几何中的计数问题(一)(带答案完美排版)

小学奥数专题之 几何中的计数问题（一）

几何中的计数问题（一）

几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、

数综合图 形等. 通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯， 逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力 . 一、数线段

我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点 . 线段是组成三角形、 正方形、长方形、多边形等最基本的元素 .因此，观察图形中的线段， 探寻线段与线段之间、 线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的 .

例 1 、数一数下列图形中各有多少条线段 .

分析：要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺 序、按照一定的规律去观察、去数 . 这样才不至于杂乱无章、毫无头绪 .我们可以按照两种 顺序或两种规律去数 .

第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（ 1）中，线段最左边的端点是 A，即以 A 为左端点的线段有 AB、AC 两条以 B为左端点的线段有 BC一条，所以上图（ 1）有 线段 2＋1＝3条. 同样按照从左至右的顺序观察图（ 2）中，以 A为左端点的线段有 AB、 AC、AD 三 条，以 B 为左端点的线段有 BC、BD 两条，以 C 为左端点的线段有 CD 一条. 所以上页图（ 2）有线段为 3＋2＋1＝6 条.

第二种：按照基本线段多少的顺序去数 . 所谓基本线段是指一条大线段中若有 n个分 点，则这条大线段就被这 n个分点分成 n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段 . 如上 页图（ 2）中，线段 AD 上有两个分点 B、C，这时分点 B、C把AD 分成 AB、BC、CD三 条基本线段，那么线段 AD 总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条 基本线段的是： AC、BD 二条，然后是包含有三条基本线段的是 AD 这样一条 .所以线段 AD 上总共有线段 3＋2＋1＝6条，又如上页图（ 3）中线段 AE 上有三个分点 B、C、D， 这样分点 B、C、D把线段 AE 分为 AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段 AE 上总 共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有 4 条基本线段，其次是包含有二条 基本线段的有 3 条，然后是包含有三条基本线段的有 2 条，最后是包含有 4 条基本线段的 有一条，所以线段 AE上总 共有线段是 4＋3＋2＋ 1＝ 10 条. 解：① 2＋1＝3（条） .

②3＋2＋1＝6（条）.

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③4＋3＋2＋1＝10（条）. 小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数

出所有线段，必须按照一定顺序有规律的 去数，这个规律就是：线段的总条数等于从 1 开始的连续几个自然数的和，这个连续自然

数的和的最大的加数是线段分点数加 1 或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减 1. 也就是基本线段的条数 .例如右图中线段 AF上所有点数（包括两个端点 A、F）共有 6个， 所以从 1 开始的连续自然数的和中最大的加数是 6－1＝5，或者线段 AF上的分点有 4 个（B、 C、D、E）.所以从 1开始的连续自然数的和中最大的加数是 4＋1＝5.也就是线段 AF 上基 本线段（ AB、BC、CD、DE、EF）的条数是 5. 所以线段 AF上总共有线段的条数是 5＋4 ＋3＋2＋1＝15（条）.

二、数角 例 2 、数出右图中总共有多少个

角 .

分析：在∠ AOB 内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成 4个基本 角，那么∠ AOB 内总共有多少个角呢？首先有这 4个基本角，其次是包含有 2 个基本角组 成的角有 3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有 3 个基本角组成的角有 2 个（即∠ AOC3、∠ C1OB），最后是包含有 4 个基本角组成的角有 1 个（即∠ AOB ），所以 ∠ AOB 内总共有角：

4＋3＋2＋1＝10（个）.

解：4＋3＋2＋1＝10（个）. 小结：数角的方法可以采用例 1 数线段的方法来数，就是角的总数等于从 1 开始的几个连 续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加 1，也就是基本角的个数 . 例 3 、数一数右图中总共有多少个角？

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解：因为∠ AOB 内角分线 OC1、OC2? OC9 共有 9 条，即 9+1=10个基本角 .

所以总共有角： 10+9+8+? +4+3+2+1=55（个） .

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三、数三角形

例 4 、如右图中，各个图形内各有多少个三角形？

分析：可以采用类似例 1 数线段的两种方法来数，如图（ 2）： 第一种方

法：先数以 AB 为一条边的三角形共有： △ABD、△ABE、△ABF、△ABC 四个三角形； 再数以 AD 为一条边的三角形共有： △ADE 、△ADF、△ADC 三个三角形； 以 AE 为一条边的三角形共有： △AEF 、△AEC 二个三角形； 最后以 AF 为一条边的三角形共有 △ AFC 一个三角形 . 所以三角形的个数总共有 4+3+2+1=10. 第二种方法：先数图中小三角形共有：

△ABD、△ADE、△AEF、△AFC 四个三角形 . 再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有： △ABE 、△ADF 、△AEC 三个三角形， 以三个小三角形组合在一起的三角形共有： △ABF 、△ADC 二个三角形， 最后数以四个小三角形组合在一起的只有 △ ABC 一个 . 所以图中三角形的个数总共有： 4+3+2+1=10（个） . 解：① 3+2+1=6（个）

② 4+3+2+1=10（个） . 答：图（ 1）及图（ 2）中各有三角形分别是 6个和 10 个. 小结：计算三角形的总数也等于从 1 开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三 角形一边上的分点数加 1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数 .

