基于tikhonov正则化的图像恢复

赤峰学院学报渊自然科学版冤

Vol.30No.52014年5月JournalofChifengUniversity渊NaturalScienceEdition冤May2014基于tikhonov正则化的图像恢复张

睿袁靳彦培袁裴巧

渊河南师范学院

数学与信息科学学院袁河南

信阳

4000冤

摘

要院图像恢复问题一直伴随着数字图像技术的不断发展而发展.近年来图像复原的应用范围已经扩展到众多的科学

和技术领域袁如天文观测袁物质研究袁遥感图像袁医学影像等.解反问题的正则化方法与最优化理论相结合可以在数字图像恢复中有很大的应用.本文首先介绍成像系统基本概念和理论袁通过图像退化模型退化袁然后采用基于tikhonov正则化方法袁通过用CG最优化方法以及直接解正则方程组进行对图像进行恢复袁最后通过数值试验进行图像恢复并简单比较两种方法图像处理的差异.

关键词院狄拉克啄曰函数图像退化模型曰BTTB矩阵构造曰退化算子曰tikhonov正则化曰CG最优化方法中图分类号院TP391文献标识码院A文章编号院1673-260X渊2014冤05-0013-031引言

这就是线性位移不变系统的退化模型渊如图1所示冤.数字图像恢复是图像处理的一个重要分支袁它属于反问题的研究领域.其处理过程有许多方法袁例如小波变换尧傅里叶变换尧Cosine变换等.而解反问题的正则化方法与最优化理论相结合可以在数字图像恢复中有很大的应用.本文采用基于tikhonov正则化方法袁通过用CG最优化方法袁以及直接解正则方程组进行对图像进行恢复袁然后再进行比较袁数值显示正则化方法是一种可靠有效的方法.2预备知识

图12.0成像系统

2.2连续图像退化的数学模型

点源的概念院一幅图像可以看成由无穷多个极小的像素组成袁每个像素可以看作为一个电源成像袁因此袁一幅图f(x,y)=琢d茁

像也可以看成由无穷多点源形成的袁在数学上袁点源可以用在不考虑噪声乙+∞+∞-∞

情况乙-∞

f(琢,茁)啄(x-琢,y-茁)d下袁连续图像经过退化系统H后输狄拉克啄函数表嗓示.二维啄函数可定义为

出院

啄(x,y)=∞x=0,y=0g(x,y)=H[f(x,y)]0其它

+∞

+∞g(x,y)=H[且满足

-∞

∞

着

为线性乙-∞

f(琢,茁)啄(x-琢,y-茁)d琢d茁]+∞-∞

-∞

f(琢,茁)H[啄(x-琢,y-茁)d琢d茁]它的一蓦啄(x,y)dxdy=个重要特性为采样特性即院

乙乙系统且为空间不变系统所以有院

+∞g(x,y)=-蓦由于H着

啄(x,y)dxdy=1-∞

令乙∞

H(x-琢,y-茁)=H[啄(x-琢,y-茁)]茁)dxdy=f(琢,茁)则

-∞

另一个特蓦f(x,y)啄(x-琢,y-性乙为位移性院

g(x,y)=∞∞f(x,y)=乙+∞+∞-∞

乙-∞

f(琢,茁)h(x-琢,y-茁)d琢d茁]系统的-∞

2.1图像退化模型

乙-∞

f(琢,茁)啄(x-琢,y-茁)d琢d茁

这里h(x-琢,y-茁)为退化系统的点扩散函数袁或叫冲击响应函数.只要知道退化系统的点扩散函数袁就可以计假定成像系统H是线性位移不变系统袁则f(x,y)表示理算出降质的图像输出.想的尧没有退化的图像袁获取的图像g(x,y)表示为退化的图2.3离散图像退化模型

像.则有以下关系院

为便于计算机实现袁需将退化模型离散化.g(x,y)=H[f(x,y)]2.3.1先看一维卷积

若受加性噪声n(x,y)的干扰袁则退化图像可以表示为

对f(x)及h(x)均匀采样袁样本M-1袁即

g(x,y)=H[f(x,y)]+n(x,y)f(x)x=0,1,...,M-1-13-.com.cn. All Rights Reserved.h(x)x=0,1,...,M-1其卷积为

M-1

g(x)=x=0,1,2,移m=0

f(m)h(x-m)噎,M-1把f(x)尧g(x)表示成向量形式院

f=[f(0),f(1),噎,f(M-1)]Tg=[g(0),g(1),噎,g(M-1)]T

卷积写成矩阵的形式院

g=Hf其中H是M*M的矩阵.杉山

山山h(0)h(-1)h(-2)噎h(-M+1)煽衫山衫山衫山衫山h(1)h(0)h(-1)噎h(-M+1)衫山衫H=山山山h(2)h(1)h(0)噎h(-M+3)衫衫衫山衫山山┇

┇

┇

埙

┇衫衫山衫山衫山删

h(M-1)h(M-2)h(M-3)噎

h(0)衫衫衫闪

H为toeplitz矩阵.2.3.2推广到二维空间

设f(x,y)尧h(x,y)均匀采样袁样本数为M*N袁M*N.则循环卷积为

g(x,y)=移M-1噎移N-1m=0n=0

f(m,n)h(x-m,y-n)x=0,1,2,,M-1y=0,1,2,噎,N-1矩阵形式院g=Hff尧g是MN维向量袁H是MN×MN矩阵.H是BTTB矩阵.杉山山山H0H-1H山-2山山山HHH噎H1-M煽衫衫10-1衫山衫Hj=山山山HH噎H衫衫2-M衫21H0衫衫山衫山山┇

