高中物理 重难点讲义+巩固练习题暑假目标班第3讲.教师版

第3讲 匀变速直线

运动的应用

3.1 匀变速直线运动的两个推论 在前两讲，我们学习了一些运动学的

概念和规律，下面我们介绍一种在实验室

**************************************************************************************** 教师版说明：这里介绍打点计时器，主要是为了在处理纸带数据时，引出匀变速直线运动的两个推论，并不打算详细的讲实验操作和数据处理，因此，对数据只进行简单计算，没有讨论误差分析的事情，也没有讲逐差法。

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知识点睛

1．用打点计时器研究匀变速直线运动的速度、加速度 ⑴ 电磁打点计时器原理

电磁打点计时器是一种能够按照相同的时间间隔，在纸带上连续打点的仪器。它使用交流电源，由学生电源供电，工作电压在6V以下，电源的频率是50Hz时，它每隔0.02s打一个点。

电磁打点计时器的构造如图所示。通电之前，把纸带穿过限位孔，再把套在轴上的复写纸片压在纸带的上面。接通电源后，在线圈和永久磁铁的作用下，振片便振动起来，带动其上的振针上下振动。这时，如果纸带运动，振针就通过复写纸在纸带上留下一行小点。

如果把纸带跟运动的物体连在一起，即由物体带动纸带一起运动，纸带上各点之间的距离就表示相应时间间隔中物体的位移。由这些点的位置，我们可以了解物体的运动情况。 ⑵ 电磁打点计时器使用方法

① 将纸带穿过限位孔，复写纸套在定位轴上，并压在纸带上。 ② 在打点计时器的两接线柱上分别接上导线，两根导线的另一端分别接低压交流电源（4~6V）的两个接线柱。

③ 先打开电源开关，再使纸带按实验需要运动，纸带上被打下许多小点。

④ 取下纸带，从能看清楚的点算起，标出点数，根据不同实验的要求，取出计数点（一般以每五个点作为一个计数点），算出时间，再用刻度尺测量所需长度的大小，进行有关实验的计算。

⑶ 用打点计时器研究匀变速直线运动的速度、加速度

① 如图所示是一个做匀加速直线运动的物体打出的纸带，那么如何测量某一点的瞬时速度（比如B点）呢？

根据已经学过的知识，我们能方便计算的只有AC段的平均速度。由于打点计时器打点间隔较小，根据瞬时速度的定义，可以近似把AC段的平均速度当做B点的瞬时速度。但是这样做会不会产生很大误差呢？下面我们进行说明。

设A点速度为vA，AB间的时间间隔为t（则BC间的时间间隔也为t），AC间的距离为sAC，物体的加速度为a。

由匀加速直线运动公式： vBvAat

21vA2ta2ts2vACACvAat 2t2t即vBvAC

在推导过程中，并不要求相邻的两个计数点间的时间间隔很小，因此我们可以得到一个有用的推论：

对于匀变速直线运动而言，某段时间的中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，即

vvvt0t

22因此，我们可以利用这个原理计算出纸带上任意点的瞬时速度。当然如果物体不是匀变速直

线运动，AC段的平均速度只能近似等于B点的瞬时速度，当时间间隔较大时，误差也会比较大。

② 那么加速度（对匀变速直线运动，a为常数）能否得到呢？ 这个问题可能不太容易直接观察出来，我们一起来做些推导。

1sABvAtat2

211sBCvBtat2vAattat2

2211由上两式可得：sBCsABvAattat2vAtat2at2

22因此，只要量出相邻两段位移，就可以根据上述原理计算出对应的加速度。 这样，我们得到匀变速运动中另外一个有用的推论：

在连续相等的时间间隔内的位移之差Δx为恒定值，ΔxaT2。 ⑷ 匀变速直线运动中的两个推论

在上述推导过程中，我们得到了两个有用的推论，重新总结在下面：

① 对于匀变速直线运动而言，某段时间的中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，即

vvvt0t

22② 在连续相等的时间间隔内的位移之差Δx为恒定值，ΔxaT2。

注意：这两个结论对时间间隔的长短并没有要求，并不需要是两个间段。

极短的时

上述两个推论，我们是通过公式法推导的，其实也可以利用图象进行

**************************************************************************************** 教师版说明：这里没有直接用图象进行证明，一是让学生复习公式，二是暑假不想所有问题都首先用图象法求解，秋季再将图象作为专题，老师可以按照自己的习惯方法进行讲解。

另外，对于ΔxMNxMxN(MN)at2的拓展这里也没有给出，希望学生在做题的过程中，自己进行总结（例5涉及），老师可以根据自己的需要，决定如何处理这个公式。

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例题精讲

例题说明：这部分主要练习两个推论的使用，其中例3和例6的频闪照片其实是纸带的一种变形。当然匀变速运动的计算可用的公式比较多，不一定非要用这两个公式做，只是难易程度不同。 例1练习vt2v0vt公式，利用第6s内的平均速度等于5.5s时刻的速度比较简单； 2v0vt公式，先求出两段时间中点位置的瞬时速度再求加速度； 2例2练习vt2例3、例4练习ΔxaT2；

