大学数学教案第9章

教学目标：

1、 掌握二阶行列式与二元线性方程组的定

义及性质

2、 掌握行列式的性质及算法 3、 掌握线性方程组的行列式解法 教学重点：

1、行列式的性质及展开 2、线性方程组的行列式解法 教学难点：

线性方程组的行列式解法 教学过程：

第一节 二阶行列式与二元线性方程组

1、 引入：

九宫之义，法以灵龟； 二四为肩，六八为足； 左七右三，戴九履一， 五居

如果代数式（a1b2—a2b1）0，就可以用它去除（2）（3）的两边得

xc1b2c2b1aca2c1„„（4） ,y12a1b2a2b1a1b2a2b1为了使（4）的结果记忆方便，我们引入二阶行列式的概念。

2、定义：

a1b1a2b2a1b2a2b1„„„„（5）

其中a1,a2,b1,b2称为行列式的元素，横排称为行列式的行，竖排称为行列式的列。 性质： （1）

a1a2b1b2a1b1a2b2

（行列式的第i行改为第i列，第i列改为第i行，行列式的值不变。） （2）

294753 618四四图

b1a1b2a2a1b1a2b2

159234162313678外角对换51011129431316267810111214151（二阶行列式两列（或两行）对调，则行列式的值要改变符号）

方程组（1）的解（4）用行列式表示为

c1b1xa1c11314151659内角对换c2b2acy22 a1b1a1b1a2b2a2b2a1b1a2b211108（ 34 ）

761214151方程组（1）的 系数行列式

4

考察两个二元线性方程所组成的方程组

a1xb1yc1„„„„„„（1） axbyc222消去y得

分子行列式x，y

所以方程组的解可表示为

a1b2a2b1xc1b2c2b1„„（2）

同理消去x可得

（a1b2—a2b1）y=a1c2--a2c1„„„„（3）

1

yxx,y

注注 ○

（1） 若0，则方程组（1）有唯一一

组解。

（2） 若=0，x与y至少有一个不为

零，则方程组（1）无解。

（3） 若=x=y=0，则方程组（1）有

4、作业： 无限多组解。

3、例题：

例1 解方程组7x8y106x7y11.

例2 解方程组6x9y74x6y1.

例3 解方程组5x15y53x9y3

5、课后小结：

2

第二节 三阶行列式概念及其性质

1、 三阶行列式

用二阶行列式可以解二元线性方程组，一般地，可以用n阶行列式解n元线性方程组。下面我们只对用三阶行列式解三元线性方程组加以讨论，因此我们先给出三阶行列式的概念。 定义：

2、 三阶行列式的性质

性质1：

把行列式的第i行改为第i列，第i列改为第i行，行列式的值不变，即

a1a2a3a1b1c1b1b2b3a2b2c2

a3b3c3c1c2c3

性质2：

对调行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号,但绝对值不变.如

a1b1c1a2b2c2a1b2c3a2b3c1a3b1c2a3b3c3a1b3c2a2b1c3a3b2c1三阶行列式的计算可按图得出：

例题：

计算三阶行列式的方法称为对角线法则.

a1b1c1a2b2c2a2b2c2a1b1c1(可用对角线法证明) a3b3c3a3b3c3

性质3:

有两行(或两列)相同的行列式的值必为零. 证明:

性质4:

把行列式的某行(或某列)所有元素同乘以某数k的结果等于以数k乘以这个行列式,如

3例1 计算221013 2ka1kb1kc12

a1b1c1a2b2c2= ka2b2c2

a3b3c3a3b3c3

3

推论1:一个行列式中某一行(或某一列)各元素的公因子可以提到行列式记号的外边

推论2:如果一个行列式中有一行(或一列)的元素全为零,则这个行列式为零

性质5:如果行列式的两行(或两列)的对应元素成比例,则这个行列式为零.

性质6:如果行列式的一行(或一列)的元素都是两项式,那么这个行列式等于两个行列式的和。 证明：

性质7：把行列式的某一行（或某一列）所有元素同乘以一数后，加于另一行（或另一列）的对应元素，则行列式的值不变。

3、为了叙述、书写方便，我们约定： (1)记号 “i”表示第i行的公因子提出来;

4

(2)记号 “(i , j)”表示将第i行与第j 互换 (3)记号 “ i+j”表示将第j行的倍加到第i行上去.

注：由于性质2—性质7对行列式的列也成立，我们也可以用上面的记号表达对行列式的列变换。为了区别起见，当进行行变换时，将记号写在等号上方，当进行列变换时，将记号写在等号的下方。若在等号上（下）方同时出现几个记号时，则按顺序由上至下进行。 4、例题：

14例2 计算3510251534 621

1例3 计算

321122313121. 316 例

4 用行列式性质证明

0abc0.

a0

bc0例5 利用行列式性质证明

第三节 行列式的按行列展开 abcabacacbc=acb. bcabcba

5、课后小结：

导入：

三阶行列式我们可以用对角线法则进行计算。要想简化行列式的计算，可以先用行列式性质将行列式变形，再按行或按列展开计算。为了学习这种方法，我们先介绍子行列式与代数余子式的概念。 1、子行列式

