2021-2022年高考数学专题复习导练测 第五章 平面向量章末检测 理 新人教A版

人教A版

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则 ( )

→→→A.AD＋BE＋CF＝0 →→→B.BD－CF＋DF＝0 →→→C.AD＋CE－CF＝0 →→→D.BD－BE－FC＝0

2．(xx·金华月考)已知a＝(cos 40°，sin 40°)，b＝(sin 20°，cos 20°)，则a·b等于 ( )

3 2

1C. 2

2 2

A．1 B. D.

→→

3.已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，若a·b<0，则△ABC是 ( )

A．钝角三角形 C．锐角三角形

B．直角三角形 D．任意三角形

4．(xx·山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令( ) 实用文档

a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是

A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a

C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2

5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已

知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 ( )

A．6

B．2

C．25

D．27

6．(xx·广东)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于( )

A．6

B．5

C．4

D．3

→→

7.（xx·辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设OA＝a，OB＝b，则△OAB的面积等于 ( )

A.|a||b|－a·b1

|a|2|b|2－a·b2

222

B.|a||b|＋a·b122

|a||b|＋a·b2

222

C.

2

D.

2

→→

8.O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP＝OA→→

＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的 ( )

A．外心 实用文档

B．内心

C．重心 D．垂心

3π

9．已知a＝(sin θ，1＋cos θ)，b＝(1，1－cos θ)，其中θ∈π，，

2则一定有 ( )

A．a∥b

B．a⊥b D．|a|＝|b|

C．a与b的夹角为45°

10．(xx·湖南师大附中月考)若|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a，b的夹角为( )

A．45°

B．60°

C．120°

D．135°

11．(xx·广州模拟)已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1，3)，则|a＋b|的最大值( )

A．1

B.3

C．3

D．9

12．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则

c＝( )

77A.， 937，7C. 39

题 1 号 答

77

B.－，－

93

－7，－7D.

39

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 案 实用文档

13．(xx·江西)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.

14．(xx·舟山调研)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．

→→→→→

15.（xx·天津）如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，则AC·AD＝________.

→→

16.（xx·济南模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若AB·AC→→

＝BA·BC＝1，那么c＝________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)(xx·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)．

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； →→→

（2）设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．

18．(12分)已知A、B、C的坐标分别为A(4,0)，B(0,4)，C(3cos α，3sin α)．

→→

（1）若α∈,且|AB|＝|BC|，求角α的大小； 2sin2α＋sin 2α→→

（2）若AC⊥BC，求的值．

1＋tan α实用文档

19．(12分)(xx·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin

A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.

(1)求A的大小；

(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．

π＋x→π－x→

20（12分）已知向量OP＝2cos，－1，OQ＝－sin，cos 2x，定

22

→→

义函数f(x)＝OP·OQ.

(1)求函数f(x)的表达式，并指出其最大值和最小值；

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1，bc＝8，求△

ABC的面积S.

21．(12分)(xx·衡阳月考)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以

103n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

实用文档

22．(12分)(xx·天津一中高三第四次月考)设A，B，C为△ABC的三个内角，m＝

(sin B＋sin C,0)，n＝(0，sin A)且|m|2－|n|2＝sin Bsin C.

(1)求角A的大小；

(2)求sin B＋sin C的取值范围．

2．B [由数量积的坐标表示知

a·b＝cos 40°sin 20°＋sin 40°cos 20°

3.] 2

＝sin 60°＝

4．B [∵a⊙b＝mq－np，b⊙a＝np－mq， ∴a⊙b≠b⊙a.]

22

5．D [因为F27.] 3＝F1＋F2－2|F1||F2|cos(180°－60°)＝28，所以|F3|＝26．C [∵(8a－b)＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)， ∴(8a－b)·c＝6×3＋3x＝30，∴x＝4.] 1

7．C [S△OAB＝|a||b|sin〈a，b〉

21

＝|a||b|1－cos2〈a，b〉 2实用文档

1

＝|a||b| 2

a·b21－

|a|2|b|2＝

1

|a|2|b|2－a·b2

2

.]

3π

9．B [a·b＝sin θ＋|sin θ|，∵θ∈π，，

2∴|sin θ|＝－sin θ，∴a·b＝0，∴a⊥b.] 10．A [由a⊥(a－b)，得a－a·b＝0， 即a2＝a·b，所以|a|2＝|a||b|cos θ.

2

， 2

2

因为|a|＝1，|b|＝2，所以cos θ＝

又θ∈[0°，180°]，所以θ＝45°.] 11．C [由a＋b＝(sin x＋1，cos x＋3)， 得|a＋b|＝

sin x＋1

2

＋cos x＋3

2

＝2sin x＋23cos x＋5

＝13

4sin x＋cos x＋5

22π

4sinx＋＋5≤4＋5＝3.]