例5练习ΔxaT2的变式，老师可以引导学生推导ΔxMNxMxN(MN)aT2，另外这道题是减速运动，与前几题略有区别； 例6综合练习 【例1】

物体从静止开始，以2m/s2的恒定加速度运动，求第6s内的平均速度和位移

【答案】 11m/s 11m

【例2】 物体做匀变速直线运动，运动总时间4s，前3s内的位移是45m，后3s内的位移是75m，

求物体的加速度。 【答案】 10m/s2

【例3】 某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的运动的汽车照片，如图所示，如果拍摄时每隔

2.0s曝光一次，轿车车身总长为4.5m。假设这辆车在此4.0s内做匀变速直线运动，那么，这辆车的加速度约为 。

【答案】 0.75m/s

【例4】 有一个做匀加速直线运动的物体从2s末到6s末的位移为24m，从6s末至10s末的位移为

40m，求运动物体的加速度 【答案】 a1m/s2

2

【例5】

一物体做匀变速直线运动，第3s内的位移为15m，第8s内的位移为5m，求物体加速度和第10s末的速度。

【答案】 a2m/s2 v100

【例6】 从斜面上某一位置，每隔0.1s释放一颗小球（小球释放后做匀变速直线运

动），在连续释放几颗后，对在斜面上滑动的小球拍照，如图所示，测得xAB15cm，xBC20cm，求： ⑴ 小球的加速度；

⑵ 拍摄时B球的速度vB；

⑶ 拍摄时xCD；

⑷ A球上面滚动的小球还有几颗。

【答案】 ⑴5m/s2 ⑵1.75m/s ⑶0.25m ⑷ 2颗

3.2 自由落体

落体现象是生活中常见的一种变速直线运动，例如飘落的树叶，下落的雨滴，跳伞运动员等。 那么落体现象有什么规律呢？这个知识点睛

1．历史回顾

落体运动是司空见惯的，但人类对它的认识却经历了差不多两千年的时间。最早研究这个问题的，大概要算古希腊学者亚里士多德了。

是什么因素决定一个下落物体的快慢呢？平常观察到的事实是，一块石头比一片树叶落得快些，因此，亚里士多德认为物体下落的快慢是由它们的重量决定的。他的这一论断符合人们的常识，以至于其后两千年的时间里，大家都奉为经典。

16世纪末，意大利比萨大学的青年学者伽利略对亚里士多德的论断表示了怀疑。后来，他在1638年出版的《两种新科学的对话》一书中对此做出了评论。

根据亚里士多德的论断，一块大石头的下落速度要比一块小石头的下落速度大。假定大石头的下落速度为8，小石头的下落速度为4，当我们把两块石头捆在一起时，大石头会被小石头拖着而减慢，结果整个系统的下落速度应该小于8；但两块石头捆在一起，总的重量比大石头还要重，因此整个系统下落的速度要比。这样，就从“重物比轻物落得快”的前提推断出了互相矛盾的结论，这使亚里士多德的理论陷入了困境。为了摆脱这种困境，伽利略认为只有一种可能性：重物与轻物应该下落得同样快。

伽利略进一步通过实验研究了自由落体运动的规律。他首先面临的困难是概念上的，因为那时人们连速度的明确定义都没有。因此，对伽利略来说，

必须首先建立描述运动所需的概念。此前我们所学的概念，诸如平均速度、瞬时速度以及加速度等，就是伽利略首先建立起来的。

伽利略相信，自然界的规律是简洁明了的。他从这个信念出发，猜想落体也一定是一种最简单的变速运动，而最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的。但是，速度的变化怎样才算“均匀”呢？他考虑了两种可能：一种是速度的变化对时间来说是均匀的，即v与t成正比，例如，每过1s，速度的变化量都是2m/s；另一种是速度的变化对位移来说是均匀的，即v与x成正比，例如，每下落1m，速度的变化量都是2m/s。后来发现，如果v与x成正比，将会推导出十分复杂的结论。所以，伽利略开始以实验来检验v与t成正比的猜想是否是真实的。

在伽利略的时代，技术不够发达，无法直接测定瞬时速度，所以也就不能直接得到速度的变化规律。但是，伽利略通过数算得出结论；如果物体的初速度为0，而且速度随时间的变化是均匀的，即vt，它通过的位移就与所用时间的二次方成正比，即xt2（学过前面的内容，我们也能进行这样的推算）。这样，只要测出物体通过不同位移所用的时间，就可以检验这个物体的速度是否随时间均匀变化。但是，落体下落得很快，而当时只能靠滴水计时，这样的计时工具还是不能测量自由落体运动所用的时间。伽利略采用了一个巧妙的方法，用来“冲淡”重力。他让铜球沿阻力很小的斜面滚下（如图），而小球在斜面上运动的加速度要比它竖直下落的加速度小得多，所用的时间长得多，所以容易测量。

