明理由．

9

2020年甘肃省天水市中考数学试卷 参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）（2020•天水）若x与3互为相反数，则|x+3|等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】先求出x的 值，进而可得出结论． 【解答】解：∵x与3互为相反数， ∴x=﹣3，

∴|x+3|=|﹣3+3|=0． 故选A．

【点评】本题考查的 是绝对值，熟知0的 绝对值是0是解答此题的 关键．

2．（4分）（2020•天水）如图所示的 几何体是由5个大小相同的 小立方块搭成，它的 俯视图是（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】找到从上面看所得到的 图形即可，注意所有的 看到的 棱

10

都应表现在俯视图中．

【解答】解：从上面看易得横着的 “故选C．

”字，

【点评】本题考查了三视图的 知识，俯视图是从物体的 上面看得到的 视图．

3．（4分）（2020•天水）下列运算正确的 是（ ） A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2 C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣1 【分析】直接利用合并同类项法则和整式的 乘除运算法则分别化简求出答案．

【解答】解：A、2x+y无法计算，故此选项错误； B、x•2y2=2xy2，正确； C、2x÷x2=，故此选项错误； D、4x﹣5x=﹣x，故此选项错误； 故选：B．

【点评】此题主要考查了合并同类项和整式的 乘除运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．

4．（4分）（2020•天水）下列说法正确的 是（ ） A．不可能事件发生的 概率为0 B．随机事件发生的 概率为 C．概率很小的 事件不可能发生

11

D．投掷一枚质地均匀的 硬币1000次，正面朝上的 次数一定是500次

【分析】根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的 事件，发生的 机会大于0并且小于1，进行判断．

【解答】解：A、不可能事件发生的 概率为0，故本选项正确； B、随机事件发生的 概率P为0＜P＜1，故本选项错误；

C、概率很小的 事件，不是不发生，而是发生的 机会少，故本选项错误；

D、投掷一枚质地均匀的 硬币1000次，是随机事件，正面朝上的 次数不确定是多少次，故本选项错误； 故选A．

【点评】本题考查了不可能事件、随机事件的 概念．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的 事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的 事件．

5．（4分）（2020•天水）我国平均每平方千米的 土地一年从太阳得到的 能量，相当于燃烧130 000 000kg的 煤所产生的 能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为（ ）

A．13×107kg B．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg 【分析】科学记数法的 表示形式为a×10n的 形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的 值时，要看把原数变成a时，小数点移动

12

了多少位，n的 绝对值与小数点移动的 位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的 绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：130 000 000kg=1.3×108kg． 故选：D．

【点评】此题考查科学记数法的 表示方法．科学记数法的 表示形式为a×10n的 形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的 值以及n的 值．

6．（4分）（2020•天水）在正方形网格中，△ABC的 位置如图所示，则cosB的 值为（ ）

A． B．

C．

D．

【分析】先设小正方形的 边长为1，然后找个与∠B有关的 RT△ABD，算出AB的 长，再求出BD的 长，即可求出余弦值． 【解答】解：设小正方形的 边长为1，则AB=4∴cos∠B=故选B．

=

．

，BD=4，

13

【点评】本题考查了锐角三角函数的 定义以及勾股定理的 知识，此题比较简单，关键是找出与角B有关的 直角三角形．

7．（4分）（2020•天水）关于A．

=2

的 叙述不正确的 是（ ）

B．面积是8的 正方形的 边长是C．

是有理数

D．在数轴上可以找到表示【分析】

=2

，

的 点

是无理数，可以在数轴上表示，还可以表示面

积是8的 正方形的 边长，由此作判断． 【解答】解：A、

=2

，所以此选项叙述正确；

，所以此选项叙述正确；

B、面积是8的 正方形的 边长是C、

=2

，它是无理数，所以此选项叙述不正确；

D、数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上可以找到表示

的 点；所以此选项叙述正确；

本题选择叙述不正确的 ， 故选C．

【点评】本题考查了实数的 定义、二次根式的 化简、数轴，熟练掌握实数的 有关定义是关键．

8．（4分）（2020•天水）下列给出的 函数中，其图象是中心对称图形的 是（ ）

14

①函数y=x；②函数y=x2；③函数y=． A．①② B．②③ C．①③ D．都不是

【分析】函数①③是中心对称图形，对称中心是原点．

【解答】解：根据中心对称图形的 定义可知函数①③是中心对称图形． 故选C

【点评】本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的 性质、中心对称图形的 定义等知识，解题的 关键是理解中心对称图形的 定义，属于基础题．

