第３０卷第６期 ２０１４年１１月 森林工程 Ｖｏ１．３０ Ｎｏ．６ ＮＯＶ．，２０１４ Ｆ０ＲＥＳＴ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＣ 基于ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ 的单级倒立摆建模和仿真 詹长书，孙世磊，葛 强，丁玮琛，郭 柯，高 峰 （东北林业大学交通学院，哈尔滨１５００４０） 摘一要：倒立摆本身是一个多变量、强耦合、非线性和不稳定系统，通过倒立摆可以检验各种控制策略的可行性，是 个理想的研究控制理论平台。利用ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ环境下对单级倒立摆系统的控制问题进行仿真研究。建立单级倒立摆的 数学模型，基于数学模型建立了ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ仿真模型，并进行起摆控制。起摆后切换成ＰＩＤ、极点配置和状态反馈 （ＬＱＲ）方法对倒立摆进行稳摆控制，并整定了各方案的控制器参数。除ＰＩＤ没有控制小车位移，其他两种方法对小车和摆 杆角度进行了控制。仿真参数在快速性和超调量等指标中折中优化选取，仿真效果良好，为下一步实验奠定了理论基础。 关键词：倒立摆；建模；ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ；ＰＩＤ；极点配置；ＬＱＲ 中图分类号：Ｓ ７７６．０１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１—００５Ｘ（２０１４）０６—００６３—０４ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｉｎｇｌｅ Ｉｎｖｅｒｔｅｄ Ｐｅｎｄｕｌｕｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ Ｚｈａｎ Ｃｈａｎｇｓｈｕ，Ｓｕｎ Ｓｈｉｌｅｉ，Ｇｅ Ｑｉａｎｇ，Ｄｉｎｇ Ｗｅｉｃｈｅｎ，Ｇｕｏ Ｋｅ，Ｇａｏ Ｆｅｎｇ （Ｔｒａｆｆｉｃ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｎｏｒｔｈｅａｓｔ Ｆｏｒｅｓｔｒｙ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｒｂｉｎ １５００４０） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｔｅｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ ｉｓ ａ ｓｙｓｔｅｍ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ，ｓｔｒｏｎｇ ｃｏｕｐｌｉｎｇ，ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ，ａｎｄ ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ．Ｔｈｅ ｉｎ— ｖｅｘｅｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ ｃａｎ ｃｈｅｃｋ ｔｈｅ ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｖａｒｉｏｕｓ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ，ＳＯ ｉｔ ｉｓ ａｎ ｉｄｅａｌ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｐｌａｔｆｏｒｍ ｏｆ ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅｏｒｙ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｔｈｅ ｓｉｎｇｌｅ ｉｎｖｅａｅｄ ｐｅｎｄｔｄｕｍ ｗａｓ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ．Ｆｉｒｓｔ ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｎｇｌｅ ｉｎ— ｖｅｎｅｄ ｅｎｄｕｌｐｕｍ ｗｅｒｅ ｅｓｔｂｌａｉｓｈｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｅｎｄｕｌｕｍ ｗａｓ ｓｗｕｎｇ ｕｐ．