双曲线的简单几何性质(教案)

教案

普通高中课程标准选修2-1

教材的地位与作用

本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。 二、教学目标 （一）知识与技能

1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。 2、理解双曲线的渐近线。 （二）过程与方法

通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。 （三）情感态度与价值观

让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。 三、 教学重点难点

双曲线的渐近线既是重点也是难点。 四、 教学过程 (一)课题引入

1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。） 今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。

x2y2【板书】：双曲线221(a0,b0)的性质

ab2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。）

3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。（讨论） （二）双曲线的性质

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1、范围：

x2y2x2y2把双曲线方程221变形为212。

ababy2x222因为20，因此21，即xa，所以xa或xa。

bay2又因为20，故yR。

b【板书】：1、范围：xa或xa，yR。 2、对称性：

x2y2下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线221的标准方程，

ab判断它的对称性？

在标准方程中，把x换成x，或把y换成y，或把x，y同时换成x，y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴和原点都是对称的。

【板书】：2、对称性：双曲线的对称轴是x轴、y轴，原点是它的对称中心。 3、顶点：

提问：（1）双曲线有几个顶点？顶点的坐标是什么？

x2y2在标准方程221中，令y0得xa；令x0，则y无解。

ab这说明双曲线有两个顶点，A1(a,0),A2(a,0)。

x2y2（2）如图，对称轴上位于两顶点间的线段A1A2叫做双曲线221的实轴，其长度

ab为2a。尽管此双曲线与y轴无公共点，但y轴上的两个特殊的点B1(0,b),B2(0,b)。我们称线段B1B2为双曲线的虚轴，其长度为2b。

【板书】：3、顶点：A1(a,0),A2(a,0)，称A1A2为实轴，B1B2为虚轴，其中B1(0,b),B2(0,b)。

x2y2特别地，当ab时，双曲线221的实轴长与虚轴长相等，称其为等轴双曲线

abx2y2a2。

4、离心率

【板书】：4、定义双曲线的焦距与实轴长的比ec，叫做双曲线的离心率。 a提问：（1）双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同？

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（2）双曲线的形状与离心率有什么关系？

cc2a2b2b2b22211 由等式cab，可知：e

aa2a2a2a2【板书】：双曲线的离心率e1且e越大双曲线的开口就越开阔。 5、渐近线：

提问：（1）椭圆与双曲线还有一个最大的不同是曲线的范围及其走向。曲线的范围与走向是我们研究曲线性质的一个重要方面，因为它可以为我们绘制曲线的草图提供依据，那么请大家想一想双曲线的走向是什么样的呢？谁能比较准确地画出双曲线？

x2y2b2在第一象限内双曲线221可以化为yxa2，是增函数。

aba因为x2a2x2，所以y么？（它表示直线yb2b2bbxa2xx，即yx，这个不等式意味着什aaaab） x下方半个平面区域。

ab） x，然后指出区域。

a（用刚才作矩形的方法画出两条直线y由于双曲线和直线ybbx都关于坐标轴对称，所以双曲线（两支）在直线yx之aa间，这样，我们进一步缩小了双曲线所在区域的范围。

x2y2b提问：（2）直线yx与双曲线221有什么联系呢？

aba（用几何画板课件演示）：

随着x无限增大时，点M(x,y)到直线ybx的距离就无限趋于零。 ax2y2b【板书】：5、渐近线：直线yx叫做双曲线221(a0,b0)的渐近线；直线

abay2x2ayx叫做双曲线221(a0,b0)的渐近线。

abb练习：求下列双曲线的渐近线方程（写成直线的一般式）。

（1）4x29y236 的渐近线方程是：2x3y0 （2）4x29y236的渐近线方程是： 2x3y0 （3）25x24y2100的渐近线方程是： 5x2y0

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（4）25x24y2100的渐近线方程是：5x2y0 可以发现，双曲线方程与其渐近线之间似乎存在某种规律。 （启发学生讨论，归纳）。

把双曲线方程中的常数项改为零，会怎样呢？

x2y2xyxy0，即0，这就表示两条渐近线 22ababab

xyxy0或0。 abab【板书】：结论：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，然后变形，即可得其渐近线方程。 （三）小结

标准方程 图形 焦点 范围 性质 对称性 顶点 xa或xa，yR 关于x轴，y轴，原点都对称 离心率 渐近线 （四）典型例题与变式训练 例1、 求双曲线9y216x2144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

y2x2解：把方程9y16x144化为标准方程221

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由此可知，半实轴长a4，半虚轴长b3； 焦点坐标是(0,5),(0,5)；离心率ec54；渐近线方程为yx。 a43归纳总结：首先把方程化为标准方程，看准焦点在哪条轴上，得到a,b,c的值，再由双曲线的几何性质求解。

【变式训练】：求双曲线9y216x2144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心

率、渐近线方程。

例2、 求适合下列条件的双曲线标准方程

（1） 顶点在x轴上，虚轴长为12，离心率为

5； 43（2） 顶点间距离为6，渐近线方程为yx；

2x2y2解：（1）设双曲线的标准方程为221 (a0,b0)。

ab由题意知2b12，

c5且c2a2b2。 a4∴b6,c10,a8,

x2y21。 ∴所求双曲线方程为

6436（2）当焦点在x轴上时，由

b39且a3，∴ b。 a22x24y21 ∴所求双曲线方程为981当焦点在y轴上时，由

a3且a3，∴b2。 b2y2x2∴所求双曲线方程为1

94归纳总结：首先观察条件能否确定焦点位置，再采用待定系数法设出所求双曲线的标准方程，在由条件求出a,b,c即可。

【变式训练】：2、求符合下列条件的双曲线的标准方程：

（1） 顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，e5； 45word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

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（2） 焦距是16，e（五）课堂总结

4。 3椭圆 双曲线 （六）作业：教材

图形 第61页：习题

标准方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 设计 2.3，第

xa或xa，yR 关于x轴，y轴，原点都对称 2、3两题。 五、 板

书

关于x轴，y轴，原点都对称 无 六、 课堂设计说明

x2y25、结论： 1(a0,b0)双曲线的性质 1、本节课的内容是通过双曲线标准方程推导研究双曲线的几何性质，采用类比椭a2b2圆的几何性质的推导方法，让学生自己推导出双曲线的几何性质。在教学中，凡1、范围：xa或xa，yR。

例题

是经过努力学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，这样有利于调动学生学课堂训练 2、对称性：双曲线的对称轴是x轴、y轴，

习的积极性，有利于激发学生的学习兴趣，使学生的主动性得到淋漓尽致的发挥，3、顶点：A1(a,0),A2(a,0)，称A1A2为实

从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。

B1B2为虚轴，其中B1(0,b),B2(0,b)。轴， 2、本节课的难点是双曲线的渐近线，故采取了有目的的，精心巧妙地存疑设问，b4、渐近线：直线yx叫做… 用悬念激发学生的情趣，促进思考。结合学生实际，把“共渐近线的双曲线” 、a“离心率的问题”放到下一节课来完成。 七、课后反思：

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