成都市2021届高三联考一诊模拟数学(理)试卷(有答案)

数学（理）试卷

一、选择题

1.已知集合Ax|x2x20,集合B为整数集,则AB ( )

A. 1,0,1,2 B. 2,1,0,1 C. 0,1 D. 1,0

2.已知i是虚数单位，设zA．第一象限

1i，则复数z2对应的点位于复平面( ) 1iC．第三象限

D．第四象限

B．第二象限

3.抛物线y2x2的焦点坐标为( ) 1A．,0

81B．,0

41C．0,

41D．0,

84.已知alog0.22，b0.32，c20.3，则( ) A. cab

B. acb

C. abc

D. bca

5.已知m,n是两条不同直线，,,是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A．若m//,n//,则m//n C．若m//,m//,则//

B．若,,则// D．若m,n,则m//n

π6.若tan3，则sin2( )

4A．4

5B．1 C． 2

D．3

57.设函数fxx3a1x2ax.若fx为奇函数，则曲线yfx在点1,f1处的切线方程为( ) A．y4x1

B．y2x4

C．y4x2

D．y2x6

π8.已知函数ysin(x)0,||，且此函数的图像如图所示，则此函数的解析式可以是

2( )

1πA．ysinx

42πB．ysin2x

8πC．ysin2x

41π D．ysinx

429.下列命题中的真命题有( )

11”是“A．已知a,b是实数，则“log3alog3b”的充分而不必要条件 33abB．已知命题p:x0，总有(x1)ex1，则p:x00，使得x01ex1 C．设,是两个不同的平面，m是直线且m.“m//”是“//”的充要条件 D．“x0R,2x0x02”的否定为“xR,2xx2”

10.如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为( )

A．162π B．16π C．16π D．162π

11.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓.荡胸生层云，决眦入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再是人们出行的阻碍.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将从点A到D修建的一条隧道，测量员测得数据如图所示（A,B,C,D四点在同一水平面内），则A,D两点间的距离为( )

A.65123km

B.651213km

C.35123km

D.351213km

x2y212.已知双曲线1,O为坐标原点，P,Q为双曲线上两动点，且OPOQ,则△POQ面积的

45最小值为（ ）

A．20 B．15 C．30 D．25

二、填空题

13.已知向量a(2,1)，b(1,k)，a(2ab)0，则k_____________.

14.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体, 选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为__________ 7816 3204 6572 9234 80802 4935 6314 8200 0702 3623 4369 4869 9728 6938 0198 7481 y15.12x的展开式中x2y2项的系数是_____________.

216.函数fxex1ex1asinπxxR,a0存在唯一的零点,则实数a的取值范围是______________.

三、解答题

17.已知等比数列an的公比q1，且a1,a3的等差中项为10， a28. （1）求数列an的通项公式； （2）设bnn， 求数列bn的前n项和Sn. an18.为了认真贯彻落实成都市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在

[2,3),[3,4),[4,5),,[8,9)，[9,10)（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如

图）．

（1）由图中数据估计,从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5,6)的概率；

（2）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2,3)和[8,9)的人中任选3人，求其中在[8,9)的人数X的分布列和数学期望；

19.如图,四棱锥PABCD中，AB//DC，ADCπ，ABAD1CD2，PDPB6，22PDBC．

（1）求证：平面PBD平面PBC； （2）在线段PC上存在点M，使得

CM2 ,求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小. CP31y2x220.已知F1,F2分别为椭圆C1:221(ab0),且焦距是2，离心率是

2ab（1）求椭圆C的方程;

1（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2(y1)21相切，且交椭圆C于A,B,若椭圆C上一点P满足112OAOBOP,求实数的取值范围.

21.已知函数f(x)2x33(1m)x26mx(xR). (1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若f15，函数gxalnx122.[选修4-4，坐标系与参数方程]

1x2t2已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴y11t2π正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos.

4fxx2上恒成立，求整数a的最大值 0在1，（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程； （2）已知P(2,1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求23.[选修4-5，不等式选讲] 设函数f(x)x1|xa|． a11的值. |PA||PB|（1）若f(2)a1，求a的取值范围；

（2）若对a(0,),f(x)m恒成立，求实数m的取值范围．

参

1.答案：A

解析：由已知得Ax|1x2,又集合B为整数集,则AB1,0,1,2,故选A. 2.答案：A 解析： 3.答案：D 解析： 4.答案：C 解析： 5.答案：D 解析： 6.答案：A 解析： 7.答案：C 解析： 8.答案：C 解析： 9.答案：D 解析： 10.答案：B 解析： 11.答案：A

解析：本题考查两角差的余弦公式以及余弦定理的应用.连接AC，设ACB,ACD，则在ACB中，AB4,BC5,ABC90，所以AC41,sin441,cos1，所以1534435coscos120，所以

224141241AD2AC2CD22ACCDcos4192AD65123.故选A.

41343524165123，所以12.答案：A 解析： 13.答案：12 解析：

14.答案：01

解析：由题意知依次选取的编号为08, 02,14,07,01(第2个02需剔除),所以选出来的第5个个体的编号为01. 15.答案：420 解析：

216.答案：a0,

π解析：

2a11q2017.答案：（1）由题意可得：，

aq81 ∴2q25q20 ∵q1， a14∴， q2n1∴数列an的通项公式为an2nN.