Ｕｓｉｎｇ ＰＩＤ，ｐｏｌｅ ｐｌａｃｅｍｅｎｔ ａｎｄ ｓｔａｔｅ ｆｅｅｄｂａｃｋ（ＬＱＲ）ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｉｎ— ｖｅｔｔｅｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ Ｗａｓ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ ｓｔｂｌａｅ ｗｉｔｈ ｆｅｅｄｂａｃｋ，ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｗｅｒｅ ａｄｊｕｓｔｅｄ．Ｅｘｃｅｐｔ ＰＩＤ，ｔｈｅ ｃａｒｔ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ。ａｎｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ ｄｅｇｒｅｅ ｗｅｒｅ ｃｏｎｔｏｌｒｌｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ．Ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｗｅｒｅ ｓｅｌｅｃｔｅｄ ａｍｏｎｇ ｔｈｅ ｉｎｄｉｃｅｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｒａｐｉｄｉｔｙ ａｎｄ ｏｖｅｒｓｈｏｏｔ，ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗｅｄ ｇｏｏｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｎｄ ｈａｓ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｖｅｒｔｅｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ；ｍｏｄｅｌｉｎｇ；ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ；ＰＩＤ；ｐｏｌｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ；ＬＱＲ 倒立摆系统是研究控制理论的实验平台，由于 它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大相 ＰＩＤ控制、极点配置控制和ＬＱＲ控制。为下一步 的实验奠定了坚实的理论基础。 似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。 近３０年来一直是控制界关注的焦点。倒立摆本身 是一个多变量、强耦合、非线性和不稳定系统。通 过倒立摆可以检验各种控制策略的可行性。人们已 经利用经典ＰＩＤ控制理论 Ｊ、现代控制１理 论 以及各种智能控制方法实现了多种倒立摆系 统的稳定控制。本文利用Ｍａｔｌａｂ中的ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ 工具箱对倒立摆建立了动力学仿真模型，实现了 收稿日期：２０１４—０４—０９ １ 单级倒立摆的数学模型 在忽略了空气阻力及各种摩擦力之后，可将倒 立摆系统抽象成小车和匀质杆的系统，如图１所示。 基金项目：东北林业大学大学生创新项目（２０１４１０２２５００２） 第一作者简介：詹长书，博士，副教授。研究方向：气压伺服 系统控制与应用研究。Ｅ—ｍａｉｌ：ｚｈｃｈｓｈ３＠ｓｏｈｕ．ｃｏｎ 引文格式：詹长书，孙世磊，葛强，等．基于ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ的 单级倒立摆建模和仿真［Ｊ］．森林工程，２０１４，３０（６）：６３—６６． 图１ 单级倒立摆模型示意图 Ｆｉｇ．１ Ｓｉｎｇｌｅ ｉｎｖｅ￣ｅｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ 森林工程 第３Ｏ卷 图１中， 为小车质量（本实验系统５ Ｋｇ）；ｍ 为摆杆质量（本实验系统０．２ Ｋｇ）；ｂ为小车摩擦系 整理后得到传递函数： ｚ 数（本实验系统０．１Ｎ／ｍ／ｓｅｃ）；ｚ为摆杆转动轴心 到杆质心的长度（０．２５ ｍ）；，为摆杆惯量（０．００６ 一 望： 。 ｂｍｌ２，ｋｇ １ＴＩ ｍ）；Ｆ为加在小车上的力； 为小车位 置； 为摆杆与垂直向上方向的夹角；０为摆杆与 垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直 向下）。 ＋一一！丝± ｑ 一 ｑ ｑ 其中： ｑ＝［（Ｍ＋ｍ）（，＋ｍｌ ）一（ｍ１） ］ 状态空间模型：取系统的状态变量为［ ， ， ． 对小车水平方向所受的合力进行分析，应用 Ｎｅｗｔｏｎ方法来建立系统的动力学方程过程。 