高中数学《第二讲球面上的距离和角一球面上的距离》5PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲

教材：高中数学人教A版2003课标版选修3-3球面上的几何第二讲一、球面上的距离 教师：齐齐哈尔市民族中学 王欣

一、教学内容的地位、作用分析

球是我们在日常生活中经常见到的熟悉而特殊的一种旋转体。本节课是在运用欧式几何的研究方法，研究了球的一些性质后，进一步从球面上的距离和角出发，开始进入球面几何的学习。而且学生对球面距离是在学生了解了球的有关概念及性质基础上的一节内容，学习球面距离，有助于学生空间想象能力的培养，有助于学生思维能力的训练与提高。它不但能加深学生对球面及球的截面的理解, 而且在求其解过程中,

可以帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识，并且沟通了立体几何中两个重要的角(直线和平面所成的角、二面角)

的概念，具有实质的教学意义。另外，“球面距离”具有一定的实际应用意义。通过学习，

使学生认识到数学源于实践又作用于实践，同时数学中的球面距离与地理中的经纬度等知识的综合运用。

二．教学目标和重点、难点分析

学生已经知道球面距离和经度、纬度等概念，这一节将进一步认识数学和实际的联系。我将这节课的教学目标和重点难点定为： 教学目标：1.

理解球面距离的概念，会在简单情形下计算两点间的球面距离。 2.

体验将空间中的计算转换为平面上的问题的求解方法。 3.

会求地球上同经度和同纬度两点间的球面距离，感受数学知识在实际问题中的应用价值。

教学重点：理解球面上的距离的概念，会计算球面上两点间的距离。

教学难点：球面上两点之间最短路径是这两点的一段大圆弧—劣弧，以及地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。 三．教学问题诊断

学生已经知道球的相关概念、球的截面的性质、球大圆的定义，具备了理解球面距离概念的基础，并能运用相关三角知识解三角形。

本节课的教学难点是对球面上两点间距离的认识，地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。对教学难点的突破我采取了三个策略：

1.教材在引出球面距离的概念后，直接进入了地球上同经度、同纬度两点间的球面距离的求法（例1、例2），从概念到应用之间的跨度较大。为此，我设计了一组过渡性的练习，为难点的突破作铺垫。 2.

学生在高一地理课上已初步了解经度和纬度的定义，但由于时间相隔较长，可能已生疏。所以在讲解例题前我运用教具和多媒体演示对地球经纬度知识作了简单回顾，以唤起学生的记忆。

3．在例题2的讲解中通过师生、生生互动利用分析法引导学生寻找解决问题的途径。

另外，由于球面不能展开成平面图形，教学中学生在认知上可能产生的困难及其应对策略是： 1.

对球面距离概念的理解——本节内容对球面距离概念的引入采用直接告知的做法，让学生讨论“通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面上的最短路径”作出相关说明。并且在给出概念后我设置了一组相关的辨析题来强化概念中的“大圆”和“劣弧”等关键词。

2.

在课堂中通过学生之间，师生之间的相互讨论，并且以问题推进的方式引导学生学习如何计算球面上两点间距离。 四、教学过程 教学过程 设计说明 一．引入：

如图，一架飞机从北京首都国际机场起飞，目的地是美国纽约肯尼迪国际机场，北京与纽约大致都在北纬40度上，如果不考虑其他因素，飞机如何飞行才能使航程最短？同时思考三个问题：(1)在某一高度上，北京和肯尼迪间的距离是一条线段的吗?

(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢? (3)这无数条弧长哪条最短?

为了解决这个问题我们这节课就来研究一下地球上两点之间的最短距离（球面距离）

由学生动手探索球面上两点间的最短路径。

通过具体实例引入新课，采用问题推进式的方式引导学生积极思考从而为接下来概念的理解和学习做铺垫，使学生认识到数学源于实践。 二． 新知构建

1.

