人教版九年级上册数学菱形的判定专项练习题

1、能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）

A. 对角线相等且互相平分 B. 对角线互相垂直且相等 C. 对角线互相平分

D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角

2、平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？

3、 如左下图，AD是△ABC的角平分线。DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.

四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由。

4、如右上图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？

5、已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（ ） A. AD平分∠BAC

B. AB＝AC＝且BD＝CD C. AD为中线 D. EF⊥AD

B E D F C B F C 第6题

A A E D 6、 如右图，已知四边形ABCD为菱形，AE＝CF. 求证：四边形BEDF为菱形。

7、已知ABCD为平行四边形纸片，要想用它剪成一个菱形。小刚说只要过BD中点作BD的垂线交AD、BC于E、F，沿BE、DF剪去两个角，所得的四边形BFDE为菱形。你认为小刚的方法对吗？为什么？

O B F 第7题

C A E D

8、如右上图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？

9、如左下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AC⊥BD，点M、N分别在BD、AC上，且AO＝ON＝NC，BM＝MO＝OD. 求证：BC＝2 DN D M A N Q

B P C

第10题

10、如右上图，已知四边形ABCD为矩形，AD＝20㎝、AB＝10㎝。M点从D到A，P点从B到C，两点的速度都为2㎝/s；N点从A到B，Q点从C到D，两点的速度都为1㎝/s。若四个点同时出发。

（1）判断四边形MNPQ的形状。

（2）四边形MNPQ能为菱形吗？若能，请求出此时运动的时间；若不能，说明理由。 11、 【提高题】 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD•交AC于点D，CH⊥AB

于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．

BFCDHEA菱形的判定 答案

1、【答案】 D 2、【答案】 四边形ABCD是菱形.

【提示】对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本题还要用到勾股定理的逆定理. 3、【答案】 四边形AEDF是菱形 4、【答案】□AFCE是菱形，△AOE≌△COF，四边形AFCE是平行四边形，EF⊥AC 5、【答案】 C

6、【提示】 用对角线来证 7、【答案】 对

8、【答案】 是菱形. 【提示】

证明方法一：

这个四边形的两组对边分别在纸条的边缘上，它们彼此平行，所以四边形ABCD是平行四边形. 又因为AB乘以AB边上的高、BC乘以BC边上的高都是平行四边形ABCD的面积，而它们的高都是纸条的宽，所以高相等，因此AB=BC，则平行四边形ABCD是菱形.

证明方法二：作出高线，用全等来证邻边相等。 9、【提示】

先证四边形AMND是菱形，再证MN是中位线 10、【答案】

（1）平行四边形； （2）5秒 此时为各边中点 MQ＝NP＝11、【答案】 是菱形

11AC＝BD＝MN＝PQ 22第2课时 菱形的判定

一、选择题（共10小题）

1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形

2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形

3、如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ） ①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD． A、①③ B、②③ C、③④ D、①②③

4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）

A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形 5、（在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形

6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ） A、等腰梯形 B、正方形 C、矩形 D、菱形

7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（ ）

A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形

8、能判定一个四边形是菱形的条件是（ ） A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分

9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 二、填空题（共8小题） 11、（如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 _________ （只填一个你认为正确的即可）．

12、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 _________ ．

13、（如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 _________ ．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）

14、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： _________ =＞ABCD是菱形； _________ =＞ABCD是菱形．

15、若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 _________ （写一个即可），使四边形ABCD是菱形． 16、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是 _________ ．（写四个条件的不给分，只填序号）

17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是 _________ 形，再说明 _________ （只需填写一种方法）

18、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD是菱形，则还需添加一个条件是 _________ （只需填写一个条件即可）．

三、解答题（共11小题） 19、（如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE， CE．

（1）求证：△ABE≌△ACE；

（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由． 20、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD． （1）求证：△ADE≌△CBF．

（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．

21、如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求证：AE=DF；

（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

22、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．

23、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M． （1）求证：△ABC≌△DCB；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