小车水平方向进行受力分析，可以得到以下方 程： Ｍｘ＝Ｆ一６ 一Ｎ。 摆杆水平方向的受力分析可以得到下面等式： Ⅳ＿ｍ （ ｌｓｉｎ 即 Ⅳ＝， ＋ｍｌ ｃｏｓ０一ｍｌ ｂ２ｓｉｎ０。 把这个等式代人上式中，就得到系统的第一个 运动方程： （ ＋，ｎ）ｘ＋ ＋ｍｌ ｃ０ｓ ｓｉｎ０＝Ｆ。 （１） 对摆杆垂直方向上的受力进行分析，可以得到 系统的第二个运动方程： Ｐｌ （／ｃｏｓ０）。 ０ 即：Ｐ—ｍｇ＝一ｍｌ ０ｓｉｎ０一ｍｌ ｃｏｓ０。一一 力矩平衡方程如下： 疗 可０ ］ 一 ０ ． ～。一 一● ． ０ ～Ｊ 一Ｐｚｓｉｎ 一ＮｌｃｏｓＯ＝， 。 注意：此方程中力矩的方向，由于０：７ｒ＋西， ｃｏｓ４，＝一ｃｏｓ０，ｓｉｎ４，＝一ｓｉｎ０，故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去Ｐ和Ｎ，由，＝ １ ｍＺ 得到第二个运动方程： ４￣３ ｍｌ ＋ｍｇｌｓｉｎＯ＝一ｍｌ互ｃ。ｓ 。 （２） 设 ＝７ｒ＋ （西是摆杆与垂直向上方向之间的 夹角），假设 与１（单位是弧度）相比很小，即 《１，则可以进行近似处理：ｃｏｓ０：一１，ｓｉｎ０＝一 ，（ ） ＝０。用“来代表被控对象的输入力Ｆ， 线性化上述两个运动方程，可得简化模型如下： ４ 一舯一 。 （３） 【（Ｍ＋ｍ） ＋ｂ —ｍｌ ＝ｕ 。 西］，整理后得到系统状态 程： ０ ｌ ０ ０ 。 ４ ４Ｍ＋ ＋ ０ ０ ０ ｏ ４Ｍ＋ ｙ＿＝ ： 吕 根据倒立摆的传递函数和状态空间模型可得系 统的零极点为，倒立摆是一不稳定系统。系统可控 性矩阵秩为４，和状态空间矩阵维数相等，因此倒 立摆是能控系统。 ２倒立摆的ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ模型 ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ为Ｓｉｍｕｌｉｎｋ环境下的多体动力机 械系统及其控制系统的建模工具箱。它包含了实际 系统的元件，如：刚体、铰链、约束、坐标系统和 传感器等。使用这些模块可以方便的建立复杂机械 系统的图示化模型，进行机械系统的单独分析或与 任何Ｓｉｍｕｌｉｎｋ设计的控制器及其它动态系统相连进 行综合仿真。 根据倒立摆机构动力学模型，用Ｓｉｍｕｌｉｎｋ和 ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ工具箱中提供的模块，参照图１所 示的运动简图，将需要的模块拖放到窗口中，连 接起来，得到仿真模型（如图２所示）。其中， Ｇｒｏｕｎｄ和Ｍａｃｈｉｎｅ Ｅｎｖｉｒｏｍｅｎｔ为机架模块；Ｃａｒｔ、 Ｐｅｎｄｕｌｕｍ分别为小车和倒立摆刚体模块；Ｒｅｖｏ— ｌｕｔｅ为转动副模块；Ｐｒｉｍａｔｉｃ为移动副模块；Ｊｏｉｎｔ Ｓｅｎｓｏｒ、Ｊｏｉｎｔ Ｓｅｎｓｏｒ１分别为小车和倒立摆传感器 模块；Ｊｏｉｎｔ Ａｃｔｕａｔｏｒ为小车驱动模块；Ｓｃｏｐｅ为显 示模块。 第６期 詹长书等：基于ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ的单级倒立摆建模和仿真 ６５ Ｓｃｏｐｅ５ 图２倒立摆的ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ模型 Ｆｉｇ．２ ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｉｎｖｅ￣ｅｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ ３单级倒立摆的控制器设计 ３．１ ＰＩＤ控制器设计 ３．２极点配置控制 采用极点配置法设计多输出的倒立摆系统的控 制方案。可以用完全状态反馈来解决，控制摆杆和 小车的位置。如图５所示是控制系统的示意图。 系统输出量为摆杆的位置，假定初始位置为垂 直向下，控制摆杆摆起后，利用ＰＩＤ控制稳摆，观 察摆杆的输出响应。ＰＩＤ控制器只对摆杆摆角进行 了控制，没有控制小车的位置。系统框图如图３所 示，其中ＫＤ（Ｓ），Ｇ（Ｓ）分别为ＰＩＤ控制器和系统模 型。控制器中Ｐ、 、Ｄ的参数确定为３００、０．５、２０。 图５控制系统框图 Ｆｉｇ．５ Ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｙｓｔｅｍ 假定所有的状态变量都可以测量和反馈，可以 验证倒立摆系统是状态完全可控的。那么，利用状 态反馈的方法，设计合理的全状态反馈增益矩阵， 可以把闭环系统的极点配置到任何期望的位置，得 图３ ＰＩＤ系统框图 Ｆｉｇ．３ ｄｉｇｒａｍ ｏｆ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ 到满意的相应特性。 设开环控制系统的离散状态方程为： （ｋ＋１） ：从仿真曲线图４中可以看出系统超调量为 ０．