2020年内蒙古赤峰市中考数学试卷(含答案解析)

副标题

题号 一 总分 得分 一、选择题（本大题共14小题，共42.0分）

1.

实数|一5|, —3, Ot √4中，最小的数是（）

A. I — 5∣

B. —3

C. 0

D・ V5

2. 2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时

精度为世界之最，不超过0.0000000099秒.数据“0.0000000099”用科学记数法 表示为（）

A. 99 × IO'10 B. 9.9 × 10~1° C. 9.9 × IO'9 D. 0.99 × 10^8 3.

下列图形绕某一点旋转一左角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（）

C.

正八边形

圆及其一条弦

4. 学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评左该选手的成绩时, 从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分.7个有效评 分与9个原始评分相比，不变的数据特征是（）

A.平均数

B.中位数

C.众数

D.方差

5. 下列计算正确的是（）

第21贞，共27页

B. 3√2- 2√2 = 1

C. (x2)3 = x5 6.

A.

-3-2-10123 D. m ÷m = m

532不等式组 + 4> o的解集在数轴上表示正确的是()

如图，在△力EC中，点D, E分别是边AB, AC的 中点，点F是线段DE上的一点.连接AF, BF,

∆AFB = 90°,且43 = 8, BC = 14,则 EF 的长是

A. 2 B. 3 C.4 D. 5

9.估i∣-(2√3 + 3√2) × Jj的值应在()

A.4和5之间

B.5和6之间

C.6和7之间 D.7和8之间

10.如图，AMEC中，AB =AC. AD是乙BAC的平分线，EF是AC

的垂直平分线，交AD于点O.若OA = 3,则ZBC外接圆的面积 为()

A. 3π

B. 4π C. 6π D. 9兀

11.如图,GM经过平而直角坐标系的原点0,交X轴于点F(-4,0),交y轴于点C(0,3),

点D为第二象限内圆上一点.贝忆CDo的正弦值是()

第24贞，共27页

12.

A. ^-πcm B. 60πcm C. 6Sπcm

2D. 130πcm

222∙<-10→4

D. 6

14.

如图，在菱形ABCD中，乙B = 60。, AB = 2.动点P从 点B岀发，以每秒1个单位长度的速度沿折线£力→ AC 运动到点C,同时动点O从点A岀发，以相同速度沿 折JlAC → CD运动到点D,当一个点停止运动时，另一点也随之停止•设PQ的面积为y,运动时间为X秒.

4

D

B C

则下列图象能大致反映y

与X之间函数关系的是（）

第21贞，共27页

y

y

√T

423

2

√342 √3O-

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

15. 一个正\"边形的内角和是它外角和的4倍，则九= ________ . 16. 如图，航舶无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30。,

测得底部B的俯角是60。，此时无人机与该建筑物的水平距离

AD是9米，那么该建筑物的髙度BC为 _______ 米（结果保留根号

）・

17. 某校为了解七年级学生的身体素质情况，从七年级各班随机抽取了数量相同的男生 和

女生，组成一个容量为60的样本，进行各项体冇项目的测试.下表是通过整理 样本数据，得到的关于每个个体测试成绩的部分统计表： 某校60名学生体育测试成绩频数分布表

成绩 优秀 良好 合格 不合格 合计

划记 频数 百分比 30% 正正正下 正e T 60 a b 30 正正正正正止 9 15% 3 60 5% 100% 如果该校七年级共有300名学生，根据以上数据，估计该校七年级学生身体素质良 好及以上的人数为 ______ 人.

第24贞，共27页

18・一个电子跳虽在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为4丄，点金表示

的数为1：第二次从点力丄起跳，落点为O力丄的中点力2,第三次从力2点起跳，落点为

O力2的中点力3：如此跳跃下去•••最后落点为O力2019的中点力2020，贝I

J^2020表示的

数为 ______ •

第一次

^2020^3 月2

月

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

19・先化简，再求值：m _ 心丄+= 其中加满足：m-m-l=0. m-+2m+l m

220. 小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的 正

方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力.爸爸要求小琪只切两刀把蛋 糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等.

