浙江省2016年4月普通高中学业水平考试（数学解析版

浙江省2016年4⽉普通⾼中学业⽔平考试(数学)详细答案

⼀、选择题（本⼤题共18⼩题，每⼩题3分，共分.每⼩题列出的四个选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1. 已知集合{}1,2A =，{}

(1)()0,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（ ）A.2B.1C.1-D.2- 【答案】A

【解析】因为A B =，所以B ∈2，可得2=a2. 已知⾓α的终边经过点(3,4)P ，则sin α=（ ）A.35B.34C.45D.43【答案】C

【解析】：由三⾓函数定义可知

434sin 22=+==r y α3. 函数

2()log (1)f x x =-的定义域为（ ）A.(,1)-∞-B.(,1)-∞C.(0,1)

D.(1,)+∞ 【答案】D

【解析】：由01>-x ，可得1>x

4. 下列图象中，不可能成为函数()y f x =图象的是（ ）

【答案】：A

【解析】：A 选项中，当0=x 时，有两个y 与之对应，与定义⽭盾

5.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知直线l 的⽅程为2y x =+，则⼀点O 到直线l 的距离是A.122

【答案】：C

【解析】：直线l 的⽅程为02=+-y x ，则点O 到直线l 的距离2)1(120022=-++-=d

6. tan 20tan 251tan 20tan 25+=-?（ ）1- D.1

【答案】：D

【解析】：tan 20tan 251tan 20tan 25+=-?

145tan =o 7. 如图，某简单组合体由半个球和⼀个圆台组成，则该⼏何体的侧视图为（ ）

【答案】：B

【解析】：由三视图的概念易知答案选B8. 已知圆221:1C x y +=，圆22

2:(3)(4)9C x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ） A.内含 B.外离 C.相交 D.相切 【答案】：B【解析】：两圆的圆⼼距2

1222145)04()03(r r C C +=>=-+-=，所以两圆外离9. 对任意的正实数a 及,m n Q ∈，下列运算正确的是（ ）

A.()m n m n a a +=B.()nm n m

a a = C.()m n m n a a -= D.()m n mn a a =【答案】：D

【解析】：由指数运算性质，易知答案选D

10. 已知空间向量(2,1,5)a =- ，(4,2,)b x =- ()x R ∈.若a ⊥b，则x =（ ）A.10-B.2-C.2

D.10 【答案】：C【解析】：a ⊥b

，所以052)1()4(2=+?-+-?=?x ，解得2=x

11. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中，设a R ∈.若不等式组1010y a x y x y ??

-+??+-?≤≤≥，所表⽰平⾯区域的边界为三⾓形，则a 的取值范围为（ ）A.(1,)+∞B.(0,1)C.(,0)-∞

D.(,1)(1,)-∞+∞ 【答案】：A

【解析】：化简01≤+-y x ，得到1+≥x y ，即表⽰直线1+=x y 的上⾯部分；化简01≥-+y x ，得到x y -≥1，即表⽰直线x y -=1的上⾯部分。⼜因为两直线交于)1,0(点，且与a y ≤所包围区域为三⾓形，所以1>a12. 已知数列{}*()n a n N ∈满⾜

12,1,n n n a a a +?=?+?n n 为奇数为偶数，设n S 是数列{}n a 的前n 项和. 若520S =-，则1a 的值为（ ）A.239-B.2031-C.6-D.2-

【答案】：D

【解析】：由递推关系可知122a a =，121123+=+=a a a ，242134+==a a a ， 341145+=+=a a a ，所以2061313215-=+=++++=a a a a a a S ，可得21-=a

13. 在空间中，设,,a b c 为三条不同的直线，α为⼀平⾯.现有： 命题:p 若a α?，b α?，且a ∥b ，则a ∥α

命题:q 若a α?，b α?，且c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥α.则下列判断正确的是（ ） A.p ，q 都是真命题 B.p ，q 都是假命题 C.p 是真命题，q 是假命题 D.p 是假命题，q 是真命题 【答案】：C

