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2021-2022年高考数学专题复习导练测 第五章 平面向量章末检测 理 新人教A版

来源:抵帆知识网
2021年高考数学专题复习导练测 第五章 平面向量章末检测 理 新

人教A版

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.如图,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则 ( )

→→→A.AD+BE+CF=0 →→→B.BD-CF+DF=0 →→→C.AD+CE-CF=0 →→→D.BD-BE-FC=0

2.(xx·金华月考)已知a=(cos 40°,sin 40°),b=(sin 20°,cos 20°),则a·b等于 ( )

3 2

1C. 2

2 2

A.1 B. D.

→→

3.已知△ABC中,AB=a,AC=b,若a·b<0,则△ABC是 ( )

A.钝角三角形 C.锐角三角形

B.直角三角形 D.任意三角形

4.(xx·山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令( ) 实用文档

a⊙b=mq-np,下面说法错误的是

A.若a与b共线,则a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a

C.对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D.(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b|2

5.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已

知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为 ( )

A.6

B.2

C.25

D.27

6.(xx·广东)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x等于( )

A.6

B.5

C.4

D.3

→→

7.(xx·辽宁)平面上O,A,B三点不共线,设OA=a,OB=b,则△OAB的面积等于 ( )

A.|a||b|-a·b1

|a|2|b|2-a·b2

222

B.|a||b|+a·b122

|a||b|+a·b2

222

C.

2

D.

2

→→

8.O是平面上一定点,A、B、C是该平面上不共线的3个点,一动点P满足:OP=OA→→

+λ(AB+AC),λ∈(0,+∞),则直线AP一定通过△ABC的 ( )

A.外心 实用文档

B.内心

C.重心 D.垂心

3π

9.已知a=(sin θ,1+cos θ),b=(1,1-cos θ),其中θ∈π,,

2则一定有 ( )

A.a∥b

B.a⊥b D.|a|=|b|

C.a与b的夹角为45°

10.(xx·湖南师大附中月考)若|a|=1,|b|=2,且a⊥(a-b),则向量a,b的夹角为( )

A.45°

B.60°

C.120°

D.135°

11.(xx·广州模拟)已知向量a=(sin x,cos x),向量b=(1,3),则|a+b|的最大值( )

A.1

B.3

C.3

D.9

12.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则

c=( )

77A., 937,7C. 39

题 1 号 答

77

B.-,-

93

-7,-7D.

39

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 案 实用文档

13.(xx·江西)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a-b|=________.

14.(xx·舟山调研)甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的3倍,则甲船应取方向__________才能追上乙船;追上时甲船行驶了________海里.

→→→→→

15.(xx·天津)如图所示,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=1,则AC·AD=________.

→→

16.(xx·济南模拟)在△ABC中,角A、B、C对应的边分别为a、b、c,若AB·AC→→

=BA·BC=1,那么c=________.

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)(xx·江苏)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1).

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; →→→

(2)设实数t满足(AB-tOC)·OC=0,求t的值.

18.(12分)已知A、B、C的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C(3cos α,3sin α).

→→

(1)若α∈,且|AB|=|BC|,求角α的大小; 2sin2α+sin 2α→→

(2)若AC⊥BC,求的值.

1+tan α实用文档

19.(12分)(xx·辽宁)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin

A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.

(1)求A的大小;

(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.

π+x→π-x→

20(12分)已知向量OP=2cos,-1,OQ=-sin,cos 2x,定

22

→→

义函数f(x)=OP·OQ.

(1)求函数f(x)的表达式,并指出其最大值和最小值;

(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=1,bc=8,求△

ABC的面积S.

21.(12分)(xx·衡阳月考)在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A处(3-1)n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以

103n mile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?

实用文档

22.(12分)(xx·天津一中高三第四次月考)设A,B,C为△ABC的三个内角,m=

(sin B+sin C,0),n=(0,sin A)且|m|2-|n|2=sin Bsin C.

(1)求角A的大小;

(2)求sin B+sin C的取值范围.

2.B [由数量积的坐标表示知

a·b=cos 40°sin 20°+sin 40°cos 20°

3.] 2

=sin 60°=

4.B [∵a⊙b=mq-np,b⊙a=np-mq, ∴a⊙b≠b⊙a.]

22

5.D [因为F27.] 3=F1+F2-2|F1||F2|cos(180°-60°)=28,所以|F3|=26.C [∵(8a-b)=(8,8)-(2,5)=(6,3), ∴(8a-b)·c=6×3+3x=30,∴x=4.] 1

7.C [S△OAB=|a||b|sin〈a,b〉

21

=|a||b|1-cos2〈a,b〉 2实用文档

1

=|a||b| 2

a·b21-

|a|2|b|2=

1

|a|2|b|2-a·b2

2

.]

3π

9.B [a·b=sin θ+|sin θ|,∵θ∈π,,

2∴|sin θ|=-sin θ,∴a·b=0,∴a⊥b.] 10.A [由a⊥(a-b),得a-a·b=0, 即a2=a·b,所以|a|2=|a||b|cos θ.