（1） 请你在图1中画岀一种分法（无需尺规作图）：

（2） 如图2,小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所

在的直线.（不写作法，保留作图痕迹）

第21贞，共27页

21. 如图1, 一枚质地均匀的正四而体骰子，它有四个而，并分别标有1, 2, 3, 4四 个数

字：如图2,等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈.丫丫和甲甲想玩跳 圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一而点 数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长.如：若第一次掷得点数 为2,就逆时针连续跳2个边长，落到圈C：若第二次掷得点数为4,就从圈C继 续逆时针连续跳4个边长，落到圈A.

(1) Y 丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为 _______ :

(2) Y 丫和甲甲一起玩跳图游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，

都以最终落回到圈A为胜者.这个游戏规则公平吗？请说明理由.

22. 甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两 队

各自修建公路50Onn甲队比乙队少用5天.

(1) 求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？

(2) 我市讣划修建长度为3600加的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队

第24贞，共27页

来完成・若甲队每天所需费用为1・2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费 用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？

23.

如图，AB是G> O的直径，AC是G)O的一条弦，点P是G)O上一点，且PA = PC9

PD//AC,与BA的延长线交于点D.

(1) 求证：PD是G)O的切线：

(2) WtanzPylC =三，AC = 12,求直径 AB 的长.

3

24. 阅读理解：

材料一：若三个非零实数兀，y, Z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的 倒数的和，则称这三个实数X，y, Z构成“和谐三数组”.

材料二：若关于X的一元二次方程αχ2 +以+ c = 0(α HO)的两根分别为X空x2 则有

Xi + X2 = - -» ι2 = -•

a

a

x,χ第21贞，共27页

第22贞，共27页问题解决:

(1) 请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ______ :

(2) 若冷，巾是关于X的方程αK + bx + c = O(α,b, C均不为0)的两根，心是关于X

的方程bx + c = O(btc均不为0)的解.求证：x1, x2, E可以构成“和谐三数组”：

⑶(m,y1'), B(m + l,y2), C(m + 3,旳)三个点均在反比例函数y = ?的图象上， 且三点

的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数加的值.

25. 如图，已知二次函数y = ax + bx + c(a≠ 0)的图象与X轴交于A(It0), 8(4,0)两

2点，与y轴交于点C，直线y = -∣x+2经过B, C两点.

(1) 直接写出二次函数的解析式 _____ :

(2) 平移直线BC,当直线BC与抛物线有唯一公共点0时，求此时点。的坐标： (3) 过(2)中的点Q作QE∕∕y轴，交X轴于点E.若点M是抛物线上一个动点，点N是 X轴上一个动点，是否存在以Et M, N三点为顶点的直角三角形(其中M为直角顶

点)⅛∆ BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合 条件的点M的坐标：如果不存在，请说明理由.

第24贞，共27页

26・如图，矩形ABCD中，点P为对角线AQ所在直线上的一个动点，连接PD,过点

P作PE丄PD,交直线AB于点E,过点P作MN丄力3,交直线CD于点M,交直 线AB于点N.AB = 4岳AD = 4・

(1) 如图1,①当点P在线段AC上时，∆PDM和乙EPN的数量关系为：

Z-PDM ______ 厶 EPN；

②筹的值是 _______ ;

(2) 如图2,当点P在CA延长线上时，⑴中的结论②是否成立？若成立，请证明： 若

不成立，说明理由；

(3) 如图3,以线段PD PE为邻边作矩形PEFD.设PM的长为x,矩形PEFD的而 积为y・

请直接写岀y与X之间的函数关系式及y的最小值.

图

3

第21贞，共27页

答案和解析

1. 【答案】B

【解析】解：∙∙∙∣-5∣ = 5, √4 = 2> -3 < O < 2 < 5,

••• —3是最小的数，

故选:B.

正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数比较大小，绝 对值大的反而小，据此判断即可.

此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数 >0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小.

2. 【答案】C

【解析】解：0.0000000099 = 9.9 × 10^9, 故选：C.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为α×10-\与较大数的科 学记数法不同的是其所使用的是负指数幕，指数\"由原数左边起第一个不为零的数字前 面的0的个数所决圧.