9．（4分）（2020•天水）如图，AB是圆O的 直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4

，则S阴影=（ ）

A．2π B．π C．π D．π 【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2

，然后由圆周角定理知∠

DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的 长度，最后将相关线段的 长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC． 【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E， ∵AB是⊙O的 直径，弦CD⊥AB， ∴CE=ED=2

，

15

又∵∠BCD=30°，

∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°， ∴OE=DE•cot60°=2

×

=2，OD=2OE=4，

﹣OE×DE+BE•CE=

﹣

∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=2

+2

=

．

故选B．

【点评】考查了垂径定理、扇形面积的 计算，通过解直角三角形得到相关线段的 长度是解答本题的 关键．

10．（4分）（2020•天水）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以

cm/s的 速度沿BC方向运动到点C停止，同

时点Q从点B出发，以1cm/s的 速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的 面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的 图象是（ ）

A．

B．

16

C．

D．

【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的 性质得BH=CH，利用∠B=30°可计算出AH=AB=2，BH=

AH=2

，则BC=2BH=4

，利用速

度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，然后分类讨论：当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=DQ=BQ=x，利用三角形面积公式得到y=QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4三角形面积公式得y=﹣

x+8

x，

x2；当4＜x≤8时，作

，DQ=CQ=（8﹣x），利用

，于是可得0≤x≤4时，函数图象为

抛物线的 一部分，当4＜x≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D．

【解答】解：作AH⊥BC于H， ∵AB=AC=4cm， ∴BH=CH， ∵∠B=30°， ∴AH=AB=2，BH=∴BC=2BH=4

，

cm/s，Q点运动的 速度为1cm/s， AH=2

，

∵点P运动的 速度为

∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s， 当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=在Rt△BDQ中，DQ=BQ=x，

x，

17

∴y=•x•x=x2，

当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4在Rt△BDQ中，DQ=CQ=（8﹣x）， ∴y=•

（8﹣x）•4

=﹣

x+8．

，

综上所述，y=故选D．

【点评】本题考查了动点问题的 函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的 函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（4分）（2020•天水）若式子x≥﹣2且x≠0 ．

【分析】分式中：分母不为零、分子的 被开方数是非负数． 【解答】解：根据题意，得 x+2≥0，且x≠0，

18

有意义，则x的 取值范围是

解得x≥﹣2且x≠0． 故答案是：x≥﹣2且x≠0．

【点评】本题考查了分式有意义的 条件、二次根式有意义的 条件．解题时需注意：分母x不为零．

12．（4分）（2020•天水）分解因式：x3﹣x= x（x+1）（x﹣1） ． 【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解． 【解答】解：x3﹣x， =x（x2﹣1）， =x（x+1）（x﹣1）．

故答案为：x（x+1）（x﹣1）．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．

13．（4分）（2020•天水）定义一种新的 运算：x*y=3*1=

=，则（2*3）*2= 2 ．

，如：

【分析】原式利用题中的 新定义计算即可得到结果． 【解答】解：根据题中的 新定义得：（2*3）*2=（故答案为：2

【点评】此题考查了有理数的 混合运算，弄清题中的 新定义是解本题的 关键．

19

）*2=4*2==2，

14．（4分）（2020•天水）如图所示，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的 点C′处，则∠AFC′= 40° ．