24、如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．

（1）求证：AD=CE；

（2）填空：四边形ADCE的形状是 _________ ．

25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB （1）求证：四边形EFCD是菱形；

（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．

26、如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连接C′E． 求证：四边形CDC′E是菱形．

27、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．

求证：四边形AFCE是菱形．

28、如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．

（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）

（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．

29、如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．

（1）求△ABC所扫过的图形的面积；

（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由； （3）若∠BEC=15°，求AC的长．

答案与评分标准

一、选择题（共10小题）

1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形

考点：坐标与图形性质；菱形的判定。

分析：画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断．

解答：解：在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形． 故选B．

点评：动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点．

2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形

考点：等边三角形的性质；菱形的判定。 专题：操作型。

分析：由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形．

解答：解：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等， 即是菱形． 故选B．

点评：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形． 3、（如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ） ①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．

A、①③ B、②③ C、③④ D、①②③

考点：菱形的判定；平行四边形的性质。

专题：计算题。

分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

解答：解：根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可知：①，③正确． 故选A．

点评：本题考查菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）

A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形 考点：菱形的判定。 专题：应用题。

分析：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．

解答：解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同， 所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF． ∴四边形ABCD是平行四边形．

∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF． ∴BC=CD，

∴四边形ABCD是菱形． 故选C．

点评：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形． 5、在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形

考点：菱形的判定；等边三角形的性质。 专题：操作型。

分析：用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为a，根据菱形的定义四边

相等的四边形是菱形．

解答：解：根据题意得，拼成的四边形四边相等， 则是菱形． 故选B．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质，菱形的定义．

6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ） A、等腰梯形 B、正方形 C、矩形 D、菱形

考点：菱形的判定；等边三角形的性质。

分析：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形． 解答：解：由题意可得：得到的四边形的四条边相等，即是菱形． 故选D．

点评：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．

7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（ ）

A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形 考点：菱形的判定。 专题：应用题。

分析：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．

解答：解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同， 所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF． ∴四边形ABCD是平行四边形．

∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF． ∴BC=CD，

∴四边形ABCD是菱形． 故选C．

点评：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．

8、能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）

A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分 考点：菱形的判定。

分析：根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．

解答：解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等；

③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形， 故选D．

点评：本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定．

9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形

考点：菱形的判定；非负数的性质：偶次方。

分析：本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，从而得出a=b=c=d，∴四边形一定是菱形． 解答：解：整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad， 2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），）

∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0， 由非负数的性质可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0， ∴a=b=c=d，

∴四边形一定是菱形， 故选C．

点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是整理配方式子，还利用了非负数的性质． 二、填空题（共8小题） 11、四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD （只填一个你认为正确的即可）．

考点：菱形的判定。 专题：开放型。 分析：根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD．

解答：解：四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，

再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一）

点评：本题考查平行四边形及菱形的判定．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

12、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是

AB=AD或AC⊥BD ．

考点：菱形的判定；平行四边形的性质。 专题：开放型。

分析：菱形的判定方法有三种：

①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等；

③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． ∴可添加：AB=AD或AC⊥BD．

解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=AD或AC⊥BD． 点评：本题考查菱形的判定，答案不唯一．

13、如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 AC⊥EF或AF=CF等 ．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）

考点：菱形的判定；平行四边形的性质。 专题：开放型。

分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．

解答：解：则添加的一个条件可以是：AC⊥EF． 证明：∵AD∥BC， ∴∠FAD=∠AFB，

∵AF是∠BAD的平分线， ∴∠BAF=FAD， ∴∠BAF=∠AFB， ∴AB=BF， 同理ED=CD，

∵AD=BC，AB=CD， ∴AE=CF，

又∵AE∥CF

∴四边形AECF是平行四边形，

∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形， 则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．

点评：本题考查了菱形的判定，利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解，答案不唯一． 14、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： （1）（2）（6） =＞ABCD是菱形； （3）（4）（5）@（3）（4）（6） =＞ABCD是菱形． 考点：菱形的判定。 专题：开放型。

分析：菱形的判定方法有三种：

①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等；

③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 解答：解：（1）（2）（6）⇒ABCD是菱形． 先由（1）（2）得出四边形是平行四边形， 再由（6）和（2）得出∠DAC=∠DCA， 由等角对等边得AD=CD， 所以平行四边形是菱形．

（3）（4）（5）=＞ABCD是菱形．

由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．

（3）（4）（6）=＞ABCD是菱形． 由（3）（4）得出四边形是平行四边形， 再由（6）得出∠DAC=∠DCA， 由等角对等边得AD=CD， 所以平行四边形是菱形． 点评：本题考查菱形的判定．

