2.1.2指数函数及其性质 优秀教案

【课题】：指数函数及其性质（特色班） 【教学目标】：

（1）掌握指数函数的概念、图象和性质；

（2）能借助计算机或计算器画指数函数的图象；

（3）能由指数函数的图象探索并理解指数函数的性质； （4）培养学生多角度地思考，进一步发展合情推理. 【教学重点】：指数函数的概念和性质. 【教学难点】：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 【课前准备】：课件 【教学过程设计】： 教学环节 一、课前训练 教学活动 1．某种细胞时，由一个成2个，2个成4个，4个成8个，……，一个这样的细胞x次后，得到的细胞个数y与x的关系式是什么？ 解：y2x 2．一种放射性物质不断变为其他物质，每经过一年剩余的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量y关于时间t的关系式。并通过计算机或计算器，求出大约经过多少年，剩留量是原来的一半。 解：y0.84 二、指数函数的概念 一般地，函数ya(a0,a0)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。 思考： 1°：为什么函数的定义域为R ？ 2°在函数ya中为什么规定a0,a1？ 3°解析式为y23是否是指数函数？ xxxt设计意图 通过动手运算，帮助学生引入指数函数的概念。 给学生提供积极参与数学活动的空间，在探究过程中，不仅巩固知识，也学会多角度思考4°解析式为y22x是否是指数函数？ 5°在什么情况下 y(2a1)x (a 为常数)为指数函数？ 解：1°在a > 0的条件下，x可以取任意实数，所以函数的定义域为R； xx2°∵ 若a = 0，当x > 0时a恒为0,当x ≤0是,a无意义. x－0.5 a < 0时,如a = －2,x = －0.5则a= (－2)无意义; xa = 1时,a恒为1,没有研究的价值. 二、指数函数的图象与性质 三、例题选讲 让学生自己动手 借助于多媒体画出函数y2,y() 总结函数yax(a0,a0)的性质： 图象 a > 1 0 0, 则a > 1; (3)若x < 0, 则a > 1; xx若x < 0 ,则0 < a< 1 若x>0, 则0 < a< 1. (4)在R上是增函数 (4)在R上是减函数 xx例1．已知指数函数f(x)ax(a0,a1)的图象经过点(3,) （1）求f（0）， f（－3）的值； （2）若满足f(2x1)f(x2)，试求实数x的取值范围。 解：（1）∵指数函数f(x)a(a0,a1)的图象经过点(3,) ∴ f(3) ∴ aa ∴ f(x) ∴ f(0)1 ，f(3)01313xx3 （2）∵ a131 ∴ f（x）是R上的增函数 ∴ f(2x1)f(x2)2x1x2， ∴ x3 即：x∈[3，+∞] 例2：比较下列各题中两个值的大小： （1）0.80.1,0.80.2; （2）1.70.3,0.93.1 解：（1）考察函数y0.8x在R上是减函数， ∵ 0.10.2 0.80.10.80.2; （2）由指数函数的性质可得： 1.70.31,00.93.11 ∴ 1.70.30.93.1 例3．截止到1999年底，我过人口约13亿。如果今后能将人口平均增长率1%，那么经过20年，我国人口最多为（精确到亿） 解：设今后人口平均增长率为1%，经过x年后，我国人口为y亿； 1999年底，我国人口约为13亿 经过1年（即2000年），人口数为： 13 + 13×1% = 13（1+1%）（亿） 经过2年（即2001年），人口数为： 2 13（1+1%）+ 13（1+1%）1% = 13（1+1%） 经过2年（即2001年），人口数为： 223 13（1+1%）+ 13（1+1%）1% = 13（1+1%）（亿） … … ∴ 经过x年，人口数为：y13(11%)x131.01x（亿） 当x =20年时， y131.0116（ 亿） ∴ 经过20年后，我国人口最多为16亿。 例4．设f(x)4(k1)22，在（0，+∞）上恒取正值，试确定实数k的取值范围 解：设2t,t(1,)，则原函数可以转化为： xxxx 四课堂联练习 五、课堂小结： g(t)f(x)t2(k1)t2,(t(1,)) k12(k1)2[t]224 ∴ 要使命题成立，则必须满足： k11k112或2(k1)220g(1)04k1k1或k2221k221 k1或1k221 k221k(,221)1． 函数y(2a23a2)ax 是指数函数，试确定a的值。 2a23a211a 解：2a1,a02：求y32x13函数的定义域： 93解：要使函数有意义，必须满足： 333032x1322x192 5x42x1 1．指数函数的定义以及指数函数的一般表达式的特征； 2．指数函数简图的作法以及应注意的地方； 3．指数函数的图象和性质。 练习与测试 一、基本训练

1．比较下列各题中两个数的大小：

（1）30.1 30.2 （2）0.835______0.830.4 (3) e1.7______e2.1 (4)0.62_____0.65.1 2．已知下列不等式，比较m、n的大小：

（1）2m2n； （2） 0.4m0.4n； （3）aman(a0,a1)

3．求不等式a2x7a4x1 （a>0,且a≠1）中的x的取值范围

4．当死亡物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了。

（1）死亡生物组织内的碳14经九个“半衰期”后，用一般的放射性探测器能测到碳14吗？

（2）大约经过多少万年后，用一般的探测器就测不到碳14了（精确到万年）？ 二、变式训练 5．确定函数y5x22x3的单调递增区间。

6．设a0,a1，如果函数ya2x2ax1在[－1，1]上的最大值为14，求实数a的值。 参

1.(1) < ; (2) < ; (3) < ; (4) > .

2. (1) < ; (2) > ; (3),当0 n;当a>1时,m < n 3.解: 当01时,x∈(3,+∞) 4.解：设死亡物组织内的碳14的初始含量为a（a>0）,经过x的“半衰期”后, 死

1亡物组织内的碳14的含量为y,则:ya()x

2111aa (1) 当x= 9时,y()9a25121000∴一般的放射性探测器能测到碳14 (2)

5．X∈（－∞，1） 6．a = 3或a = 1/3