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，再根据翻折变换的 性质判断出四边形BCEC′是正方形，根据正方形的 性质可得∠BEC=45°，然后根据三角形的 一个外角等于与它不相邻的 两个内角的 和求出∠BFC，再根据翻折变换的 性质可得∠BFC′=∠BFC，然后根据平角等于180°列式计算即可得解． 【解答】解：∵矩形ABCD，∠DAC=65°， ∴∠ACD=90°﹣∠DAC=90°﹣65°=25°，

∵△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的 点C′处， ∴四边形BCEC′是正方形， ∴∠BEC=45°，

由三角形的 外角性质，∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°， 由翻折的 性质得，∠BFC′=∠BFC=70°，

∴∠AFC′=180°﹣∠BFC﹣∠BFC′=180°﹣70°﹣70°=40°． 故答案为：40°．

【点评】本题考查的 是翻折变换，正方形的 判定与性质，三角形的 一个外角等于与它不相邻的 两个内角的 和的 性质，熟记各性质并

20

准确识图是解题的 关键．

15．（4分）（2020•天水）观察下列的 “蜂窝图”

则第n个图案中的 “式表示）

【分析】根据题意可知：第1个图有4个图案，第2个共有7个图案，第3个共有10个图案，第4个共有13‘个图案，由此可得出规律． 【解答】解：由题意可知：每1个都比前一个多出了3个“∴第n个图案有“故答案为：3n+1

【点评】本题考查学生的 观察能力，解题的 关键是熟练正确找出图中的 规律，本题属于基础题型．

16．（4分）（2020•天水）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的 小明站在距离灯的 底部（点O）20米的 A处，则小明的 影子AM长为 5 米．

”为：4+3（n﹣1）=3n+1

”，

”的 个数是 3n+1 ．（用含有n的 代数

【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的 相似比可得出小

21

明的 影长．

【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO， 根据相似三角形的 性质可知

=

，即

=

，

解得AM=5m．则小明的 影长为5米．

【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的 相似比可得出小明的 影长．

17．（4分）（2020•天水）如图所示，正方形ABCD的 边长为4，E是边BC上的 一点，且BE=1，P是对角线AC上的 一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的 最小值是 6 ．

【分析】根据两点之间线段最短和点B和点D关于AC对称，即可求得△PBE周长的 最小值，本题得以解决．

【解答】解：连接DE于AC交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E的 周长就是△PBE周长的 最小值， ∵BE=1，BC=CD=4， ∴CE=3，DE=5， ∴BP′+P′E=DE=5，

22

∴△PBE周长的 最小值是5+1=6， 故答案为：6．

【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、正方形的 性质，解答本题的 关键是明确题意，找出所求问题需要的 条件，利用数形结合的 思想解答．

18．（4分）（2020•天水）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的 图象的 一部分，抛物线的 顶点坐标是A（1，3），与x轴的 一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的 实数根；③抛物线与x轴的 另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的 结论是 ②⑤ ．（只填写序号）

【分析】根据二次函数的 性质、方程与二次函数的 关系、函数与不等式的 关系一一判断即可．

23

【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．

观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的 实数根，故②正确．

根据对称性可知抛物线与x轴的 另一个交点是（﹣2，0），故③错误， 观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，

因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确， 所以②⑤正确， 故答案为②⑤．

【点评】本题考查二次函数的 性质、方程与二次函数的 关系、函数与不等式的 关系等知识，解题的 关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用函数图象解决问题，所以中考常考题型．

三、解答题（本大题共3小题，共28分） 19．（10分）（2020•天水）（1）计算：﹣14+（π﹣

）0

）÷

，其中x=

﹣1．

sin60°+（）﹣2﹣

（2）先化简，再求值：（1﹣

【分析】（1）根据实数的 运算法则计算即可；

（2）原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的 值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）﹣14+

sin60°+（）﹣2﹣（π﹣

）0=﹣1+2

×

24

+4﹣1=5； （2）（1﹣当x=原式=

）÷

=

×

=

，

﹣1时， ．

【点评】此题考查了实数的 运算，分式的 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的 关键．

20．（8分）（2020•天水）一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的 A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的 B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的 最短距离．（结果保留根号）