伽利略做了上百次实验，结果表明，小球沿斜面滚下的运动的确是匀加速直线运动，换用不同质量的小球，从不同高度开始滚动，只要斜面的倾角一定，小球的加速度都是相同的。不断增大斜面的倾角，重复上述实验，得知小球的加速度随斜面倾角的增大而变大。

小球沿斜面向下的运动并不是落体运动。但是，伽利略将上述结果做了合理的外推：当斜面倾角很大时，小球的运动不是跟落体运动差不多了吗？如果斜面的倾角增大到90，这时小球的运动不就是自由落体运动了吗（如图）？伽利略认为，这时小球仍然会保持匀加速运动的性质，而且所有物体下落时的加速度都是一样的！

伽利略对运动的研究，不仅确立了许多用于描述运动的基本概念，而且创造了一套对近代科学的发展极为有益的科学方法，或者说给出了科学研究过程的基本要素。这些要素包含以下几点：

有关这段历史，有很多有意思的争论：

⑴ 伽利略是否真的在比萨斜塔做过落体实

验，来证明轻物与重物同时落地。 亚里士多德在物理书上出现时，总是错

误观点的代表，以至于不少人认为亚里士多

德说的都是错的。其实亚里士多德是古希腊

**************************************************************************************** 教师版说明：有关伽利略那些实验的争论很多，这里给出一种说法作为参考，并不一定是标准答案。另外再简单介绍一下亚里士多德，其它的故事老师可以根据需要自己去了解。

（由于这部分内容较长，放在正文影响阅读，因此作为附录放在最后）

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2．自由落体运动

⑴ 定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。

⑵ 特点：许许多多事实表明，自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动

⑶ 自由落体加速度：使用不同物体进行反复实验表明，在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫做自由落体加速度，也叫重力加速度，通常用g表示。

不同物体下落速度不一样实际是由 于空气阻力导致的。如果在真空中做实 验，就可以看到不同物体下落的速度几

实验表明，在地球上不同的位置重力加速度的数值略有不同，但都近似等于9.8m/s2。 下表是不同地区重力加速的测量值，可以看出纬度越高，重力加速度越大。

地点 纬度 重力加速度 赤道 广州 上海 北京 莫斯科 0° 23°06' 31°12' 39°56' 55°45' 9.780 9.788 9.794 9.801 9.816 北极 90° 9.832

3．自由落体运动的规律

自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，所以匀变速直线运动的基本公式及其推论都适用于自由落体运动，只要把公式中的初速度取为0，加速度取为g即可。 ⑴ 速度公式 vtgt2gh（t为下落时间，h为物体的下落高度）

12gt 22h⑶ 下落时间 t

g

**************************************************************************************** ⑵ 下落高度 h教师版说明：这里没有给初速度为零的匀加速直线运动的各种比值推论，可以让学生在做例11、例12的过程中自己总结。老师也可以根据情况自己补充一些。

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例题精讲

例题说明：例7、例8、例9考察自由落体的基本运动规律；例10考察自由落体速度、时间与质量无关，这道题虽然涉及两个物体，而且考察多个公式，比较综合，但是难度不大，基本是直接用公式；例11、例12是自由落体运动的一些比值关系，老师可以根据需要，利用这两个题，总结一下比值关系；例13、例14、例15是三道难度较大的题，需要灵活运用知识。

【例7】 一物体在做自由落体运动的过程中

A．位移与时间成正比 B．加速度与时间成正比 C．加速度不变 D．速度与位移成正比

【答案】 C

【例8】 李白的《望庐山瀑布》，描述了庐山瀑布的美景，如果三尺为1米，则水落到地面的速度约

为（设初速度为零）

A．100m/s B．140m/s C．200m/s D．2000m/s

【答案】 B

【例9】 从某一高度相隔1s先后由静止释放的两个相同的小球甲和乙，不计空气阻力，它们在空

中的任一时刻

A．甲、乙两球距离越来越大，甲、乙两球速度之差越来越大 B．甲、乙两球距离始终保持不变，甲、乙两球速度之差保持不变 C．甲、乙两球距离越来越大，但甲、乙两球速度之差保持不变 D．甲、乙两球距离越来越小，甲、乙两球速度之差越来越小 【答案】 C