15、若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 AB=BC@AC⊥BD （写一个即可），使四边形ABCD是菱形．

考点：菱形的判定；平行四边形的性质。 专题：开放型。

分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．

解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：AB=BC或AC⊥BD．

点评：主要考查了菱形的特性．菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．

16、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是 ①③④或②③④ ．（写四个条件的不给分，只填序号）

考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质。

分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可． 解答：解：设AC与BD交于点E，由③AC⊥BD，④AC平分∠BAD可证得，Rt△AEB≌Rt△AED， ∴AB=AD，BE=DE， 再由∠BEC=∠DEC=90°，CE=CE，证得Rt△BCE≌Rt△DCE， ∴BC=CD，

再由①AB=CD，可根据四边相等的四边形是菱形而得证为菱形； 或者再由②AD∥BC，证得：Rt△AED≌Rt△BCE， ∴AE=EC，

由对角线互相垂直平分的四边形是菱形而得证为菱形． 故填写①③④或②③④．

点评：本题考查了菱形的判定，利用全等三角形的判定和性质来证明．

17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是 平行四边 形，再说明 有一组邻边相等 （只需填写一种方法） 考点：菱形的判定。 专题：开放型。

分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．所以，要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等．

解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以，要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等． 点评：本题考查菱形的判定，答案不唯一．

18、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD是菱形，则还需添加一个条件是 AB=BC（答案不唯一） （只需填写一个条件即可）．

考点：菱形的判定；平行四边形的性质。 专题：开放型。

分析：菱形的判定方法有三种：

①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等；

③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

所以可添加AB=BC．

解答：解：AB=BC或AC⊥BD等．

点评：本题考查了菱形的判定，答案不唯一． 三、解答题（共11小题）

19、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE， CE．

（1）求证：△ABE≌△ACE；

（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由． 考点：全等三角形的判定；菱形的判定。 专题：证明题。

分析：由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形． 解答：（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点， ∴∠BAE=∠CAE， ∵AE=AE

∴△ABE≌△ACE（SAS）．

（2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形 理由如下：

∵AE=2AD，∴AD=DE， 又∵点D为BC中点， ∴BD=CD，

∴四边形ABEC为平行四边形， ∵AB=AC，

∴四边形ABEC为菱形．

点评：本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易． 20、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD． （1）求证：△ADE≌△CBF．

（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．

考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定。 专题：证明题；探究型。 分析：（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边AB、CD的中点，那么AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．

（2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形． 解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC， ∵E、F分别为AB、CD的中点， ∴AE=CF．

在△AED和△CFB中，

∴△AED≌△CFB（SAS）；

（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形． 证明：∵AD⊥BD，

∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°． ∵E是AB的中点， ∴DE=AB=BE．

由题意可知EB∥DF且EB=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∴四边形BFDE是菱形．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点． 21、如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求证：AE=DF；

（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

考点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定。 专题：证明题。

分析：（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF； （2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证▱AEDF实菱形． 解答：证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF， 同理∠DAE=∠FDA， ∵AD=DA，

∴△ADE≌△DAF， ∴AE=DF；

（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形， ∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形， ∴∠DAF=∠FDA． ∴AF=DF．

∴平行四边形AEDF为菱形．

点评：考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．

22、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．

考点：菱形的判定。 专题：证明题。

分析：由题意易得DE=BE，再证四边形BCDE是平行四边形，即证四边形BCDE是菱形． 解答：证明：∵AD⊥BD， ∴△ABD是Rt△ ∵E是AB的中点，

∴BE=AB，DE=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴BE=DE，

∴∠EDB=∠EBD， ∵CB=CD，

∴∠CDB=∠CBD， ∵AB∥CD，

∴∠EBD=∠CDB，

∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD， ∵BD=BD，

∴△EBD≌△CBD （ASA ），

∴BE=BC，

∴CB=CD=BE=DE， ∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）

点评：此题主要考查菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质． 23、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M． （1）求证：△ABC≌△DCB；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

考点：菱形的判定；全等三角形的判定。 专题：证明题；探究型。 分析：（1）由SSS可证△ABC≌△DCB； （2）BN=CN，可先证明四边形BMCN是平行四边形，由（1）知，∠MBC=∠MCB，可得BM=CM，于是就有四边形BMCN是菱形，则BN=CN． 解答：（1）证明：如图，在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，AC=DB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB；（4分）