┇

┇埙噎H3-M

┇

衫衫山衫山衫山删

H衫M-1HM-2HM-3噎H0

衫衫闪

其中

杉山

山山h(j,0)h(j,-1)h(j,-2)噎h(j,1-N)煽衫

山衫山山山h(j,1)h(j,0)h(j,-1)噎h(j,2-N)衫衫衫衫Hj=山山山山h(j,2)h(j,1)h(j,0)噎h(j,3-N)衫衫衫山衫山衫山┇

┇

┇

埙

┇衫山衫山衫山衫删

h(j,N-1)h(j,N-2)h(j,N-3)噎

h(j,0)衫衫闪

2.3.3n是MN维噪声向量袁则退化模型g=Hf+n3BTTB矩阵的构造3.1kronecker积的定义

设有两个矩阵Am1

×n1

=(aij)曰Bm1

×n1

=(bij)则矩阵A和B的

kronecker积定义为

杉山山山山a11Ba12B噎a煽1,n衫

1

B衫山衫山衫山衫A茚B=山a21Ba22B噎a2,n1

B衫山山山山山山山删

a窑窑

窑窑

噎窑窑

衫衫衫衫衫衫m1

,1Bam1

,2B噎am衫1

袁n1

B衫衫闪

-14-显然袁A茚B是一个m12×n12的矩阵.3.2kronecker积的性质

若A尧B分别为toeplitz矩阵则kronecker积为BTTB矩阵.3.3构造高斯退化算子

由于高斯分布函数为

k(x,y,孜,浊)=1exp(-1(x-孜)2-1(x-浊)2

2仔籽籽軈2籽2軈且

籽k(x,y,孜,浊)=1exp(-1(x-孜)2-1(x-浊2

2仔籽籽

軈2籽2軈1籽)=exp(-1(x-孜)21exp(-1(x-浊2姨2仔籽2籽姨2仔軈籽

2軈).籽)籽算和劬籽軈k1(x,孜)k2(y,浊分别刻画了x与y方向的模糊性.子k的有限维近似可由对k1作kronecker积得到.袁k2的有限维近似并且

4正则化方法4.1目标

我们要做的事在知道退化算子H袁知道图像g以及噪声类型的情况下袁来反解出f袁其近似解为f赞

.其模型为院

4.2用到的技术

4.2.1tikhonov正则化

Tx=b(T*T+琢I)x=T*bminx(12Tx-b2

a22+2x2

⑴

等价于

minx(12x*(T*T+琢I)x-b*Tx+12b*b)⑵

⑵转化为最优化问题.4.2.2共轭梯度求最小化

设f(x)=12xTQx+bTx+c要求minxf(x)则共轭梯度算法

为院

①给定初始点x0②作直线搜索f(x袁计算p0=-塄f(x0)曰置k=0曰

k+tkpk)=minf(xk+tpk)曰

xk+1=xk+tT

kpk袁tk=塄f(xk)(pk)TQp塄f(xk)k

③判断||塄f(xk+1)||<着是否满足袁若满足袁则打印xk+1机曰否则转至④曰

袁停④计算

琢k=塄f(xk+1

)TQpk

(pk)TQpkpk+1=-塄f(xk+1)+琢kpk

⑤置k=k+1曰若k=n袁停止袁输出xk-1,否则转②

.com.cn. All Rights Reserved.4.3数值实验

下面对一张像素分别为70*70袁40*40,30*30渊70*70为最大极限尺寸冤的图片分别用两种方法做实验进行了比较袁第一种方法用的是CG对渊2冤进行求极小值渊每个共轭方向只搜索了一次结束冤袁第二种是对正则化得方程渊1冤进行直接求解袁并且分别对琢取不同的值进行误差比较袁及观察其误差趋势.如下图所示院

像素为70*70的结果

图像为40*40的结果

像素为30*30的结果

其中袁图第一子图为原图片袁第二子图为退化后的图像渊这里我们取籽=軈籽=1.7冤袁第三子图为用共轭梯度法求出的结果袁第四子图为是对正则化得方程进行直接求解得到的图像.5恢复误差的评估

首先定义误差公式为院

2err=f-F赞赞f2fF

其中f为真解袁f赞

是求得的近似解.则有下表知5.05e+01170*70图像3.32e+01140*40图像CGcond法误值差值0.07102.0448e+01130*30图像0.12800.1494直接法误差值0.1162

0.1003

0.0940

有表格分析知袁在问题不是很病态时直接法误差小些

渊6琢参取数最选取优值与冤误袁当差图的关像像系

素多尧问题更病态时CG法好一些.由下图分析可知袁对于琢的取值不同他们分别的误差也不同袁CG方法做出来的基本上是随琢值减小而减小袁而直接解正则后的方程组渊1冤得到的误差是随着琢值增加过程袁误差先减小后增加袁有一个最优解渊70*70时间太长就不分析了冤.像素为40*40的图像

像素为30*30的结果

7结论

对于tikhonov正则化方法袁求解不适定问题比只要对琢选取好参数袁就可以反演出较好的解.要要要参要考要要文献要要要要院

要要要要要要要要要也也21页渊页姚美敏冤袁Rafael等.数字C.Gonzalez,Richard图像处理[M].机械工E.Woods.业出版社数袁字2006.1.

渊第二版冤[M].北京院电子工业出版社袁2005.图像处理也3页肖庭书冤[M].延袁北京于慎院根科袁学出王彦版飞社.反袁问题的数2003.

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应用[D].北京交通大学袁2008.

法研究及其在图像恢复中的

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