例 5 、如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：在数的过程中应充分利用上几例总结的规律， 明确数什么？怎么数？这样两个问题 . 数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数；算：就是以基本线段（基本三角形） 条数为最大加数的从 1 开始的连续几个自然数的和 .

① 要数多少条线段：先看线段 AB、AD、AE、AF、AC、上各有 2 个分点，各分成 3 条基本线段，再看 BC、MN 、GH 这3条线段上各有 3个分点，各分成 4条基本线段 .所以 图中总共有线段是：

（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.

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② 要数有多少个三角形，先看在 △AGH 中，在 GH 上有 3 个分点，分成基

本小三角形 有 4个. 所以在△AGH 有三角形 4+3+2+1=10（个） . 在△AMN 与△ABC 中，三角形 有同样的个数，所以在 △ ABC 中三角形个数总共：

（4+3+2+1）×3=10×3=30（个） . 解：①在 △ABC 有线段是：

（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条） ②在 △ABC 有三角形是：

（4+3+2+1）× 3=10×3=30（个） . 例 6 、如右图中，共有多少个角？

分析：本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决 .

∠1、∠2、∠3、∠4我们可视为 4个基本角，由 2个基本角组成的有： ∠1与∠2、∠2 与 ∠ 3、∠ 3与∠ 4、∠ 4与∠ 1，共 4个角.由3个基本角组成的角有：∠ 1、∠2与∠ 3； ∠2、∠3 与∠ 4；∠ 3、∠4 与∠ 1；∠4、∠1与∠ 2，共4 个角，由 4个基本角组成的角只 有一个.

所以图中总共有角是： 4×3+1=13（个） . 解：所以图有角是： 4×3+1=13（个） . 小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有 n 个基本角，那么它上面角的总数是

n×（ n－ 1）+1.

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课后练习题

1、数一数下图中，各有多少条线段？

2、数一数下图中各有多少角？

3、数一数下图中，各有多少条线段？

4、数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？

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课后练习题参

1、①在 AB 线段上有 4 个分点，所以它上面线段的总条数为： 5+4+3+2+1=15

（条） ②在线段 AB 上有 3 个分点，所以它上面线段的总条数为： 4+3+2+1=10（条） .

在线段 CD上有 4个分点：所以它上面线段的总条数为： 5+4+3+2+1=15（条） .

∴整个图（ 2）共有线段 10+15=25（条） .

③在线段 AB 上有 3 个分点，它上面线段的条数为： 4+3+2+1=10（条） . 在线段 CD 上有 2 个分点，它上面线段的条数为： 3+2+1=6（条） . 在线段 EF 上有 2 个分点，它上面线段的条数为 6 条. 所以图（ 3）上总共有线段 10+6+6=22（条） .

2、①在∠ AOB 内有 4 条角分线，所以共有角： 5+4+3+2+1=15（个）； ②在∠ AOB 内有 9 条角分线，所以共有角： 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）； ③ 周角内含有 6 个基本角，所以共有角： 6×（6-1）+1=31（个） . 3、①（ 3+2+1）× 7=42；

②（6+5+4+3+2+1）×4+（4+3+2+1）×7 =21×4+10×7=84+70=1. 4、①有线段：（4+3+2+1）×3+（3+2+1）×5 =30+30=60（条）

有三角形：（4+3+2+1）× 3=30（个）；

②有线段：（5+4+3+2+1）+5×2+（2+1） =15+10+3=28（条） 有三角形：（5+4+3+2+1）× 2+5 =15×2+5=35（个） .

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几何中的计数问题（一）

几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角

形、数综合图 形等. 通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯， 逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力 . 一、数线段

我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点 . 线段是组成三角形、 正方形、长方形、多边形等最基本的元素 .因此，观察图形中的线段， 探寻线段与线段之间、 线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的 .

1、数一数下列图形中各有多少条线段 .

二、数角 例 2 、数出右图中总共有多少个

角 .

例 3 、数一数右图中总共有多少个角？

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三、数三角形

例 4 、如右图中，各个图形内各有多少个三角形？

例 5 、如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？

例 6 、如右图中，共有多少个角？

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课后练习题

2、数一数下图中各有多少角？

3、数一数下图中，各有多少条线段？

4、数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？

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