（2）解：据已知有BN=CN．证明如下： ∵CN∥BD，BN∥AC，

∴四边形BMCN是平行四边形，（6分） 由（1）知，∠MBC=∠MCB， ∴BM=CM（等角对等边）， ∴四边形BMCN是菱形， ∴BN=CN．（9分）

点评：此题主要考查全等三角形和菱形的判定． 24、如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．

（1）求证：AD=CE；

（2）填空：四边形ADCE的形状是 ．

考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质。 专题：证明题。

分析：根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，∴AE=CE，AD=CD，OA=OC∠AOD=∠EOC=90°， ∵CE∥AB，

∴∠DAO=∠ECO，∴△ADO≌△CEO，∴AD=CE，OD=OE， 由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形， ∵OD=OE，OA=OC∠AOD=90°根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得．平行四边形ADCE是菱形． 解答：（1）证明：∵MN是AC的垂直平分线，（1分） ∴OA=OC∠AOD=∠EOC=90°．（3分） ∵CE∥AB，

∴∠DAO=∠ECO．（4分） ∴△ADO≌△CEO．（5分） ∴AD=CE．（6分）

（2）解：四边形ADCE是菱形．（8分） （填写平行四边形给1分）

点评：本题利用了：1、中垂线的性质，2、全等三角形的判定和性质，平行四边形和菱形的判定． 25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB （1）求证：四边形EFCD是菱形；

（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．

考点：菱形的判定；等边三角形的性质；勾股定理。 专题：计算题；证明题。 分析：（1）根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，由△ABC与△CDE都是等边三角形，可得出角之间的等量关系，从而证明四边形EFCD是菱形；

（2）连接DF，与CE相交于点G，由（1）知DF就是菱形EFCD的一条对角线，根据菱形的性质及30°特殊角的值可计算出结果． 解答：（1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形， ∴ED=CD．

∴∠A=∠DCE=∠BCA=∠DEC=60°．（1分） ∴AB∥CD，DE∥CF．（2分） 又∵EF∥AB， ∴EF∥CD，（3分）

∴四边形EFCD是菱形．（4分）

（2）解：连接DF，与CE相交于点G，（5分） 由CD=4，可知CG=2，（6分） ∴

，（7分）

∴．（8分）

点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．

26、如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连接C′E． 求证：四边形CDC′E是菱形．

考点：菱形的判定。 专题：证明题。

分析：根据题意可知△CDE≌△C′DE，则CD=C′D，CE=C′E，要证四边形CDC′E为菱形，证明CD=CE即可．

解答：证明：根据题意可知△CDE≌△C′DE， 则CD=C′D，∠C′DE=∠CDE，CE=C′E， ∵AD∥BC，∴∠C′DE=∠CED， ∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE， ∴CD=C′D=C′E=CE， ∴四边形CDC′E为菱形．

点评：本题利用了：1、全等三角形的性质；2、两直线平行，内错角相等；3、等边对等角；4、菱形的判定．

27、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．

求证：四边形AFCE是菱形．

考点：菱形的判定。 专题：证明题。

分析：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： ①定义； ②四边相等；

③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定． 解答：证明：方法一：∵AE∥FC． ∴∠EAC=∠FCA．（2分）

又∵∠AOE=∠COF，AO=CO， ∴△AOE≌△COF．（5分） ∴EO=FO． 又EF⊥AC，

∴AC是EF的垂直平分线．（8分） ∴AF=AE，CF=CE， 又∵EA=EC，

∴AF=AE=CE=CF．

∴四边形AFCE为菱形；（10分）

方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．（5分） ∴AE=CF．

∴四边形AFCE是平行四边形．（8分） 又∵EF是AC的垂直平分线， ∴EA=EC，

∴四边形AFCE是菱形；（10分）

方法三：同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．（8分） 又EF⊥AC，（9分） ∴四边形AFCE为菱形．

点评：本题利用了中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

28、如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．

（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）

（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点

的总个数，求相应的r的取值范围．

考点：点与圆的位置关系；等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定。 专题：探究型。 分析：（1）由平行易得△BFE是等边三角形，那么各边是相等的；