【解析】：由直线与平⾯平⾏的判定定理可知命题p 为真命题；由直线与平⾯垂直的判定定理可知命题q 为假命题。14. 设*n N ∈，则“数列{}n a 为等⽐数列”是“数列21n a ??为等⽐数列”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件 【答案】：A

【解析】：充分性：若“数列{}n a 为等⽐数列”，则)2(,1≥=-n q a a n n，所以)2(,111222121

2≥==--n q a a a a n

n n n ，所以“数列21n a 为等⽐数列”，充分性成⽴。必要性：若“数列21n a ??为等⽐数列”，则)2(,11212≥=-n q a a n n，所以)2(,1122121

2≥==--n q a a a a n n n n ，)2(,1

1≥±=-n q a a n n ，所以“数列{}n a 不是等⽐数列”，必要性不成⽴。

15. 在△ABC 中，已知∠A ＝30°，AB ＝3，BC ＝2，则△ABC 的形状是（ ） A.钝⾓三⾓形 B.锐⾓三⾓形 C.直⾓三⾓形 D.不能确定 【答案】：D【解析】：由正弦定理可得43sin sin ==

BC A AB C ， 在ABC ?中，BC AB >，则A C ∠>∠，所以C ∠可能为锐⾓或钝⾓16. 如图所⽰，在侧棱垂直于底⾯的三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱BC 上的

动点.记直线A 1P 与平⾯ABC 所成的⾓为1θ，与直线BC 所成的⾓为2θ，则12,θθ的⼤⼩关系是（ ） A.

12θθ= B.12θθ> C.12θθ< D.不能确定【答案】：C

【解析】：由题意得11APA

∠=θ，PB A 12∠=θ。过1A 作BC 垂线，交点为Q ，则P AA 1?和PQ A 1?均为直⾓三⾓形且斜边相同。因为Q A A A 11<，所以12θθ<

17. 已知平⾯向量,a b满⾜a =

，12()b e e R λλ=+∈ ，其中12,e e 为不共线的单位向量.

若对符合上述条件的任意向量,a b恒有a b -12,e e 夹⾓的最⼩值为（ ）

A.6πB.3πC.23πD.56π【答案】：B

【解析】：1,cos 2)(2122

21+><+=+=λλλe e e e ；由a b-

163163,222≥+><=+?-；

0,cos >≥<，><≥,cos 23

，23≥

，432≥∴ 431,cos 2212≥+><+∴λλe e 恒成⽴；431,cos 2212≥

+><+∴λλe e 对任意R ∈λ恒成⽴；

01,cos 4212≤-><=?∴e e ，21,cos 2121>≤<≤-∴e e ；32,321ππ>≤≤<∴e e ；

21,e e ∴夹⾓的最⼩值是3π18. 设函数2()(,)

f x ax b a b R x =

--∈.若对任意的正实数a 和实数b ，总存在0

[1,2]x ∈，使得0()f x ≥m ，则实数m 的取值范围是（ ）A.(,0]-∞B.1(,]

2-∞ C.(,1]-∞ D.(,2]-∞ 【答案】：B【解析】：设)(x f 的最⼤值为)(b M ，令b ax x x u --=2

)(，当[]2,1∈x 时，函数)(x u 单调递

减，b a x u b a --≤≤--∴2)(21，0>a ，b a b a --<--∴221由0221=--+--∴b a b a ，解得233a b -=①由10≤233a b -≥

时，12)(-+=b a b M ；233ab -<

时，b a b M --=2)(；233a b -=

时

∈+=1,2121)(min

a b M ②由21≤≤a ，b b a b M +≥-+=112)(，112)(min >-+=b a b M由a ≤2时，02<--b a ，a b a b M +≥-+=112)(，31)(min ≥+=a b M综上可得：21)(min >b M ，21≤∴m⾮选择题