本题考査用科学记数法表示较小的数，一般形式为α×10-\苴中1≤ ∣α∣<10, ”为由 原数左边起第一个不为零的数字前而的0的个数所决泄.

3. 【答案】C

【解析】解：A、最小旋转角度=警=120。：

B、 最小旋转角度=警=180°：

C、 最小旋转角度=^=45°；

D、 最小旋转角度= 360°：

综上可得：旋转一泄角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是C. 故选：C.

求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作岀判断.

本题考査了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键.

4. 【答案】B第24贞，共27页

【解析】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有 效评分7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是中位数. 故选：B.

根据平均数、中位数、众数、方差的意义即可求解.

本题考査了平均数、中位数、众数、方差的意义.平均数是指在一组数据中所有数据之 和再除以数据的个数：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间 的那个数（或最中间两个数的平均数）：一组数据中岀现次数最多的数据叫做众数：一组 数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数拯的方差.

5. 【答案】D

【解析】解：A、a+a∖无法计算，故此选项错误；

2B、 3√2-2√2 = ∖[2^故此选项错误：

C、 （X2）3 =X6,故此选项错误；

ms ÷m3 = m2,正确.

故选：D.

直接利用合并同类项法则以及幕的乘方运算法则、同底数幕的乘除运算法则分别计算得 出答案.

此题主要考查了合并同类项以及幕的乘方运算、同底数幕的乘除运算，正确掌握相关运 算法则是解题关键.

6. 【答案】C

【解析】解：解不等式x + 2>0,得：% >-2. 解不等式一2x + 4≥0,得：x≤2, 则不等式组的解集为—2 分别求岀各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可.

本题考査的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大：同小取小；大小小大中间找：大 大小小找不到”的法则是解答此题的关键.

7. 【答案】A

【解析】解：•••把Rt ∆ ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到\"BU

.∙. A'B' =AB = S, A,C, = AC = 3, ∆A,C,B'=乙ACB = 90o, A1A = CC1 = 3,

第21贞，共27页

.∙. F,C, = √52 -32 = 4∙ AC∕∕A'C',

.∙.四边形ACCA'^矩形，

•••四边形ABC'A的而积WaLr+ 8C<) VC = ∣×(3 + 4 + 3) ×3 = 15, 故选:A.

,,根据平移的性质得到A'B = AB = S, A'C =AC = 3, ∆ACB' = ∆ACB = 90°, AA =

,,,,1CC1 =3,由勾股泄理得到RC，= √5^ = 4,根据梯形的面积公式即可得到结论.

Σ

本题考査了勾股立理，梯形的而积，平移的性质等知识点的应用，主要考査学生综介运 用性质进行计算的能力，题目比较典型，但难度不大. &【答案】B

【解析】解：•••点D，E分别是边AB, AC的中点，

.∙. DE是△>!BC的中位线，

∙∙∙ BC= 14, .∙. DE = -BC = 7,

2

•・• Z-AFB = 90。，AB = 8∙ .∙. DF = -AB = 4.

2 ^EF = DE-DF = 7 - 4 = 3,

故选：B.

根据三角形中位线泄理和直角三角形的性质即可得到结论.

本题考査了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题 的关键.

9. 【答案】A

【解析】解：原式=2 +虫，

••• 2 < √6^< 3. ∙∙. 4 < 2 + V 6 < 5 >

故选:A.

先根据二次根式的运算法则进行计算，再估算无理数的大小.

本题主要考查了二次根式的乘法，无理数的大小估算，关键是正确掌握二次根式的摊牌 法则.

第24贞，共27页

10.

【答案】D

【解析】解:-AB = ACf AD是乙D4C的平分线，

・・・BD = CD、力D丄BC.

∙∙∙ EF是AC的垂直平分线，

•••点O是△力8C外接圆的圆心，

•・・OA = 3,

.∙∙Δ v48C外接圆的而积为9τr.

故选：D.

由等腰三角形的性质得出3D = CDt AD丄BC,则点O是NABC外接圆的圆心，则由圆 的而积公式可得岀答案.