∶1，甲从高H处自由落下的同时，乙从2H处自由【例10】 甲、乙两物体质量之比为m甲∶m乙5落下，若不计空气阻力，以下说法错误的是

A．甲落地前，同一时刻二者速度相等 B．甲落地时，乙距地面的高度为H C．甲落地时，乙的速度大小为2gH D．甲、乙在空中运动的时间之比为1∶2

【答案】 D

【例11】 对于自由落体运动，下列说法正确的是

A．在前1s内、前2s内、前3s内的位移之比是1∶3∶5 B．在第1s末、第2s末、第3s末的速度之比是1∶3∶5 C．在第1s内、第2s内、第3s内的平均速度之比是1∶3∶5 D．在相邻两个1s内的位移之差都是9.8m

【答案】 CD

【例12】 自由下落的物体，它下落一半高度所用的时间和下落全程所用的时间之比是

∶2 A．1∶2 B．2∶1 C．11 D．2∶【答案】 C

【例13】 悬链长1.4m，从悬点处断开，使其自由下落，不计空气阻力，则整个悬链通

过悬点下方3.2m处的A点时所用的时间为多少？（g取10m/s2）

【答案】 0.2s

【例14】 一矿井深为125m，在井口每隔相同的时间间隔落下一小球，当第11个小球刚从井口开始

下落时，第1个小球恰好达到井底，则相邻两个小球下落的时间间隔为多少？第9个小球与第

（g取10m/s2） 7个小球相距多少米。【答案】 0.5s，第9个小球与第7个小球相距15m。

【例15】 已知某一物体从楼上自由落下，通过高为2.0m的窗口所用时间为0.2s，求物体是从距离窗

顶多高处自由落下的。（g10m/s2） 【答案】 4.05m

3.3 竖直上抛

上抛运动也是比较常见的一种

变速直线运动，物体运动到最高点后

**************************************************************************************** 教师版说明：由于还没有讲到牛顿运动定律的内容，所以这里无法引导学生自己探究竖直上抛运动，只能作为自由落体的延伸，将一些结论告诉学生，作为匀变速直线运动的实际情景进行练习，等学完动力学内容后，学生才能有更深层次的认识。因此这部分放的题目难度不大。

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知识点睛

1．定义：物体以一定的初速度沿竖直方向向上抛出，且只在重力作用下运动。

2．特点：实验表明，竖直上抛运动是加速度始终为重力加速度g（竖直向下）的匀变速直线运动。 3．规律

⑴ 取初速度方向为正方向，则竖直上抛运动的加速度ag，则

122gx。 vtv0gt，xv0tgt2，vt2v022v0v0⑵ 物体到达最高点时vt0，达到最高点所用的时间t，上抛最大高度为 h。

2gg4．由于物体在上升阶段和下降阶段的加速度均为重力加速度g，所以上升阶段和下降阶段互为逆过程，上升阶段和下降阶段具有对称性。此时必有如下规律：

⑴ 物体上升到最高点所用的时间与物体从最高点落回到原抛出点所用的时间相等：

vt上t下0。

g⑵ 物体在上升的过程中从某点到达最高点所用的时间，和从最高点落回到该点所用的时间相等。 ⑶ 物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点时的速度大小相等，方向相反。

⑷ 在竖直上抛运动中，抛出点以上位置，同一个位移对应两个不同的时间和两个等大反向的速度。 5．竖直上抛运动的处理方法

⑴ 分段法：上升过程是ag，vt0的匀减速直线运动，下落阶段是自由落体运动。 ⑵ 整体法：将全过程看作是初速为v0，加速度是g的匀减速直线运动，注意方程的矢量性。 ．．．．．．．．

例题精讲

例题说明：这部分例题整体难度不大，例16、例17考察竖直上抛运动的特点和规律；例18结合图象考察基本规律；例19可以认为是竖直上抛的简单变形；例20为基本公式的应用；例21运动情景稍微隐蔽一些，需要学生分析出是竖直上抛运动，再进行综合计算；例22情景稍微复杂一点，需要学生搞清空中一共有几个球。