【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，如图，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里．解△PBC，得出PC=BC=x海里，解Rt△APC，得出AC=PC•tan60°=不变列出方程

x=20+x，解方程即可．

x，根据AC

【解答】解：如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里．

25

在△PBC中，∵∠BPC=45°， ∴△PBC为等腰直角三角形， ∴PC=BC=x海里，

在Rt△APC中，∵tan∠APC=∴AC=PC•tan60°=∴

x=20+x，

+10， +10）海里．

+10）海里．

x，

，

解得x=10则PC=（10

答：轮船航行途中与灯塔P的 最短距离是（10

【点评】本题考查了解直角三角形的 应用﹣方向角：在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．在解决有关方向角的 问题中，一般要根据题意理清图形中各角的 关系，有时所给的 方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的 余角等知识转化为所需要的 角．

21．（10分）（2020•天水）八年级一班开展了“读一本好书”的 活动，班委会对学生阅读书籍的 情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据

26

调查结果绘制了不完整的 频数分布表和扇形统计图． 类别 小说 戏剧 散文 其他 合计

频数（人数） 频率 4 10 6

0.5 0.25 1

根据图表提供的 信息，解答下列问题： （1）八年级一班有多少名学生？

（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的 百分比；

（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的 戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的 方法，求选取的 2人恰好是乙和丙的 概率．

【分析】（1）用散文的 频数除以其频率即可求得样本总数； （2）根据其他类的 频数和总人数求得其百分比即可；

（3）画树状图得出所有等可能的 情况数，找出恰好是丙与乙的 情况，即可确定出所求概率．

【解答】解：（1）∵喜欢散文的 有10人，频率为0.25，

27

∴总人数=10÷0.25=40（人）；

（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的 百分比为故答案为：15%；

（3）画树状图，如图所示：

×100%=15%，

所有等可能的 情况有12种，其中恰好是丙与乙的 情况有2种， ∴P（丙和乙）=

=．

【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的 知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

四、解答题（共50分）

22．（8分）（2020•天水）如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的 图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点． （1）分别求出一次函数与反比例函数的 表达式；

（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的 面积．

28

【分析】（1）将点A坐标代入y=可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式；

（2）根据点B坐标可得底边BC=2，由A、B两点的 横坐标可得BC边上的 高，据此可得．

【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=，得：m=8， 则反比例函数解析式为y=， 当x=﹣4时，y=﹣2， 则点B（﹣4，﹣2），

将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y=kx+b， 得：解得：

， ，

则一次函数解析式为y=x+2；

（2）由题意知BC=2， 则△ACB的 面积=×2×6=6．

【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的 交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的 面积求法是解题的 关键．

23．（10分）（2020•天水）如图，△ABD是⊙O的 内接三角形，E是弦BD的 中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C． （1）求证：BC是⊙O的 切线；

29

（2）若⊙O的 半径为6，BC=8，求弦BD的 长．

【分析】（1）连接OB，由垂径定理的 推论得出BE=DE，OE⊥BD，

=

，由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，

得出∠OBC=90°即可；

（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的 面积求出BE，即可得出弦BD的 长．

【解答】（1）证明：连接OB，如图所示： ∵E是弦BD的 中点， ∴BE=DE，OE⊥BD，

=

，

∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°， ∵∠DBC=∠A， ∴∠BOE=∠DBC， ∴∠OBE+∠DBC=90°， ∴∠OBC=90°， 即BC⊥OB，

∴BC是⊙O的 切线；

（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB， ∴OC=

=10，

30

∵△OBC的 面积=OC•BE=OB•BC， ∴BE=

=

=4.8，

∴BD=2BE=9.6， 即弦BD的 长为9.6．

【点评】本题考查了切线的 判定、垂径定理的 推论、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的 计算；熟练掌握垂径定理的 推论和圆周角定理是解决问题的 关键．

24．（10分）（2020•天水）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的 公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元， （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？

（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的 总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的 年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？