本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质等知识, 解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质.

11.

【答案】A

【解析】解：连接BC,如图,

F(-4,0), C(0,3),

∙*∙ OB = 4, O C = 3, ・・・ BC = √32 + 42 = 5>

OC 3

・•・ SinZOFC = — = -♦

BC 5

•・•厶 ODC =厶 OBC,

・•・ Sin乙CDO = SinZZ)BC = ?・

故选：A・ 连接BG如图，先利用勾股泄理计算岀BC = 5,再根据正弦的左义得到Sin乙OEC=右 再根据圆周角左理得到厶ODC = GBC,从而得到SSin乙CDO的值.

本题考査了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条 弧所对的圆心角的一半.

12.

【答案】C

【解析】解：观察图形可知: 圆锥母线长为：√52 + 122 = 13,

第21贞，共27页

所以圆锥侧面积为：πrl = 5 X 13 × π = 65π(cm2). 答：该几何体的侧而积是65πcm2. 故选：C.

根据几何体的三视图得这个几何体是圆锥，再根据圆锥的侧面是扇形即可求解.

本题考査了几何体的表而积，解决本题的关键是根据几何体的三视图得几何体，再根据 几何体求其侧而积•

13.

【答案】B

【解析】解：过B点作8H丄y轴于H点，BC交X轴于D 如图，

∙∙∙8C∕∕y轴，力C 丄 BC,

.∙.四边形ACDO和四边形ODBH都是矩形，

S 龜畑 CQ = I-21 = 2,

S 矩/f幻 DBH =⑹=6,

SnIHiACBD = 2 + 6 = 8

>48C 的面积=ES 矩臨 CBD = ∙ 故选：B.

4过B点作3H丄y轴于H点，BC交X轴于D,如图，利用反比例函数系数k的几何意义 得到S矩闻ACD = 2, S矩稅DBH = 6,则S敷炀曲=8,然后根据矩形的性质得到'ABC的 面积. 本题考査了反比例函数系数斤的几何意义：在反比例函数y = ?图象中任取一点，过这 一个点向X轴和y轴分别作垂线，与坐标轴帀成的矩形的而积是上值∣k∣.在反比例函数 的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的而积 是扌比1，且保持不变.

14.

【答案】A

第24贞，共27页

【解析】解：当0≤%S2时，如图1,过点0作QH丄力B于H∙

图1

由题意可得BP = AQ=X,

・・•在菱形ABCD中，乙B = 60。，AB = 2,

•・.AB = BC=AD = CD,乙B =乙D = 60%

・・•△力8C和△力DC都是等边三角形，

・・.AC = AB = 2,乙BAC = 60° =乙ACD ■ ・・• sin∆BAC = —t

AQ'

√3

Λ

HQ = AQ∙ sin6OQ = -X^

∙∙∙Δ力PQ的而积=y =扌(2 — X)X耳X =—寻(尤一1)2 +罟■;

当2V%≤4时，如图2,过点0作QN丄力C于M

由题意可^AP = CQ=x-2.

Sin

^CD=^ =

√3

・•・ NQ =y(x-2), ・••△ MPQ的而积=y = ；(x-2)X M(X -2) = y(x _ 2)2,

・・・该图象开口向上，对称轴为直线兀=2, ・・・在2故选：A・ 由菱形的性质可证'ABC和△力DC都是等边三角形，可^AC = AB = 2, ∆BAC =

60° =

T9 ∆ACD,分两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求y与X之间函数关 系，

由二次函数的性质可求解.

第21贞，共27页

.∙. 300 × (30% + 50%) = 240(Λ).

答：估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数为240人. 故答案为:240.

根据频数分布表数据可得\"和b的值，进而可以估计该校七年级学生身体素质良好及以 上的人数.

本题考査了频数分布表、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体，解决本题的 关键是掌握统计的相关知识.