【例16】 关于竖直上抛运动，下列说法正确的是：

A．上升过程是减速运动，加速度越来越小，下降过程是加速运动，加速度越来越大 B．上升时加速度小于下降时加速度 C．在最高点速度为零，加速度也为零

D．无论在上升过程、下降过程、最高点，物体的加速度都是g 【答案】 D

【例17】 在竖直上抛运动中，当物体到达最高点时

A．速度不为零，加速度为零 B．速度为零，加速度不为零 C．有向下的速度和加速度

D．加速度大小不变，方向改变

【答案】 B

【例18】 将物体竖直向上抛出后，能正确表示其速率v随时间t的变化关系的图线的是

A B C D

【答案】 D

【例19】 小球做自由落体运动，与地面发生碰撞，反弹后速度大小与落地速度大小相等。小球在

空中只受重力，若从释放小球时开始计时，且不计小球与地面发生碰撞的时间，则小球运动的速度图线可能是图中的（以竖直向下为正方向）

【答案】 D

【例20】 从手中竖直上抛一球，5s时球回到手中，如果空气阻力不计，那么抛出球时的速度是

m/s，球上升的最大高度是 m，球出手后经 s速率达到10m/s（g取10m/s2） 【答案】 25，31.25，1.5或3.5

【例21】 有一气球以5m/s的速度由地面匀速竖直上升，经过30s后，气球上悬挂重物的绳子断开（绳

子的影响忽略不计，绳子断开后物体只受重力），求物体从绳子断开到落地所用的时间和物体落地时速度大小。（g=10m/s2） 【答案】 6s 55ms

【例22】 一杂技演员，用一只手抛球。他每隔0.40s抛出一球，接到球便立即把球抛出，已知除抛、

接球的时刻外，空中总有四个球，将球的运动看作是竖直方向的运动（小球做竖直上抛运动），试求球到达的最大高度是多少。（高度从抛球点算起，取g10m/s2） 【答案】 3.2m

3.4 匀变速直线运动方法总结

知识点睛

目前为止，我们已经学习过了处理匀变速直线运动问题的基本方法，下面做一个简单总结： 1．公式法

⑴ 速度和时间的关系：vtv0at

1⑵ 位移和时间的关系：xv0tat2

2vv⑶ 平均速度公式：v0t

2⑷ 速度和位移的关系式：2axvt2v02 2．两个推论

vv⑴ 某段时间的中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，即vt0t

22⑵ 在连续相等的时间间隔内的位移之差Δx为恒定值，ΔxaT2。

3．图象法

用图象来描述两个物理量之间的关系是物理学中常用的方法。用图象法分析解答问题，具有直观、形象、简明的特点，可达到化难为易，化繁为简的目的。当我们碰到下列问题时，可以考虑用图象法解决：

⑴ 多运动过程问题 ⑵ 含有比值的问题 ⑶ 初速度为零的问题

**************************************************************************************** 教师版说明：

1．老师可以对运动学问题做系统的复习，让学生自己写出上述公式（讲义没有做成填空的形式，老师可以自己处理）

2．图象法的问题暑假没有特别强调，这里做一个简单说明，这部分给出的例题都是可以用公式求解，也可以图象求解，可以让学生两种方法都做一下，知道有两种方法即可，图象法简化计算会在秋季重点讲。

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例题精讲

例题说明：这部分的三道例题都是公式法和图象法都能解的问题，但例23用公式法要选择合适的公式，否则会比较麻烦。例23对应多过程问题；例24是比例问题；例25是初速度为零的问题（当然例24也是初速度为零，但例24是明显的求比例问题，所以算在比例问题中）

【例23】 一辆汽车从车站以初速度为零匀加速直线开出一段时间之后，司机发现一乘客未上车，

便紧急刹车做匀减速运动。从启动到停止一共经历t10s，前进了15m，在此过程中，汽车的最大速度为 A．1.5m/s B．2.5m/s C．3m/s D．4m/s 【答案】 C

【例24】 物体从塔顶静止下落，在到达地面前最后1s内的位移是整个位移的

9，求塔高 25【答案】 125m

【例25】 一质点从静止开始做匀加速直线运动，已知它在第4s内的位移是14m，求它前进72m所用

的时间。 【答案】 6s

课外阅读：常识的自由落体现象

如果我们在赤道上建设一幢高到太空的高塔，上面有很多的房间

和窗户。让某人的兄弟站在塔底，他则从某层的窗户丢下花盆，花 盆从他兄弟的正上方静止释放。

这个实验从二楼开始做，结果当然是兄弟头破血流。 实验地点改在10楼，法律上把这种行为叫高空抛物。

实验地点到了808米（目前世界第一高楼迪拜塔高度），这个花 盆会落到兄弟的东边几十厘米处，非常惊险！注意不是风吹过去的。

这个现象由地球自转导致。

到了距离地面22000km，自由释放花盆，花盆刚好能擦着地球另

一面的地面而过，而成为地球的“人造卫星”。

目标班选讲1：巧选参考系

**************************************************************************************** 教师版说明：变换参考系的内容涉及速度关联，深入讲解必然用到矢量运算，但是矢量运算在第一章没有讲到，因此，这部分只讨论一维的直线的运动，让学生体会基本思想方法即可。这部分涉及到一些简单的追击相遇问题，能力较强的学生利用基本公式自己解决问题不大，这里希望通过变换参考系向学生展示另一种解决问题的思路。另外，这些问题以开拓思路为主，不涉及解决追击相遇问题的方法总结，因此不会影响秋季的课程。