⼆、填空题（本题有四⼩题，每空3分，共15分）19. 已知函数()2sin()32f x x π

=++，x R ∈，则()f x 的最⼩正周期是，⽽最⼩值为_____.【答案】：π2，1

【解析】：()f x 的最⼩正周期ππ212==T ；当1)2sin(-=+πx 时，)(x f 取最⼩值120. 设函数()2()x

f x a a R =+∈.若函数()f x 的图象过点(3,18)，则a 的值为_______. 【 答案】：10【 解析】：(3,18)代⼊)(x f 可得a +=3218，所以10=a21. 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>.若存在圆⼼在双曲线的⼀条渐近线上的圆，与另⼀条渐近线及x 轴均相切，则双曲线的离⼼率为. 【答案】：2

【解析】：如图，双曲线2222

1(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线⽅程分别为x a b y -=和x a b y =设圆⼼),(00x a b

x C ，由题意可知，C 到x 轴的距离等于C 到直线

xa b y -

=的距离，则c

bx b a x a ba bx x a b0220002=

+?+=，即c b a b 2=，2==∴a c e

22. 将棱长为1的正⽅体ABCD EFGH -任意平移⾄

11111111A B C D E FG H -，连接GH 1，CB 1.设M ，N 分别为GH 1，CB 1的

中点，则MN 的长为.

【答案】：26

【解析】：由题意，不妨设平⾯ABFE 与平⾯1111H G C D 重合，则N 与B 重合，M 是GE 中点，26211=+=∴MN

三、解答题（本⼤题共3⼩题，共31分）

23.（本题10分）如图，将数列{}*2()n n N ∈依次从左到

右，从上到下排成三⾓形数阵，其中第n ⾏有n 个数. （Ⅰ）求第5⾏的第2个数； （Ⅱ）问数32在第⼏⾏第⼏个；（Ⅲ）记第i ⾏的第j 个数为,i j a （如3,2a 表⽰第3⾏第2个数，即3,210a =）， 求1,12,23,34,45,56,6111111

a a a a a a +++++的值.

（Ⅰ）记n a n =2，由数阵可知，第5⾏的第2个数为a 12，因为

n a n =2，所以第5⾏的第2个数为24.（Ⅱ）因为

n a =32，所以n =16.由数阵可知，32在第6⾏第1个数.（Ⅲ）由数阵可知

,,,,,,,,,,,a a a a a a ======1122334455662612203042

.所以，

,,,,,,...()()...()a a a a a a +++++=+++=-+-++-=-=112233445566111111111111111611122367223677724. (本题10分)已知椭圆221

4x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P

作 斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另⼀点A ，设点A 关于原点的对称点为B.（Ⅰ）求△PAB ⾯积的最⼤值；

（Ⅱ）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内 部，求斜率k 的取值范围. 解：（Ⅰ）由题意得椭圆的上顶点()

,P 01，设点A 为

(),x y 00.因为B 是A 关于原点O的对称点，所以点B 为(),x y --00.

设PAB ?的⾯积为S ，则PAO PB PAO S S S S PO x x =+==?=0001222.因为

x -≤≤022，所以当x =±02时，S 有最⼤值2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()(),,,(,

P B x y x --≠000010且)y ≠-01.

所以，直线PB 的斜率为y x +001，线段PB 的中点为,x y -??- 00122， 于是PB 的中垂线⽅程为y x x y x y -??-=-+ ?+??00001212.令x =0，得N 的纵坐标()

N x y y y --=+22000121.

⼜直线l 的⽅程为y kx =+1，将⽅程代⼊x y +=2

214并化简得()k x kx ++=221480. 由题意，,,k k x y k k -=-=++200228141414

所以，()()()N k k k k k y k k k ----++==--+++222222222814112141414142114.因为点N 在椭圆内部，所以k k -<-<+22121114.

解得k -<<44.

⼜由已知k ≠0，所以斜率k

的取值范围是()(,-0044 .

25.（本题11分）已知函数11()f x x a x b =---（,a b 为实常数且a b <）.