1&【答案】晶

【解析】解：第一次落点为金处，点Λ］表示的数为1; 第二次落点为O金的中点42,点力2表示的数为去 第三次落点为0月2的中点A3，点43表示的数为G)2 ；

则点力2020表示的数为(护°19,即点去020表示的数为為： 故答案为：蛊•

根据题意，得第一次跳动到坷处，离原点为1个单位，第二次跳到0力丄的中点力2处，即 在离原点扌个单位处，第三次从42点跳动到力3处，即距离原点处，依此即可求解. 本题考査了数轴，是一道找规律的题目，本题注意根据线段中点的左义表示出各个点跳 动的规律.

19.【答案】解:

原式=m 一

(τn+l)(m-1) ~(m+l)≡~

m m—1

τn2

= ----- ，

m+1

Vm2 - m - 1 = 0»

.∙. mz = m + It

・・・原式= m+1

【解析】根据分式乘法法则和减法法则化简原式，再将已知方程变形为m=m + l, 最后代

2m+l

入求值便可.

本题主要考查分式乘法法则和减法法则，求代数式的值，考査了整体代入思想，关键是

第21贞•共27页

熟练掌握分式混合运算的顺序和运算法则，解题技巧是将已知方程变形，巧用整体代入 思想可快速求值.

20.

【答案】解：⑴如图•直线⑴ 直线b即为所求.

【解析】(1)作正方形的对角线即可・

(2)连接AC交宜线EF于O,过点O作直线C丄EF即可.

本题考査作图-应用与设计，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用 所学知识解决问题.

21.

【答案】≡

4

【解析】解：(I)Y 丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率=扌:

(2)这个游戏规则不公平.

理由如下： 画树状图为：

开始

12 3 4

心 z√V

1 2 3 4

1234

1 2 3 4

1

2 3 4

共有16种等可能的结果，曲中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数为5, 所以甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率=三，

16

因为十V —

4

16

所以这个游戏规则不公平.

(1) 直接利用概率公式汁算；

(2) 画树状图展示所有16种等可能的结果，找出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈

第24贞，共27页

A的结果数，则可计算出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率，然后通过比

较她们回到圈A的概率的大小可判断游戏是否公平・

本题考査了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的 大小，概率相等就公平，否则就不公平.也考査了树状图法.

22•【答案】解：（1）设乙工程队每天修路X米，则甲工程队每天修路“米,

依题意，得：于一

500

~2解得：X = 50,

经检验，% = 50是原方程的解，且符合题意, ・•・2% = 100・ 答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米.

（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工竺斗泸 =（36 - 0.5Tn）天,

依题意，得:O-Sm+ 1.2（36 - 0.5m） ≤ 40, 解得：m≥ 32.

答：至少安排乙工程队施工32天・

【解析】（1）设乙工程队每天修路X米，则甲工程队每天修路\"米，根据工作时间=工 作总量÷工作效率结合两队各自修建公路50（加时甲队比乙队少用5天，即可得岀关于X 的分式方程，解之经检验后即可得岀结论：

（2）设安排乙工程队施工加天，则安排甲工程队施工（36 - 0.5m）天，根据总费用不超过 40万元，即可得出关于川的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论.

本题考査了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量 关系，正确列出分式方程：（2）根据各数量之间的关系，正确列岀一元一次不等式.

23.【答案】解：（1）连接PO,交AC于乩

・・・∆PAC =乙PCA,

•・• LPCA = LPBA • ・•・ LPAC =乙PCA = LPBAy第21贞，共27页

•・• DPIIA C、

・•・ LDPA =乙PAC = LPCA = ∆PBA9 •・• OA = OP、 ・•・ Z-PAO =乙OPA,

•••力3是直径，

・・• LAPB = 90°,

・・・ LPAB + ∆ABP = 90°, ・・・ ∆OPA + ∆DPA = 90°,

・•・厶DPo = 90°,

又∙∙∙ OP是半径，

∙∙∙ DP是Oo的切线：

(2) •・• DPIlAC.乙DPo = 90°,

・・•厶 DPo =乙 AHo = 90。，

XV PA = PC,

••・ AH = HC = =AC = 6,

2

PU O

•・• tan∆PAC = - = -9

AH 3 ・・• PH = -×AH = 4.

3 •・• AO2 = AH2+ OH2, ・・• AO2 = 36+(-4)2,

C A 13

・•・OA = —♦

2

・•• AB = 20 A = 13.