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【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；

（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的 总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的 年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．

【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得

，

解得

，

答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．

（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得

，

解得：

≤a≤

，

因为a是整数， 所以a=6，7，8； 则（10﹣a）=4，3，2； 三种方案：

32

①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；

②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；

③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；

购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．

【点评】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的 应用，注意理解题意，找出题目蕴含的 数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．

25．（10分）（2020•天水）△ABC和△DEF是两个全等的 等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的 顶点E与△ABC的 斜边BC的 中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的 延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的 长．

33

【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的 中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE； （2）由△ABC和△DEF是两个全等的 等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的 外角的 性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的 对应边成比例，即可求得BE的 长，即可得BC的 长，

【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ， ∴BP=CQ，

∵E是BC的 中点， ∴BE=CE，

在△BPE和△CQE中， ∵

，

∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的 等腰直角三角形，

34

∴∠B=∠C=∠DEF=45°， ∵∠BEQ=∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°， ∴∠BEP=∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ， ∴

=

，

∵BP=2，CQ=9，BE=CE， ∴BE2=18， ∴BE=CE=3∴BC=6

，

．

【点评】此题考查了相似三角形的 判定与性质、等腰直角三角形的 性质、全等三角形的 判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的 应用．

26．（12分）（2020•天水）如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的 左侧），经过点A的 直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与

35

抛物线的 另一个交点为D，且CD=4AC． （1）求A、B两点的 坐标及抛物线的 对称轴；

（2）求直线l的 函数表达式（其中k、b用含a的 式子表示）； （3）点E是直线l上方的 抛物线上的 动点，若△ACE的 面积的 最大值为，求a的 值；

（4）设P是抛物线对称轴上的 一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的 四边形能否成为矩形？若能，求出点P的 坐标；若不能，请说明理由．

【分析】（1）解方程即可得到结论；

（2）根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的 横坐标为4，求得k=a，得到直线l的 函数表达式为y=ax+a；

（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的 面积公式列方程即可得到结论；

（4）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），

36

设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的 一条边，②若AD是矩形APDQ的 对角线，列方程即可得到结论．

【解答】解：（1）当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0， 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 对称轴为直线x=

=1；

（2）∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0）， ∴0=﹣k+b， 即k=b，

∴直线l：y=kx+k，

∵抛物线与直线l交于点A，D， ∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k， 即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0， ∵CD=4AC，

∴点D的 横坐标为4， ∴﹣3﹣=﹣1×4， ∴k=a，

∴直线l的 函数表达式为y=ax+a；

（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a）， 则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a， ∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF=（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x=（ax2﹣3ax﹣4a）=a（x﹣）2﹣

a，

37

∴△ACE的 面积的 最大值=﹣a，

∵△ACE的 面积的 最大值为， ∴﹣

a=，

解得a=﹣；

（4）以点A、D、P、Q为顶点的 四边形能成为矩形， 令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0， 解得：x1=1，x2=4， ∴D（4，5a），

∵抛物线的 对称轴为直线x=1， 设P（1，m），

①若AD是矩形ADPQ的 一条边， 则易得Q（﹣4，21a）， m=21a+5a=26a，则P（1，26a）， ∵四边形ADPQ是矩形， ∴∠ADP=90°， ∴AD2+PD2=AP2，

∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2， 即a2=， ∵a＜0， ∴a=﹣

，

）；

∴P（1，﹣

②若AD是矩形APDQ的 对角线，

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则易得Q（2，﹣3a），

m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a）， ∵四边形APDQ是矩形， ∴∠APD=90°， ∴AP2+PD2=AD2，

∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2， 即a2=， ∵a＜0， ∴a=﹣， ∴P（1，﹣4），

综上所述，点A、D、P、Q为顶点的 四边形能成为矩形，点P（1，﹣

）或（1，﹣4）．

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【点评】本题考查了待定系数法求函数的 解析式，三角形面积的 计算，平行四边形的 性质，勾股定理，正确的 作出辅助线是解题的 关键．

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