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知识点睛

一个物体的运动需要在某个确定的参考系中加以描述，显然，同一运动在不同的参照系中，其描述是不同的，这就是运动的相对性。同一运动在不同参照系中的描述可以互相转换。以速度为例，这种转换有以下的两个基本关系： vA对BvB对A vA对CvA对BvB对C

注意：合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同；合速度的后脚标和最后一个分速度的后脚标相同，前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。

这两个公式，请大家先在一维的直线运动中理解、运用即可。对于非直线

通常我们把质点相对地面（或地面上静止物体）的运动称为绝对运动，质点相对于运动参照系的运动称为相对运动，而运动参照系相对地面的运动称为牵连运动。依据以上速度合成办法，可以推出： v绝对v相对v牵连

上面关于速度的变换公式对于位移和加速度也同样成立。即 xA对BxB对A；xA对CxA对BxB对C；x绝对x相对x牵连 aA对BaB对A；aA对CaA对BaB对C；a绝对a相对a牵连 在解决一些实际问题时，如能

灵活巧妙的选用其他物体为参考

例题精讲

例题说明：这几道例题以地面为参考系都可以做，能力比较强的学生都可以完成（只有例5较难），不过计算相对复杂一些，如果变换参考系可以简化计算。例1、例2是匀速直线运动，基本没有涉及高中知识，主要是让学生体会换参考系后，问题可能会变简单；例3是匀加速运动，难度也不大；例4、例5用到加速度变换，但例4难度不大，例5稍微复杂一些（主要是由于暑假没有专门讲追击问题），请老师根据学生的接受情况选择例题讲解。

【例1】 有人逆水行舟，水速v水3m/s，途中从船上掉下一漂浮物，10分钟后发现，并立即调头追赶，

如果人划船速度大小保持v船5m/s不变，则追上漂浮物需多少分钟

【答案】 取水为参考系，则漂浮物落水后不再运动，船以5m/s向前行驶10分钟后调头仍以同样的速度

运动到漂浮物落水处，因船的往返速度和位移大小均相同，故往返时间必相同，即返回时间也为10分钟。

【例2】 一队步兵以v11.5m/s的速度匀速前进，队列长度为L1200 m。骑兵通讯员从队尾到队首传

达命令后，立即返回队尾，共用时间为t10min，如果通讯员的速度大小始终保持不变，且传达命令和改变方向所用时间忽略不计，求通讯员的速度大小。 【答案】 以步兵队列为参考系计算相对简单，v4.5m/s

【例3】 某航空母舰上的战斗机起飞过程中最大加速度是a4.5 m/s2，飞机速度要达到v0=60 m/s才

能起飞，航空母舰甲板长L=2 m，为使飞机安全起飞，航空母舰应以一定速度航行，求航空母舰的最小速度v是多少。（设飞机起飞对航空母舰的状态没有影响，飞机的运动可以看做匀加速直线运动） 【解析】 以航空母舰为参考系，飞机加速到甲板最远端，相对航母的速度为v2aL51m/s，所以航

母速度最速度最小为v牵连v绝对v相对v0v9m/s

【答案】 9m/s

【例4】 如图一个质量为M的长木条A停于光滑地面，一个质量为m的小

滑块B以速度v0冲上木板，此后A以恒定加速度a1加速，B以加

速度a2减速，直到A、B速度相等。要让木块不落地，A至少多长？

2v0【解析】 以A为参考系，B的初速度为v0，加速度a'a1a2，做匀变速直线运动，L 。

2a1a22v0L【答案】

2a1a2

【例5】 有一升降机在向上作加速度为a2.2m/s2的匀加速直线运动。某一时刻，有一颗螺钉从升降

机的顶部脱落，若升降机顶部到底板的高度h6m，求螺钉落到底板所需的时间。（空气阻力不计，g9.8m/s2 ）

【解析】 设螺钉刚脱落时，升降机向上的速度为v，螺钉也具有向上的速度v，以升降机为参考系，螺

钉相对升降机底板的初速度v00，螺钉相对升降机底板的加速度

1a（2.2＋9.8）m/s212m/s2 ，螺钉相对升降机底板的位移sh6m，由sv0tat2，并

22s26注意到v00 ，可得t1s。

a12【答案】 1s

**************************************************************************************** 教师版说明：到这一讲为止，运动学的知识基本就介绍完了，下一讲开始是静力学。老师可以对运动学问题做一个总结。最后一讲的测试题，是分章节的，老师可以最后一起练习，也可以先把运动学部分拿出来进行练习。

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附录：

1.伽利略的落体实验

关于伽利略的比萨斜塔实验，传说纷纭。有人说，他这个落体实验对亚里士多德的理论是致命一击，由此批驳了亚里士多德的落体速度与重量成正比的说法，得出落体加速度与其重量无关的科学结论；有人说，他用大小相同而重量不等的两个球，得到同时落地的结果；甚至有人说他是用炮弹和弹做实验的。有人则过分宣扬伽利略的落体实验，说他是第一个做落体实验的人。