【解析】(1)连接PO,交AC于/7,由等腰三角形的性质可^PAC = ∆PCA, LPAO = 乙OPA,由平行线的性质和圆周角泄理可得乙DPA =乙PAC = \"CA =乙PBA,乙APB = 90%可证乙DPo =

90%可得结论：

(2)由等腰三角形的性质可^AH = HC=^AC = 6,由锐角三角函数可求PH = 4,由勾 股左理可

求Ao的长，即可求解.

本题考査了切线的判左和性质，圆周角左理，等腰三角形的性质，勾股左理，锐角三角 函

第24贞，共27页

数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

第25贞，共

27页

24

∙【答案】如鈴扌

【解析】解：⑴根据题意得，能构成\"和谐三数组”的实数有，P扌,右 理由：扌的倒数为

2,扌的倒数为3, £的倒数为5,而2 + 3 = 5,

能过程“和谐三数组”，

故答案为:如∙∙∙Hj

2 3 5

(2)证明:VXlf邑是关于X的方程ax + bx + c = 0(afbt C均不为0)的两根,

2b C ・•・ x1 + x2 = X]・ X2 =

宀—竺色=_2,

×L ×2 ×L×2 C

X3是关于X的方程bx + c = 0(b,c均不为0)的解， ••• %3 = 一吕

O 1

b

Λ XV咒2,心可以构成“和谐三数组”:

XL ×2 ×(3)4(my) B(m + ‰y2)> C(m + 3fy3)三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组 V A(mfy1), B(m + l,y2)> C(Tn+ 3,y3)三个点均在反比例函数7 = ?的图象上,

4 m+3

jL _ 巴 LL — yn+l 1 _ ∏¾+3

,

••兀 一，~ ~ 丁，

,

∙∙A(mβy1)f B(m + ‰y2), C(m + 3,y3)三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组J

m m+1

・•・τn

m+3 4

m+l m+3

第21贞，共27页

・•・m = _4,

m+3 I m m+1 λ+

- 7=-

・•・m = —2,

即满足条件的实数m的值为2或一4或一2.

(1) 根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论：

(2) 先根据材料2,得岀再求出一元一次方程的解，进而得岀- =

Xχ ×2 即

C C

可得岀结论：

(3) 先用加表示出yl, v2, y3,进而表示出它们的倒数，再根据“和谐三数组”分三种

情况，建立方程求解即可得岀结论.

此题主要考查了新定义的理解和运用，反比例函数图象上点的坐标特征，利用分类讨论 的思想解决问题是解本题的关键.

25.

【答案J y = ⅛2-∣x+2

【解析】解：⑴•••直线y = -∣x + 2经过B, C两点. •••点 C(0,2),

•••二次函^y = OX2 + bx + c(a≠0)的图象经过4(1,0), 3(4,0),点C(0,2),

0 = a + b + c

・•・ 0 = 16α + 4b + c, r = 2

・・・抛物线解析式为y = *2 一 * + 2, 故答案为:y = ⅛-∣x + 2;

I9 S

1

・•・-XZ - -x + 2 = --x + 2 + m,

2 V B(4,0),点C(OQ),

•••直线Be■解析式为：y = —∣x + 2, •••设平移后的解析式为：y=-fx+2 + m, ・・・平移后直线BC与抛物线有唯一公共点Q

第24贞，共27页

2 2 2

・•・△= 4一4 X；X (-m) = Ot

・•・m = —2,

•••设平移后的解析式为：y=—扌X,

( 1

2

Iy = —-X 联立方程组得：]I 5

[y = -χ2-^χ + 2

・•・点¢(2,-1):