０２５，稳定时间约为０．６ Ｓ左右，响应满足指标 要求。 Ｇｘ（ ）＋Ｈｕ（ｋ），其中，假设系统是状态完全 可控的； （ ）为在第 次采样时刻的状态矢量（ｎ 维矢量）；１１，（ｋ）为在第ｋ次采样时刻的控制信号 （标量）；Ｇ＝ｎ×凡矩阵；Ｈ＝ｎ Ｘ １矩阵。 设极点配置的控制律形式为： （ｋ）＝一Ｋ￣ｘ（ｋ）。 式中： 为状态反馈增益矩阵（１ Ｘ ｎ矩阵），于是 该系统就成为一个闭环控制系统，其闭环状态方程 为： （ｋ＋１）＝（Ｇ一 ） （ｋ）。 注意，Ｇ—ＨＫｐ的特征值就是所要求的闭环极点 ｌ，ｔｘ２，… ｎ ０ 利用状态反馈 （ ）＝一 为： （ｋ）把闭环极点布 置在 ＝ｔｚ ， ＝ ：，…， ＝ 。即要求特征方程 ｌｚＩ—Ｇ＋月 ｆ＝（ －ｉｘ１）（ 一 ２）…（ 一 ） ６６ 森林工程 第３０卷 ＝ ＋ａ１ｚ 一 ＋ａ２ｚ 一 ＋…＋ａ １ ＋ａ ＝０。 根据Ｃａｙｌｅｙ—ｈａｍｉｔｏｎ定理，经过推导（此略） 可以得到状态反馈增益矩阵Ｋ ： Ｋ＝［０ ０…０ １］［ ＧⅣ；… Ｇ Ｈ］ （Ｇ）。 其中： （Ｇ）＝Ｇ ＋ａ１Ｇ 一 ＋ａ２Ｇ 一 ＋…＋ａ 一１Ｇ＋ａｎ，。 选择期望的闭环极点或期望的特征方程是在误 差矢量响应的快速性与对扰动和测量噪声敏感型之 间的一个折中方案。也就是说，如果使误差响应的 速度提高，那么扰动和测量噪声的有害影响往往也 会增强。在确定给定系统的状态反馈增益矩阵 时，通常比较按不同的期望闭环极点或期望特征方 程得到的矩阵Ｋ ，并从中选出使整个系统达到特 性最好的那个矩阵 。在实际设计时，运用Ｍａｔ— ｌａｂ控制系统工具箱中的“ｐｌａｃｅ”函数直接进行仿 真和运算。仿真结果如图６所示。从图６中可见小 车和摆角的响应速度和精度满足设计要求。 －口 越 戢 ÷ 图６极点配置零输入响应 Ｆｉｇ．６ Ｚｅｒｏ ｉｎｐｕｔ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ｐｏｌｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ ３．３ ＬＱＲ控制 设状态反馈调节律的形式为： ¨（ ）＝一Ｋ， （ ）。 通过使性能指标函数Ｉ，＝÷ （Ｎ）二 （Ⅳ）＋÷ 厶 Ⅳ一１ ， ［Ｘ （ｋ）Ｑ （ｋ）Ｘ（ｋ）＋ｕ （ｋ）Ｒ （ｋ）ｕ（ｋ）］为最小。 可以求得： Ｋ ＝［Ｒ ＋日 Ｐ（Ｋ＋１）Ｈ］ Ｈ Ｐ（ｋ＋１）Ｇ。 其中：Ｐ由下列黎卡提方程获得Ｐ（ ）＝Ｑ ＋Ｇ Ｐ（ｋ＋１）Ｇ—Ｇ Ｐ（后＋１）Ｈ［尺 ＋Ｈ Ｐ（ ＋１）Ｈ］ Ｈ Ｐ（ｋ＋１）Ｇ。 式中：Ｑ ，Ｒ 分别为状态向量 （ｋ）、控制向量ｕ （ ）控制的性能度量的相对重要性加权值。 在实际运算中运用Ｍａｔｌａｂ控制系统工具箱中 的“ｌｑｒ”函数直接进行运算。 利用ｌｑｒ函数，需要提供两个权值矩阵：Ｑ、 。通常取Ｒ＝１，而对于Ｑ只能通过不断的凑取 来得到。在权衡了响应速度和超调量大小，最终选 取了： Ｑ：［５００ ０ ０ ０；０ ０ ０ ０；０ ０ ５０ ０；０ ０ ０ ０］ 此时的响应曲线如图７所示。 越 娅 小 ：轨ｉ 垂 ／ ｌ ／ ／ 蠢 ●，● 摆 杆摆 角 ｛寸 ｒ —— －＝ 图７ ＬＱＲ反馈控制响应图 Ｆｉｇ．７ Ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ＬＱＲ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ４结束语 单级倒立摆是一个非常理想的控制理论实验平 台。首先在建立了数学模型和ＳｉｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ环境下 单级倒立摆的动力学模型基础上，实现了起摆控制。 然后分别切换到ＰＩＤ，极点配置和ＬＱＲ三种控制方 案，实现了对单级倒立摆的稳摆控制，并优化了三 种方案的控制器参数。同时极点配置和ＬＱＲ控制可 以对小车和摆杆进行稳定控制，ＰＩＤ可以对摆杆进 行控制。仿真中响应速度和超调量达到了均衡，取 得了良好的效果，这为实验奠定了理论基础。 【参考文献】 ［１］刘璨，梁昔明．ＬＱＲ控制与ＰＩＤ控制在单级倒立摆中的对比 研究［Ｊ］．控制理论与应用，２００７，２６（１）：１３—１５． ［２］杨世勇，徐莉苹，王培进．单级倒立摆的ＰＩＤ控制研究［Ｊ］．控制 Ｔ程，２００７，１４（Ｓ１）：２３—２５． ［３］杨平，徐春梅，王欢，等．直线型一级倒立摆状态反馈控制 设计及实现［Ｊ］．上海电力学院学报．２００７，２３（３）：２１—１６． ［４］易杰，俞斌．倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计 ［Ｊ］．电子测试，２００８（８）：１７—２２ ［５］李俊芳，牛文兴，张振东．基于状态空间法的倒摆系统稳定控制 ［Ｊ］．天津理工学院学报，２００３（２）：３４—３６ ［责任编辑：董希斌］