（2）当点E是BC的中点时，△PEC为等边三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四边形EFPC是平行四边形，再有EF=EC可证为菱形； （3）根据各点到圆心的距离作答即可． 解答：解：（1）易得△BFE是等边三角形，PE=EB， ∴EF=BE=PE=BF；

（2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形； ∵E是BC的中点， ∴EC=BE， ∵PE=BE， ∴PE=EC， ∵∠C=60°，

∴△PEC是等边三角形， ∴PC=EC=PE， ∵EF=BE， ∴EF=PC， 又∵EF∥CP，

∴四边形EFPC是平行四边形， ∵EC=PC=EF，

∴平行四边形EFPC是菱形；

（3）当0＜r＜当r=当

时，有两个交点；

时，有四个交点； ＜r＜1时，有六个交点；

当r=1时，有三个交点； 当r＞1时，有0个交点．

点评：本题综合考查了等边三角形的性质和判定，菱形的判定及点和圆的位置关系等知识点．注

意圆和线段有交点，应根据半径作答． 29、如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．

（1）求△ABC所扫过的图形的面积；

（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由； （3）若∠BEC=15°，求AC的长．

考点：平移的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定。 专题：计算题；探究型。

分析：（1）根据题意：易得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，进而得出S平行四边形ABFE=2S△EAF，故可求出△ABC扫过图形的面积为S△ABC+S平行四边形ABFE；

（2）根据平移的性质，可得四边形ABFE为菱形，故AF与BE互相垂直且平分； （3）根据题意易得：所以∠AEB=∠ABE=15°，BD•AC=3，

AC•AC=3，进而可得AC的长

度．

解答：解：（1）连接BF，由题意知△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF ∴四边形ABFE为平行四边形，

∴S平行四边形ABFE=2S△EAF∴△ABC扫过图形的面积为S△ABC+S平行四边形ABFE=3+6=9；

（2）由（1）知四边形ABFE为平行四边形，且AB=AE， ∴四边形ABFE为菱形，

∴AF与BE互相垂直且平分．

（3）过点B作BD⊥CA于点D， ∵AB=AE，

∴∠AEB=∠ABE=15°． ∴∠BAD=30°BD=AB=AC． ∴BD•AC=3，∴AC2=12． ∴AC=2．

AC•AC=3．

点评：本题考查利用全等三角形的判定、菱形的判定和平移的知识结合求解．考查了学生综合运用数学的能力．

第2课时 菱形的判定

一、选择题

1．下列四边形中不一定为菱形的是（ ）

A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形

2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=•BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（ ）． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ）

A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm 二、填空题

4．如图1所示，已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）

图1 图2

5．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可） 6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．

7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____． 三、解答题

8．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．

四、思考题

9．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且OC=OD,PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．

参

一、1．A 点拨：本题用排除法作答．

2．D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．

3．C 点拨：如图所示，若∠ABC=60°，则△ABC为等边三角形，•

所以AC=AB=

11×32=8（cm），AO=AC=4cm． 42因为AC⊥BD，

在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB=所以BD=2OB=83cm．

，• AB2OA28242=43（cm）

二、4．AB=BC 点拨：还可添加AC⊥BD或∠ABD=∠CBD等． 5．点D在∠BAC的平分线上（或AE=AF）

6．12cm；723cm2

点拨：如图所示，过D作DE⊥AB于E， 因为AD∥BC，•所以∠BAD+∠ABC=180°． 又因为∠BAD：∠ABC=1：2，所以∠BAD=60°，

因为AB=AD，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AD=12cm．所以AE=6cm． 在Rt△AED中，由勾股定理，得AE2+ED2=AD2，62+ED2=122，所以ED2=108， 所以ED=63cm，所以S菱形ABCD=12×63=723（cm2）．

7．4；43 点拨：如图所示，因为DE垂直平分AB，

又因为DA=AB，所以DA=DB=4．所以△ABD是等边三角形，所以∠BAD=60°， 由已知可得AE=2．在Rt△AED•中，•AE2+DE2=AD2，即22+DE2=42，所以DE2=12， 所以DE=23，因为11AC·BD=AB·DE，即AC·4=4×23，所以AC=43． 22

三、8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD， 所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以

ABCD是菱形．

点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．

四、9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下：

因为PD∥OC，PC∥OD，所以四边形PCOD是平行四边形． 又因为OC=OD，

所以平行四边形PCOD是菱形．