・•・△ EHMSb BOC♦

EH _ OB MH 一 OC、

・•・ MH = I J∙m2 — + 2∣∙ EH = Im- 2|, •・・ OB =4, OC = 2・

・ 小21 2

IiZyI-^m+2∣

= 2

,

— 2

・•・m = 3 ± 或m = 2 +近、

I

Im = 3 + 苗时，-m2 — -m + 2 =空乂 2 2 2

.∙. M(3 + √l,^∙),

l

Im = 3 — 时，-m2 _ -m + 2 = J

2 2 2

.∙.M(3 \乎)，

当m = 2 + 返时，-m2 — -m + 2 =——> 2 2 2

第21贞，共27页

・•• M(2 + √X-J),

',1m = 2 —返时，-m2 _ -Tn + 2 =—>

2 2 2

∙

β

∙ M(2 — ∖F∑f ~) ♦

②当ANEM7 03C时，

同①的方法得，恵爲=2

J Arn =

J

9±√3I 戒 I±vl7

-Jkrn =-t

3当tn = *3时,-m2 — -m + 2 = 5 + V331

222

当m = A吧时,^m _Iτn + 2 = 5 — V33»

2

2

Z

2ΛM(^,5-√33)>

Ilm = IX7 时,2 — [m+2 = 3- ∖∕17 9

222

I・•・ ⅛^,3-√17),

当时，⅛-∣m÷

2 = 3 + √17,

・•・ M(三二 3 + √17),

即满足条件的点M共有8个，其点的坐标为（3 + √X字）或（3 - √X字）或（2 + √2,-≤）或（2 -伍乎）或（琴ξ 5 +廂）或（宇,5-屈）或芦二3 - √T7）或

⅛3+√17).

（1）先求出点C坐标，利用待泄系数法可求解析式: （2）先求出直线BC平移后的解析式，联立方程组可求解: （3）分两种情况，构造出两三角形相似，得岀需=笄或需=器，进

而建立绝对值方程 求解即可得岀结论.

此题是二次函数综合题，主要考查了待左系数法，一元二次方程的解法，相似三角形的 判左和性质，解绝对值方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

26.

【答案】=√3

第24贞，共27页

・・・四边形ABCD是矩形,

・•・ AB//CD,

・・• NM丄AB.

・•• NM 丄 CD,

・・• DP丄PE,

・•・ Z-PMD =厶PNE =乙DPE = 90°, ・・・\"DM + 乙DPM = 90°,厶DPM + 厶EPN ・・・LPDM =厶EPN.

故答案为=・

②连接DE・・・・四边形ABCD是矩形, ・・ Z-DAE = ∆B = 90。，AD = BC = 4.

C BC √3

・・ tan∆CAB =—=—,

AB 3

・・乙CAB = 30°,

・・ LDAE + ∆DPE = 180°, ・・A9 D9 P、E四点共圆,

・・乙EDP = LPAB = 30%

PP

√3 —,

—=tαn300

3

PD

(2)如图2中，结论成立.

第21贞，共

90。，

27页

理由：连接DE・

•・・乙DPE = Z-DAE = 90。，

Ay D, E, P四点共圆，

・・・ Z-PDE = LEAP =乙CAB = 30°,

...巴=亠=屁

PE tαn30=

S3

・・・\"DM =厶EPN,乙DMP =厶PNE = 90°,

DM _ PM _ PD _ r- PN 一 EN 一 PE 一 '

・•・ DM = ∖∕3(4 — %), EN = -Xt

3

.∙. PD = √DM2 + PM2 = J[√3(4 -x)]2 + X2

√3 3

=2vx2 — 6% + 12>

2>/3

3

0 -------------

PE = -PD =——√x2-6%+ 12,

8√3x + 16√3(x>0),

第24贞，共27页

・•・ y = PD ∙ PE =字(x2 — 6% + 12) = ^x2

Vy = ^(X-3)2 + 4√3.

3

vl≤>o,

3 ・・・当咒=3时，y有最小值，最小值为4√5∙

第25贞，共27页

⑴①利用等角的余角相等证明即可.

②证明乙CAE = 30°,推岀乙PDE = ∆CAB = 30°即可.

(2) 结论成立.证明方法类似②.

(3) 利用相似三角形的性质求出DM,利用勾股立理求出PD,再利用(2)中结论•求岀 PE,即可

解决问题.

本题属于四边形综合题，考査了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判左和性质， 二次函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建二次函数解决 最值问题，属于中考压轴题

.

第21贞，共27页