人教A版
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.如图,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则 ( )
→→→A.AD+BE+CF=0 →→→B.BD-CF+DF=0 →→→C.AD+CE-CF=0 →→→D.BD-BE-FC=0
2.(xx·金华月考)已知a=(cos 40°,sin 40°),b=(sin 20°,cos 20°),则a·b等于 ( )
3 2
1C. 2
2 2
A.1 B. D.
→→
3.已知△ABC中,AB=a,AC=b,若a·b<0,则△ABC是 ( )
A.钝角三角形 C.锐角三角形
B.直角三角形 D.任意三角形
4.(xx·山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令( ) 实用文档
a⊙b=mq-np,下面说法错误的是
A.若a与b共线,则a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a
C.对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D.(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b|2
5.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已
知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为 ( )
A.6
B.2
C.25
D.27
6.(xx·广东)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x等于( )
A.6
B.5
C.4
D.3
→→
7.(xx·辽宁)平面上O,A,B三点不共线,设OA=a,OB=b,则△OAB的面积等于 ( )
A.|a||b|-a·b1
|a|2|b|2-a·b2
222
B.|a||b|+a·b122
|a||b|+a·b2
222
C.
2
D.
2
→→
8.O是平面上一定点,A、B、C是该平面上不共线的3个点,一动点P满足:OP=OA→→
+λ(AB+AC),λ∈(0,+∞),则直线AP一定通过△ABC的 ( )
A.外心 实用文档
B.内心
C.重心 D.垂心
3π
9.已知a=(sin θ,1+cos θ),b=(1,1-cos θ),其中θ∈π,,
2则一定有 ( )
A.a∥b
B.a⊥b D.|a|=|b|
C.a与b的夹角为45°
10.(xx·湖南师大附中月考)若|a|=1,|b|=2,且a⊥(a-b),则向量a,b的夹角为( )
A.45°
B.60°
C.120°
D.135°
11.(xx·广州模拟)已知向量a=(sin x,cos x),向量b=(1,3),则|a+b|的最大值( )
A.1
B.3
C.3
D.9
12.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则
c=( )
77A., 937,7C. 39
题 1 号 答
77
B.-,-
93
-7,-7D.
39
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 案 实用文档
13.(xx·江西)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a-b|=________.
14.(xx·舟山调研)甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的3倍,则甲船应取方向__________才能追上乙船;追上时甲船行驶了________海里.
→→→→→
15.(xx·天津)如图所示,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=1,则AC·AD=________.
→→
16.(xx·济南模拟)在△ABC中,角A、B、C对应的边分别为a、b、c,若AB·AC→→
=BA·BC=1,那么c=________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)(xx·江苏)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1).
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; →→→
(2)设实数t满足(AB-tOC)·OC=0,求t的值.
18.(12分)已知A、B、C的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C(3cos α,3sin α).
→→
(1)若α∈,且|AB|=|BC|,求角α的大小; 2sin2α+sin 2α→→
(2)若AC⊥BC,求的值.
1+tan α实用文档
19.(12分)(xx·辽宁)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin
A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.
(1)求A的大小;
(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.
π+x→π-x→
20(12分)已知向量OP=2cos,-1,OQ=-sin,cos 2x,定
22
→→
义函数f(x)=OP·OQ.
(1)求函数f(x)的表达式,并指出其最大值和最小值;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=1,bc=8,求△
ABC的面积S.
21.(12分)(xx·衡阳月考)在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A处(3-1)n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以
103n mile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?
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22.(12分)(xx·天津一中高三第四次月考)设A,B,C为△ABC的三个内角,m=
(sin B+sin C,0),n=(0,sin A)且|m|2-|n|2=sin Bsin C.
(1)求角A的大小;
(2)求sin B+sin C的取值范围.
2.B [由数量积的坐标表示知
a·b=cos 40°sin 20°+sin 40°cos 20°
3.] 2
=sin 60°=
4.B [∵a⊙b=mq-np,b⊙a=np-mq, ∴a⊙b≠b⊙a.]
22
5.D [因为F27.] 3=F1+F2-2|F1||F2|cos(180°-60°)=28,所以|F3|=26.C [∵(8a-b)=(8,8)-(2,5)=(6,3), ∴(8a-b)·c=6×3+3x=30,∴x=4.] 1
7.C [S△OAB=|a||b|sin〈a,b〉
21
=|a||b|1-cos2〈a,b〉 2实用文档
1
=|a||b| 2
a·b21-
|a|2|b|2=
1
|a|2|b|2-a·b2
2
.]
3π
9.B [a·b=sin θ+|sin θ|,∵θ∈π,,
2∴|sin θ|=-sin θ,∴a·b=0,∴a⊥b.] 10.A [由a⊥(a-b),得a-a·b=0, 即a2=a·b,所以|a|2=|a||b|cos θ.
2
, 2
2
因为|a|=1,|b|=2,所以cos θ=
又θ∈[0°,180°],所以θ=45°.] 11.C [由a+b=(sin x+1,cos x+3), 得|a+b|=
sin x+1
2
+cos x+3
2
=2sin x+23cos x+5
=13
4sin x+cos x+5
22π
4sinx++5≤4+5=3.]
