初中数学创新题

2.填空题（4分）如图，在一块矩形草地ABCD,己知AB=8米，AD=4米，E、F分别是AB、CD的中点，曲线EF=8米，现在曲线EF的中点P处系有一只羊，则羊的运动范围是（岑+ 8占）平方米。DCB分析：羊的运动范围在为以AB、CD为直径的两个半圆内。。___________c

f解:根据题意作图，得分别以AB、CD为直径的两个半圆交于点M、X,

连结四边形FNEM及线段MN、EF, 可得：四边形FXEM是边长为4的

菱形，ZFEM=60° , 0M=275 , A ZMEB=30° ,NM=4V5.同理：ZDFN=30兀1 lS = 4•项*+石・4•戒

16兀 LZAEN=ZCFM=30P .3.阅读理解题(10分)。如图，凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC_LBD,分别记△ AOD, AAOB, ABOC, AC0D的面积为S】,S； &, S牝则有S, • S3=S2 . S4.证明过程如下:-OB^OA-OB^OC. • Si _ 2 _ OB si _ 2 _ OB% Lod^oa od % Lod^oc on2 2

八刀

= M a s^s3=s.^s4.S4

S3(1)探索：任意凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别记△ AOD, AAOB, ABOC, A COD 的面积为 Sb S2, S3, S<.等式S： • S3=S： • Si是否仍然成立？请说明理由。(4分)B(2)运用(1)中探索得出的性质解决问题:如图，在Z\\ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BD、CE相交于点0,4, S M0E 二3, S^osc二 6,则S*•(2 分)②若 S^bde = 7, S adk = 12, Sbc= 21,则 SabOD=解：（1）等式SL • S3=S2 • S.仍然成立。

.（4 分）（1分）理由：（3分）如图，作 AE±BD 于 E, CF_LBD 于 F,— OB • AE co — OB ♦ CF 八 °. . 1 _ -2 _ OB H _ 2 _ OB• =即.CF OD七-OD^AE °D2S] S,（2）①Sw = 20 . （2 分）由（1）得:SaboD • S ACOE =Saok • SaDOE•L Saxe =4x3

6=2.. . S 四边彬以1= 4+3+6+2=15.又・..D、E是AB、AC的中点,_ 1 _ 3. • Saak 一 ， S 四边形 mce 一 一 Swc4 4/. SAAK = 1-2=20.4.

②S△虻 12 . （4分）设△BOD, ADOE, AEOC, AB0C 的面积为 Slt S2, S3, S,• SaBDE = S1+S2 =7, S ADEC = S2+S3 =12, S/iEK = S3+S4 =21,由（1）中性质可得：SlSlSlS,41 + $2 _ s‘4 + S3

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221由 S2+S3 =12 得：S5=9,由 S3+S4 =21 得：S4 =12. 即：SABod=12.4. (12 分)如图1,直线&与坐标轴交于A、B两点，0为坐标原

点，将AAOB绕点B顺时针旋转至A的对应点C落在x轴上。(1) 求出过A、B、C三点的抛物线的解析式。(2) 求出AAOB在旋转过程中扫过的面积。(3) 如图2,将ABDC向左平移，点C运动到0点时停止运动。设B

点的运动距离为x, AAOB和ABDC重叠部分面积为S,求S关于 x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。解：(1)由题意得:A(0, V3),B(lt0),AB=>/3TT = 2.所以 OC=3,C(3,0)°设所求抛物线解析式为y = o?+故+ c(aH0),A、B、C三点坐标代入节*

厂

厂得：0 = a + b + c » 解得：a=工■ ， b-~9 c=V3 o 所求抛物3 30 = 9。+ 3\" + c线解析式为y二至尸一WL +妊(3分)(2) VA(0, >/3),B(l,0) , A tan— = V5. ZABO=600

OBA ZABC=120°，即ZXAOB 旋转了 120。。(3)①如图1,当B'点在线段0B上运动时，两三角形的重叠部分是 ZXBEE' ° y=—.r4x的取值范围为OWxWl.(1.5 分)②如图2, D点在三角形内部时，设DB'与A0交于点F, DC与AB交于点G,两三角形的重叠部分是五边形DFOBG.由, 得 F(>q8O = V5(x-1),作 GH±x 轴于点 H,由 ZDCB，=30° 可得GH— BG,又 BG—BC= 2 — Xf 所以 GH— (2 — x) <> y— — 、 x~ + 2y/3x — >/3 ,2 2 4x的取值范围为IVxV】.2(1.5 分，)图1如图③图23, D点运动至y轴左侧，C点在B点右侧时，设DC与A0交于点K,与AB交于点G,两三角形的重叠部分是四边形KOBG.作GH侦轴于点H,得GH斗2F，同理得OC=3-x,KO=平OC = ¥（3t）。+争X的取值范围为扑V2.（1.5 分）图3如图④图44, C点在线段0B上运动时，设DC与A0交于点K,两三角

形的重叠部分是左KOC・ 0C=3-x, KO奈S争3一、）。y=y（3-汗一屈+三1, x的取值范围为2WxW3.6 6 2（1. 5 分）