然而，伽利略在《两门新科学》中，并没有提到他在比萨斜塔做过实验。有关这个实验的说法大概来自他晚年的学生维维安尼（Viviani，1622—1703）在《伽利略传》中的一段不准确的回忆。这篇

传记是在伽利略死后十几年即1657年出版的。其中有这样一段记述：

“使所有哲学家极不愉快的是，通过实验和完善的表演与论证，亚里士多德的许多结论被他（指伽利略）证明是错的，这些结论在他之前都被看成神圣不可冒犯的。其中有一条，就是材料相同，重量不同的物体在同样的媒质中下落，其速率并不像亚里士多德所说的那样，与其重量成正比，而是以相等的速率运动。伽利略在其他教授和全体学生面前从比萨斜塔之顶反复地做了实验来证明这一点。”

这里要说明几点：

1．维维安尼并没有亲眼看见伽利略做斜塔实验，因为伽利略死时（12年），他才20岁。他来到伽利略身边时（1639年），伽利略已经双目失明，只能口授了。所以，维维安尼的记述可能不确实。

2．伽利略如果真的做了斜塔实验，时间大概是在15—1592年他在比萨大学任教之际，可是，有人找遍当年比萨大学的有关记录，均未发现载有此事。

3．如果真有此事，也只能算是一个表演，不可能通过这个表演对两千年的传统学术进行判决。 那么，究竟伽利略有没有做过落体实验呢？经查考，在伽利略早年（1591年）写的《论运动》（De Motu）的小册子中确实记载有这类实验。不过，直到伽利略去世二百年后，即1842年，才整理发表，维维安尼并不知道这个小册子。这个实验也不像维维安尼所说的，是要彻底批驳亚里士多德的落体理论，而是为了弥补亚里士多德理论的缺陷。伽利略在这本小册子里用阿米德的浮力定律来说明在媒质中落体的运动。他写道：

“但是他（指亚里士多德）甚至犯了一个更大的错误，他假定物体的速率取决于越重的物体分开媒质的本领较大。因为，正如我们证明了的，运动物体的速率并不取决于这一点，而是取决于物体重量与媒质重量差值的大小。”

伽利略当时显然仍然相信，同样大小物体在空气中下落，较重的比较轻的快，因为他写道： “……我们得到的普遍结论是：在物体材料不同的情况下，只要它们大小相同，则它们（自然下落）运动的速率之比，与它们的重量之比是相同的。”

他甚至还为实际观测所得结果与上述结论不符进行辩护，他写道：

“如果从塔上落下两个同体积的球，其中之一比另一个重一倍，我们会发现重的到达地面并不比轻的快一倍。其实，在运动开始时，轻物会走在重物的前面，在一段距离内要比重物快。”

这件事引起了现代科学史家的兴趣。究竟伽利略是否真的看到了轻物先于重物下落？1983年，塞特尔（T．B．Settle）和米克利希（R．Miklich）做了两球同时下落的实验，用高速摄影机拍照，果然重现了伽利略观察到的现象，不过他们不是用机械释放两球，而是用两手分别握着两个球，并且必须手心向下，同时释放。实验判明，伽利略所得轻物走在重物前面的结论，是由于他握重球的手握得更紧，释放时略为缓慢所致。

这件事说明了，伽利略的思想不是从天上掉下来的，他经历了曲折的摸索过程。开始，他甚至还是亚里士多德的维护者。搞清这位近代科学家的创始人的思想发展过程当然是一件有重大意义的课题。科学家们正在利用各种史料进行研究。

2.伽利略的斜面实验

在伽利略的落体运动定律的形成过程中，斜面实验起过重要作用。他在《两门新科学》中对这个实验描述得十分具体，写道：

“取长约12库比（1库比=45.7厘米）、宽约半库比，厚约三指的木板，在边缘上刻一条一指多宽的槽，槽非常平直，经过打磨，在直槽上贴羊皮纸，尽可能使之平滑，然后让一个非常圆的、硬的光滑黄铜球沿槽滚下，用下述方法记录滚下所需时间。我们不止一次重复这一实验，使两次观测的时间相差不致超过脉搏的十分之一。在完成这一步骤并确证其可靠性之后，就让铜球滚下全程的

1，并测4出下降的时间，我们发现它刚好是滚下全程所需时间的一半。接着我们对其他距离进行实验，用滚下全程所用时间同滚下一半距离、三分之二的距离、四分之三距离或任何部分距离所用时间进行比较。这样的实验重复了整整一百次，我们往往发现，经过的空间距离恒与所用时间的平方成正比例。这对于平面（也即铜球下滚的槽）的各种斜度都成立。我们也观测到，对于不同的斜度，下降的时间互相间的关系正如作者预计并证明过的比例一样。”