球面距离定义的给出：

可以证明，通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面上的最短路径，我们把它的长度定义为两点间的球面距离。 由于严格证明“通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面上的最短路径”在本书附录中，所以以学生所学习的现有知识，是可以看懂的。所以在这里可以让学生就这个问题进行分组讨论和研究，由学生代表进行讲解，教师适当作出指导。 从而得出重要结论：

球面上经过任意两点的劣弧中，半径越大，劣弧越短． 2、强化定义，落实关键词：

练习：判断图中联结A、B两点的红色曲线的长度是否A、B间的球面距离？ 3、球面距离的计算：

复习扇形的弧长公式，得到两点间球面距离的计算方法： Rl（其中为∠AOB的弧度，R为球半径） （1）.位于同一经线上两点的球面距离 例1.

求东经057线上，纬度分别为北纬038和o68的两地A，B的球面距离．

这一环节可以加深对球面距离的定义的理解，在讨论中激发学生学习兴趣，并帮助学生掌握为什么在所有的弧中大圆劣

弧最短。

加深对定义中的关键词：“大圆”、“劣弧”的理解。 通过两个例题，让学生学习球面上两点间距离的计算方法，位于同一经线上两点的球面距离

ONSEAB（2）位于同一纬线上两点的球面距离 例2

假设地球的半径为R，如图，在北纬45°的纬线上有A，B两点，且

AB弧所对的圆心角∠AOB=90°，求球面上A，B两点间的距离．

根据以前所学习的知识，学生可研究讨论自主求出，可找学生代表进行讲解。

由于不在同一直线上的三点唯一确定一个圆，因此国球面上两点必可连一条大圆弧—劣弧，且只可连一条大圆弧—劣弧，这类似平面上经过两点可以连一条直线，且只可连一条直线，平面上最短路径是线段，因此球面上的大圆可以扮演平面上直线的角色。尽管球面上的大圆可以扮演平面上的直线的角色，但是两者之间也有很大的不同，平面上两条直线可以相交；且只有一个焦点，也可以不想交，但球面上任意两个球大圆必定相交，且有两个交点。

学生讨论：为什么球面上两个大圆必定相交，且有两个交点？

此题是位于同一纬度上的两点间的球面距离问题，在学生讨论研究过程中帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识

此处引出对径点的概念

，在这个过程中帮助学生的讨论过程中使学生对球面距离的定义加深理解。 叫对径点，’AA四. 小结

1.由在平面上的距离引出球面上的距离的定义． 2.球面距离公式lR

3.两种形式的球面距离的求解 (1).位于同一经线上两点的球面距离 方法：直接代公式

(2).位于同一纬线上两点的球面距离

方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化为弧度，最后代公式。 4.对径点

此处由学生进行进行总结，老师加以补充。 五. 作业布置

已知地球半径为00km，北京位于北纬o40，东经

o116，分别求北京到赤道，北极和南极的距离(用计算器结果精确到1km）

课堂小结的设置，可以帮助学生回顾本节课所学习的内容，让学生加深对本节课重点难点的理解

左右的布置主要是巩固本节课所学习内容给。 五．教学设计说明

学生在以前的学习中经历过将“平面上两点间的最短路径是连接这两点的线段”这一概念直接引入的过程，所以我设计了通过实验和类比来了解球面距离概念的环节，并借用多媒体技术，使球面距离更直观化，让学生更好地体会将空间中的计算转换为平面上的问题求解的方法。 另外，

结合一定的地理知识，将地球上同经度或同纬度两点间的距离转换为数学问题，即两点的球面距离，使学生体验“由此及彼、由表及里”这一认识事物的一般过程。为了达到教学目标，我通过设计实验、制作多媒体课件使概念更直观化；并从理解、掌握、应用三个层次进行教学，分层递进。同时，为了体现学生的主体性，以兴趣、动机、态度、思维来支撑整个学习过程，在教学中我尽可能让学生在互动中得到正确的结论，用成就感激发他们学习的热情。同时将例题的背景切换成当时发生不久的青海玉树地震时的一则新闻报道，更

贴近生活，容易引起学生的兴趣和思考。

通过这样的教学设计，期望学生能积极参与整个教学过程，完成教学目标并发挥主体作用。从知识结构、认知结构的完善中提高思维品质并学习如何科学的表达。对学有余力的同学可在课后探究不同经纬度的两点间球面距离的求法，拓展课堂教学。