3
=12.D [设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b, 实用文档
∴2(y+2)+3(x+1)=0.① 又c⊥(a+b),
∴(x,y)·(3,-1)=3x-y=0.② 由①②解得x=-77
9,y=-3.]
13.3
解析 如图,a=→OA,b=→OB,a-b=→OA-→OB=→
BA,由余弦定理得,14.北偏东30° 3a
解析 如图所示,
设到C点甲船追上乙船,乙到C地用的时间为t,乙船速度为v,
则BC=tv,AC=3tv,B=120°, 由正弦定理知
BCACsin∠CAB=sin B,
∴
tv3sin∠CAB=tvsin 120°
,
∴sin∠CAB=1
2,∴∠CAB=30°,
∴∠ACB=30°,∴BC=AB=a, ∴AC2
=AB2
+BC2
-2AB·BCcos 120°
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a-b|=3. |12222
=a+a-2a·-=3a,
2
∴AC=3a. 15.3
.
16.2
解析 设AB=c,AC=b,BC=a, →→→→由AB·AC=BA·BC 得:cbcos A=cacos B.
由正弦定理得:sin Bcos A=cos Bsin A, 即sin(B-A)=0,因为-π→→
由已知BA·BC]=1 得:accos B=1,
a2+c2-b2
由余弦定理得:ac=1,
2ac即a2+c2-b2=2,所以c=2. →
17.方法一 由题意知AB=(3,5), →
AC=(-1,1),
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→→→→
则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).……………………………………………………(3分)
所以,=42.
故所求的两条对角线的长分别为210、42.…………………………………………(6分)
方法二 设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则E为B、C的中点,E(0,1),又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4).
故所求的两条对角线的长分别为
BC=42,AD=210.……………………………………………………………………
(6分)
→
(2)由题设知:OC=(-2,-1), →
→
AB-tOC=(3+2t,5+t).………………………………………………………………
(8分)
→→→
由(AB-tOC)·OC=0,得: (3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,
11
从而5t=-11,所以t=-.…………………………………………………………
5(10分)
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19.解 (1)由已知,根据正弦定理得 2a=(2b+c)b+(2c+b)c,
即a2=b2+c2+bc.………………………………………………………………………(4分)
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 1
故cos A=-,∵A∈(0°,180°)
2
∴A=120°.………………………………………………………………………………(6分)
(2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C.
1
又sin B+sin C=1,得sin B=sin C=.………………………………………………
2(9分)
因为0°所以△ABC是等腰的钝角三角形.……………………………………………………(12
2
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分)
→→
20.解 (1)f(x) =OP·OQ=(-2sin x,-1)·(-cos x,cos 2x)=sin 2x-cos 2x
=
2
π
sin2x-,…………………………………………………………………………(4分)
4
∴
f(x)的最大值和最小值分别是2和-
2.……………………………………………(6分) π2
(2)∵f(A)=1,∴sin2A-=.
42πππ3π
∴2A-=或2A-=.
4444
ππ
∴A=或A=.…………………………………………………………………………
42(9分)
π
又∵△ABC为锐角三角形,∴A=.∵bc=8,
4
112
∴△ABC的面积S=bcsin A=×8×=22.……………………………………
222(12分)
21.解 设缉私船用t h在D处追上走私船,画出示意图(如图所示),
则有CD=103t,BD=10t, 实用文档
在△ABC中,
∵AB=3-1,AC=2, ∠BAC=120°, ∴由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC
=
(
3
-
1)
2
+2
2
-2×(3-1)×2×cos 120°=
6,……………………………………(4分)
∴BC=6,且sin∠ABC=sin∠BAC
ACBC=
26
×32=, 22
∴∠ABC=45°,∴BC与正北方向垂直.………………………………………………(8分)
∵∠CBD=90°+30°=120°, 在△BCD中,由正弦定理,得
sin∠BCD=BDsin∠CBD
CD=10tsin 120°1
=, 2103t∴∠BCD=30°,即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.…………………(12分)
22.解 (1)∵|m|2-|n|2=(sin B+sin C)2-sin2A
=sin2B+sin2C-sin2A+2sin Bsin C……………………………………………………
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(3分)
依题意有,
sinB+sinC-sinA+2sin Bsin C=sin Bsin C,
∴sin2B+sin2C-sin2A=-sin Bsin C,…………………………………………………(6分)
由正弦定理得:b2+c2-a2=-bc,
2
2
2
b2+c2-a2-bc1∴cos A===-,∵A∈(0,π)
2bc2bc2
2π
所以A=.………………………………………………………………………………
3(8分)
2ππ
(2)由(1)知,A=,∴B+C=,
33
π
∴sin B+sin C=sin B+sin-B
3
13π=sin B+cos B=sinB+.………………………………………………………
322(10分)
ππ
∵B+C=,∴033
ππ2π3π
则33332
即sin B+sin C的取值范围为
3
,1.……………………………………………(122
分) 实用文档
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