（2） bn∴Snn2n1，

n2n1123222324

112Sn34222n1n 2n12n212n11111上述两式相减 可得Sn2342222111+212223n2n2

∴Sn11n11nnn2221

12n2n12n12n12 解析：

18.答案：（Ⅰ）因为0.050.10.18a0.320.10.030.0211，所以a0.2． 因为0.2110020，

所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5,6)的学生有20人．

所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5,6) 的概率为

200.2． 100（2）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2,3)和[8,9)的人分别为5人和3人．

所以X的所有可能取值为0，1，2，3．

3C55P(X0)3，

C8281C52C315P(X1)， 3C82812C5C315P(X2)，

C83563C31P(X3)3．

C856所以X的分布列为： X P 0 5 281 15 282 15 563 1 56所以数学期望EX0解析：

5151519123 28285656819.答案：（1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形， 且AB//DC, ABAD2,ADCπ,所以BD22， 又因为CD4,BDC．根据余弦定理

24得BC22, 所以CD2BD2BC2，故BCBD. 又因为BC⊥PD, PDBDD,且BD,PD平面PBD，所以BC⊥平面PBD， 又因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PBD （2）由（1）得平面ABCD平面PBD, 设E为BD的中点，连结PE ，因为PBPD6,所以

PEBD,PE2,又平面ABCD平面PBD，

平面ABCD平面PBDBD，PE平面ABCD.如图，以A为原点分别以AD，AB和垂直平面ABCD的方向为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz，

则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2,0,0)，P(1,1,2)， 假设存在M(a,b,c)满足要求，设

CM(01)，即CMCP， CP所以M(2-,4-3,2),易得平面PBD的一个法向量为BC(2,2,0).

设n(x,y,z)为平面ABM的一个法向量，AB(0,2,0)， AM=(2-,4-3,2) 2y0nAB0由得，不妨取n(2,0,2).

(2)x(43)y2z0nAM0因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为

41π， ，所以32242(2)222CM2.

解得,2，（不合题意舍去）.故存在M点满足条件，且3CP3 解析：

x2y220.答案：（1）1

34(2)设Ax1,y1,Bx2,y2,Px0,y0,由OAOBOP，则x1x2x0，y1y2y0 x02y02且，又因为直线ykxt,kt0与圆相切 1?① 34所以：kt11k21k2tt1,t0② 1t2ykxt43k2x26k2tx3k2t2120且0恒成立 由x2y21436k2t3k2t2128kt所以x1x2，x1x2, y1y2kx1x22kt2243k43k43k24k2t26k2t8kt2,代入① 得 ③ P,43k243k243k24②代入③得2 ‘t1,t0

121（2）21tt12112144,2） （2）211（2132（0，）（，4）tttt33 解析：

21.答案：（I）f'x6x261mx6m6x21mxm

6(x1)(xm)

若m1时，f(x)0，f(x)在R上单调递增；

若m1时，m1，当xm或x1时，f(x)0，f(x)为增函数， 当mx1时，f(x)0，f(x)为减函数，

若m1时，m1，当x1或xm时，f(x)0，f(x)为增函数， 当1xm时，f(x)0，f(x)为减函数. 综上，m1时，f(x)在R上单调递增；

当m1时，f(x)在(,m)和(1,)上单调递增，在(m,1)上单调递减； 当m1时，f(x)在(,1)和(m,)上单调递增，在(1,m)上单调递减. （II）由f(1)23(1m)6m5，解得 m0， 所以f(x)2x33x2，

由x(1,)时，lnx10，可知g(x)a(lnx1)2x30在(1,)上恒成立 可化为a2x3在x(1,)上恒成立，

lnx1132(lnx1)(2x3)2lnx2x3设h(x)(x1)，则h(x)xx，

2lnx1(lnx1)(lnx1)2323设(x)2lnx(x1)，则 (x)20，

xxx所以(x)在(1,)上单调递增，又(2)2ln23ln16330，(e)20 22e3. x0所以方程h(x)0有且只有一个实根x0，且 2x0e,2lnx0所以在(1,x0)上，h(x)0， h(x)单调递减，在(x0,)上，h(x)0,h(x)单调递增，所以函数h(x)的最小值为

h(x0)2x032x032x02e，从而a2x02e. 3lnx0112x0当a5时，不等式g(x)a(lnx1)2x30不恒成立，，当a4时，不等式恒成立，故a最大为4 解析：

1x2t222.答案：（1）直线l的参数方程为（t为参数），两式相加得xy3，

1y1t2π即直线l的普通方程为xy30，由4cos，可得22cos22sin，即

4222cos22sin，

∴曲线C的直角坐标方程为x2y222x22y0. x2（2）直线l的参数方程可化为y12m2（m为参数），代入曲线C的直角坐标方程，可得2m2m22m5620，所以m1m220，m1m25620，

所以

PBPAmm21125212. 1|PA||PB|PAPBm1m247562解析：

23.答案：（1）因为f2a1，所以21|2a|a1， a111 2当a时，，则，解得：；,22aa1a2a3a102a2111； 2当a时，，则，解得：,0a22aa12aa1022,0a当a0,2时，23+171； 0,2aa1，则2a23a10，解得：a4a当a2,时，211a2a1，则1，此时无解， aa3+17； 0,4综上可知：a,0（2）因为f(x)x1111xaxxaa，所以fxmina,当且仅当aaaa1xxa0时取等号，又因为a(0,),f(x)m恒成立，所以fxminm，所以

aa11m恒成立，且a≥2（取等号时a1）， aa所以m2，即m,2.