2

, 2

2

因为|a|=1,|b|=2,所以cos θ=

又θ∈[0°,180°],所以θ=45°.] 11.C [由a+b=(sin x+1,cos x+3), 得|a+b|=

sin x+1

2

+cos x+3

2

=2sin x+23cos x+5

=13

4sin x+cos x+5

22π

4sinx++5≤4+5=3.]

3

=12.D [设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b, 实用文档

∴2(y+2)+3(x+1)=0.① 又c⊥(a+b),

∴(x,y)·(3,-1)=3x-y=0.② 由①②解得x=-77

9,y=-3.]

13.3

解析 如图,a=→OA,b=→OB,a-b=→OA-→OB=→

BA,由余弦定理得,14.北偏东30° 3a

解析 如图所示,

设到C点甲船追上乙船,乙到C地用的时间为t,乙船速度为v,

则BC=tv,AC=3tv,B=120°, 由正弦定理知

BCACsin∠CAB=sin B,

tv3sin∠CAB=tvsin 120°

∴sin∠CAB=1

2,∴∠CAB=30°,

∴∠ACB=30°,∴BC=AB=a, ∴AC2

=AB2

+BC2

-2AB·BCcos 120°

实用文档

a-b|=3. |12222

=a+a-2a·-=3a,

2

∴AC=3a. 15.3

.

16.2

解析 设AB=c,AC=b,BC=a, →→→→由AB·AC=BA·BC 得:cbcos A=cacos B.

由正弦定理得:sin Bcos A=cos Bsin A, 即sin(B-A)=0,因为-π→→

由已知BA·BC]=1 得:accos B=1,

a2+c2-b2

由余弦定理得:ac=1,

2ac即a2+c2-b2=2,所以c=2. →

17.方法一 由题意知AB=(3,5), →

AC=(-1,1),

实用文档

→→→→

则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).……………………………………………………(3分)

所以,=42.

故所求的两条对角线的长分别为210、42.…………………………………………(6分)

方法二 设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则E为B、C的中点,E(0,1),又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4).

故所求的两条对角线的长分别为

BC=42,AD=210.……………………………………………………………………

(6分)

(2)由题设知:OC=(-2,-1), →

AB-tOC=(3+2t,5+t).………………………………………………………………

(8分)

→→→

由(AB-tOC)·OC=0,得: (3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,

11

从而5t=-11,所以t=-.…………………………………………………………

5(10分)

实用文档

19.解 (1)由已知,根据正弦定理得 2a=(2b+c)b+(2c+b)c,

即a2=b2+c2+bc.………………………………………………………………………(4分)

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 1

故cos A=-,∵A∈(0°,180°)

2

∴A=120°.………………………………………………………………………………(6分)

(2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C.

1

又sin B+sin C=1,得sin B=sin C=.………………………………………………

2(9分)

因为0°所以△ABC是等腰的钝角三角形.……………………………………………………(12

2

实用文档

分)

→→

20.解 (1)f(x) =OP·OQ=(-2sin x,-1)·(-cos x,cos 2x)=sin 2x-cos 2x

2

π

sin2x-,…………………………………………………………………………(4分)

4

f(x)的最大值和最小值分别是2和-

2.……………………………………………(6分) π2

(2)∵f(A)=1,∴sin2A-=.

42πππ3π

∴2A-=或2A-=.

4444

ππ

∴A=或A=.…………………………………………………………………………

42(9分)

π

又∵△ABC为锐角三角形,∴A=.∵bc=8,

4

112

∴△ABC的面积S=bcsin A=×8×=22.……………………………………

222(12分)

21.解 设缉私船用t h在D处追上走私船,画出示意图(如图所示),

则有CD=103t,BD=10t, 实用文档

在△ABC中,

∵AB=3-1,AC=2, ∠BAC=120°, ∴由余弦定理,得

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC

(

3

1)

2

+2

2

-2×(3-1)×2×cos 120°=

6,……………………………………(4分)

∴BC=6,且sin∠ABC=sin∠BAC

ACBC=

26

×32=, 22

∴∠ABC=45°,∴BC与正北方向垂直.………………………………………………(8分)

∵∠CBD=90°+30°=120°, 在△BCD中,由正弦定理,得

sin∠BCD=BDsin∠CBD

CD=10tsin 120°1

=, 2103t∴∠BCD=30°,即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.…………………(12分)

22.解 (1)∵|m|2-|n|2=(sin B+sin C)2-sin2A

=sin2B+sin2C-sin2A+2sin Bsin C……………………………………………………

实用文档

(3分)

依题意有,

sinB+sinC-sinA+2sin Bsin C=sin Bsin C,

∴sin2B+sin2C-sin2A=-sin Bsin C,…………………………………………………(6分)

由正弦定理得:b2+c2-a2=-bc,

2

2

2

b2+c2-a2-bc1∴cos A===-,∵A∈(0,π)

2bc2bc2

所以A=.………………………………………………………………………………

3(8分)

2ππ

(2)由(1)知,A=,∴B+C=,

33

π

∴sin B+sin C=sin B+sin-B

3

13π=sin B+cos B=sinB+.………………………………………………………

322(10分)

ππ

∵B+C=,∴033

ππ2π3π

33332

即sin B+sin C的取值范围为

3

,1.……………………………………………(122

分) 实用文档

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