把行列式中某一元素所在的行与列划去后，留下来的元素按原来的位置关系组成的行列式，称为这个行列式对应与该元素的子行列式。如：

a1b1c1a2b2c2行列式对应于元素b3的子行

a3b3c3列式为

a1c1a

2c22、代数余子式

设行列式中某一元素所在的行数为i，列数为j。将对应于该元素的子行列式乘上 （-1）i+j所得的式子称为对应于该元素的代数余子式

某元素的代数余子式，用这个元素的大写字母并附以相同的下标表示。如行列式对应于元素b3的代数余子式为

Ba1c1a1c13132a2c2a

2c2

3、定理 定理1：行列式等于它的任意一列（或一行）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和。

a1b1c1设a2b2c2那么

a3b3c3证明：

5

4、例题

431例1 把行列式25143按第三2我们已经介绍了三阶行列式的性质，下面介绍如何利用三阶行列式解三元线性方程组 一、下面我们讨论如何用三阶行列式来解三

行展开，并求值.

按一行（或一列）展开行列式来求值时，如果先根据行列式的性质把某一行（或某一列）的两个元素变为零，再展开求值就简便得多.

a1xb1yc1zd1元线性方程组a2xb2yc2zd2

axbyczd33331、如果方程组的系数行列式0，

则方程组有唯一一组解

yx x，y，zz

a1xb1yc1zd1a2xb2yc2zd2axbyczd3333 „„„„（1）

假设此此方程组的系数行列式为

869例2 计算6. 458

5、定理2 行列式某一列（或某一行）各元素与另一列（或另一行）对应元素的代数余子式的乘积之和恒等于零。

0

a1b1c1设a2b2c2，那么

a3b3c3证明：

第四节 二元线性方程组

教学过程： 导入：

我们以中对应

组成了一个新的方程组

 „„„（2） 方程组（2）由（1）推出，所以 同解

6

2、如果方程组的系数行列式0，而

x,y,z至少有一个不等于零，则方程组

没有解；

3.如果0，并且xyz0，这时方程组可能没有解，也可能有无限多组解.

二、例题

例1 解

2x3y5z3方程组x2yz0.

3xy3z7

xyz1例2 解方程组xyz2.

xyz3

xyz1例3 解方程组2x2y2z2.

3x3y3z3

7

三、作业：

四、课后小结：

第五节 齐次线性方程组

教学过程： 复习导入：

前面学习了二元线性方程组及三元线性方程组的行列式解法

一、 我们讨论含有两个三元齐次线性

方程的方程组

组解

X = Y＝

结论：

2、三个行列式都等于0

这时我们有方程组变成一个方程

a1xb1yc1z0„„ （1） axbycz0222

显然x=y=z=0为方程组的一解，称之为零解；除了零解是否还有非零解？如果有，如何来求解？ 解法的讨论

1、方程组的系数组成三个行列式

a1xb1yc1z0，奇次线性方程组一定

有非零解.

因此，若三个行列式都等于0；齐次方程组（1）一定有非零解。 例题：

a1a2b1b2，

a1a2c1c2，

b1b2c1c2

x2y3z0例1 解方程组.

2x3yz0

例2解方程组

8

至少有一个不等于零时，则奇次方程组的解可表示为

xkb1b2a1a2c1c2b1b2，

ykc1c2a1a2，

zk，其中k取任意数值.

为0；例如第一个行列式不为0；则我们可将方程组（1）改写成

 „„ （2） 这里可以给未知数z以任何数值；当

Z的数值给定后，则方程组（2）有唯一一

2xy5z0

4x2y10z0二、 含有三个三元齐次方程的方程组

下面我们讨论含有三个三元奇次线性方程的方程组

结论：

方程组（5）有非零解0

例题：

a1xb1yc1z0a2xb2yc2z0„„（5） axbycz0333如果方程组的系数行列式0，则方程组

有唯一的一组零解；

反过来，如果0，我们可以证明方程组一定有非零解.分两种情况：

（1）如果0，但它的子行列式中至少有一个不等于零，则

2x3yz0例3 解方程组xyz0.

3xy2z0

xkb1b2c1c2，

ykc1c2a1a2a1a2b1b2，

zk

证明：

，其中k0.

xyz0例4 解方程组3xy2z0.

x3y0

（2）如果0，并且它的所有的子行列式全为零，这时方程组中任何两个方程的系数都成比例，这样可得方程组的无限多组解.

9

xyz0例5解方程组2x2y2z0

3x3y3z0

第六节 高阶行列式

教学过程： 复习导入：

我们可以把二阶、三阶行列式推广到四阶甚至更高阶的行列式，其性质同样适用。

但四阶以上的行列式计算不能用对角线法则，只能用“按行按列展开法”计算.

例2 、计算四阶行列式

24324228458767 53

例1、计算四阶行列式

311251342011. 1533

小结：

10

复习课 第九章知识点总结

1、二阶行列式

2、三阶行列式

3、行列式的性质 （1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

记号：

1、 行列式的按行按列展开 （1） 子行列式（余子式）

（2） 代数余子式

（3） 定理1：

行列式等于它的任意一列（或行）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和

技巧：先用性质化出0，再展开

（4） 定理2：

行列式某列（或行）与另一列（或行）的对应元素的代数余子式的乘积之和恒为零。

2、 高阶行列式

3、 二元线性方程组

4、 三元线性方程组

5、 齐次线性方程组

（1） 两个方程

11

（2） 三个方程

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