3

＝12．D [设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b， 实用文档

∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)，

∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.② 由①②解得x＝－77

9，y＝－3.]

13.3

解析 如图，a＝→OA，b＝→OB，a－b＝→OA－→OB＝→

BA，由余弦定理得，14．北偏东30° 3a

解析 如图所示，

设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，

则BC＝tv，AC＝3tv，B＝120°， 由正弦定理知

BCACsin∠CAB＝sin B，

∴

tv3sin∠CAB＝tvsin 120°

，

∴sin∠CAB＝1

2，∴∠CAB＝30°，

∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝a， ∴AC2

＝AB2

＋BC2

－2AB·BCcos 120°

实用文档

a－b|＝3. |12222

＝a＋a－2a·－＝3a，

2

∴AC＝3a. 15.3

.

16.2

解析 设AB＝c，AC＝b，BC＝a， →→→→由AB·AC＝BA·BC 得：cbcos A＝cacos B.

由正弦定理得：sin Bcos A＝cos Bsin A， 即sin(B－A)＝0，因为－π→→

由已知BA·BC]＝1 得：accos B＝1，

a2＋c2－b2

由余弦定理得：ac＝1，

2ac即a2＋c2－b2＝2，所以c＝2. →

17．方法一 由题意知AB＝(3,5)， →

AC＝(－1,1)，

实用文档

→→→→

则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．……………………………………………………(3分)

所以，＝42.

故所求的两条对角线的长分别为210、42.…………………………………………(6分)

方法二 设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为B、C的中点，E(0,1)，又E(0,1)为A、D的中点，所以D(1,4)．

故所求的两条对角线的长分别为

BC＝42，AD＝210.……………………………………………………………………

(6分)

→

（2）由题设知：OC＝(－2，－1)， →

→

AB－tOC＝(3＋2t,5＋t)．………………………………………………………………

(8分)

→→→

由(AB－tOC)·OC＝0，得： (3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，

11

从而5t＝－11，所以t＝－.…………………………………………………………

5(10分)

实用文档

19．解 (1)由已知，根据正弦定理得 2a＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，

即a2＝b2＋c2＋bc.………………………………………………………………………(4分)

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 1

故cos A＝－，∵A∈(0°，180°)

2

∴A＝120°.………………………………………………………………………………(6分)

(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.

1

又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝.………………………………………………

2(9分)

因为0°所以△ABC是等腰的钝角三角形．……………………………………………………(12

2

实用文档

分)

→→

20．解 （1）f(x) ＝OP·OQ＝(－2sin x，－1)·(－cos x，cos 2x)＝sin 2x－cos 2x

＝

2

π

sin2x－，…………………………………………………………………………(4分)

4

∴

f(x)的最大值和最小值分别是2和－

2.……………………………………………(6分) π2

(2)∵f(A)＝1，∴sin2A－＝.

42πππ3π

∴2A－＝或2A－＝.

4444

ππ

∴A＝或A＝.…………………………………………………………………………

42(9分)

π

又∵△ABC为锐角三角形，∴A＝.∵bc＝8，

4

112

∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×＝22.……………………………………

222(12分)

21．解 设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图(如图所示)，

则有CD＝103t，BD＝10t， 实用文档

在△ABC中，

∵AB＝3－1，AC＝2， ∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC

＝

(

3

－

1)

2

＋2

2

－2×(3－1)×2×cos 120°＝

6，……………………………………(4分)

∴BC＝6，且sin∠ABC＝sin∠BAC

ACBC＝

26

×32＝， 22

∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．………………………………………………(8分)

∵∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，得

sin∠BCD＝BDsin∠CBD

CD＝10tsin 120°1

＝， 2103t∴∠BCD＝30°，即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．…………………(12分)

22．解 (1)∵|m|2－|n|2＝(sin B＋sin C)2－sin2A

＝sin2B＋sin2C－sin2A＋2sin Bsin C……………………………………………………

实用文档

(3分)

依题意有，

sinB＋sinC－sinA＋2sin Bsin C＝sin Bsin C，

∴sin2B＋sin2C－sin2A＝－sin Bsin C，…………………………………………………(6分)

由正弦定理得：b2＋c2－a2＝－bc，

2

2

2

b2＋c2－a2－bc1∴cos A＝＝＝－，∵A∈(0，π)

2bc2bc2

2π

所以A＝.………………………………………………………………………………

3(8分)

2ππ

(2)由(1)知，A＝，∴B＋C＝，

33

π

∴sin B＋sin C＝sin B＋sin－B

3

13π＝sin B＋cos B＝sinB＋.………………………………………………………

322(10分)

ππ

∵B＋C＝，∴033

ππ2π3π

则33332

即sin B＋sin C的取值范围为

3

，1.……………………………………………(122

分) 实用文档