“为了测量时间，我们把一只盛水的大容器置于高处，在容器底部焊上一根口径很细的管子，用小杯子收集每次下降时由细管流出的水，不管是全程还是全程的一部分，都可收集到。然后用极精密的天平称水的重量；这些水重之差和比值就给出时间之差和比值。精确度如此之高，以至于重复许多遍，结果都没有明显的差别。”

这个实验设计是安排得何等巧妙啊！许多年来，人们都确信伽利略就是按他所述的方案做的。在历史博物馆中甚至还陈列着据说是伽利略当年用过的斜槽和铜球。

但是，当人们重复伽利略上述实验时，却发现很难得到如此高的精确度。更不能使斜槽的倾斜度任意提高。有人证明，贴了羊皮纸的木槽，实验误差反而更大了。20世纪中叶，科学家史专家库依雷（Koyre）提出一种见解，认为伽利略的斜面实验和他在书上描述的其它许多实验一样，都是虚构的，伽利略的运动定律源于逻辑推理和理想实验。这个意见对19世纪传统的看法无疑是一贴清醒剂。因为长期以来形成了一种认识，把实验的作用过于夸大了，好像什么基本定律，包括伽利略的运动定律都是从数据的积累中总结出来的。这种机械论的观点到了20世纪理所当然要受到怀疑论者批评。

然而，伽利略究竟有没有亲自做过斜面实验呢？他为什么会想到用斜面来代替落体？他是怎样做的斜面实验？这个实验在他的研究中起了什么作用？

伽利略没有对自己的工作作过更详细的阐述。但是，他留下了大量手稿和许多著作。人们把他的资料编成了20卷文集，这是研究伽利略的宝贵史料。

从1591年伽利略的那本没有及时发表的小册子《论运动》中可以看出，伽利略很早就对斜面感兴趣了。他在那里主要研究斜面上物体的平衡问题，但也提过下列问题：①为什么物体在陡的平面上运动得更快？②不同的斜面上，运动之比如何？为了使问题更明确，他画了一张图（如图）。他问道：为什么沿AB下落最快，沿BD快于BE，而慢于AB？沿AB比沿BD快多少？他的回答是：

“同样的重量用斜面提升比垂直提升可以少用力，这要看垂直提升与倾斜提升

的比例。因此，同一重物垂直下落比沿斜面下降具有更大的力，这要看斜面下降的长度与垂直下落的长度成什么样的比例。”

既然力的大小与斜度成一定比例，落体运动的研究就可以用斜面来代替，按一定比例“冲淡”作用的力，“加长”运动的距离，这样可以比落体更有效地研究运动的规律。

人们从伽利略的手稿中找到了一些证据，证明他早年确曾做过斜面实验。其中有一页手稿画着一幅着一幅草图，两个小球正沿不同斜度的斜面向下运动，说明伽利略曾思考过斜面实验，另一页手稿（如图）上记录有如下数据：

1

4 9 16 25

1 2 3 4 5

32 130 298 526 824 1192 1600 2104

36 6 49 7 8

第三列数字是伽利略根据测量数据计算所得。

经过查核，证明伽昨略选取的长度单位是punti，1 punti大约等于

29毫米，最大的距离为2104 punti，30相当于2米。进一步研究，发现要能在2米长的斜面内取得8个相继时间内物体（也许是小球）通过的距离，角度必须在1.5至2之间。

从纸张的特点可以判定这页数据大约记于1604年。此时看来伽利略还没有确定时间平方关系，因为记录上的第一列数据1、4、9、16……显然是后加上去的。第三列的数据有几个地方涂改，似乎是伽利略在实验之后对数据作了修正。这些判断有助于说明伽利略的时间平方有关系并不是直接从实验得到，而是从别的渠道先有了设想，再用实验加以验证的。

伽利略在这个实验里测量时间的办法肯定也与《两门新科学》中他的描述不同，因为靠称量水重无法取相继的时间间隔。他可能是用乐器的节拍报时，因为他擅长琵琶。这个实验不需要知道时间的绝对值，根据节拍把小球挡住就可以了。

3.亚里士多德

亚里士多德是古希腊斯吉塔拉人，世界古代史上最伟大的哲学家、科学家和教育家之一。是柏拉图的学生，亚历山大的老师。公元前335年，他在雅典办了一所叫吕克昂的学校，被称为逍遥学派。马克思曾称亚里士多德是古希腊哲学家中最博学的人物，恩格斯称他是古代的黑格尔。作为一位最伟大的、百科全书式的科学家，亚里士多德对世界的贡献无人可比。他对哲学的几乎每个都作出了贡献。他的写作涉及伦理学、形而上学、心理学、经济学、神学、政治学、修辞学、自然科学、教育学、诗歌、风俗，以及雅典。