2014-2015学年广东省肇庆四中高一(下)月考数学试卷(2月份)

2014-2015学年广东省肇庆四中高一（下）月考数学试卷（2月

份）

一、选择题（每小题5分，共10小题，共50分，每小题只有一个正确答案） 1．sin300°的值为（ ） A．

B．

C．

D．

2．下列命题正确的是（ ） A． 小于90°的角是锐角 B． 钝角是第二象限角

C． 第一象限角一定不是负角

D． 第二象限角必大于第一象限角

3．下列各式中，值为 A． 2sin15°cos15°

2

C． 2sin15°﹣1

4．已知向量 A． 垂直

C． 平行且同向 5．当

时，函数f（x）=sinx+

，的是（ ）

B． cos15°﹣sin15°

22

D． sin15°+cos15°

2

2

，则与（ ）

B． 不垂直也不平行 D． 平行且反向

cosx的（ ）

B． 最大值是1，最小值是﹣ D． 最大值是2，最小值是﹣1

A． 最大值是1，最小值是﹣1 C． 最大值是2，最小值是﹣2

6．函数y=﹣xcosx的部分图象是（ ）

A． B．

C． D．

7．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=5，c=10，A=30°，则角B等于（ ） A． 105° B． 60° C． 15° D． 105°或15°

8．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长是（ ） A．

B．

C．

D．

9．等差数列的前三项依次为a﹣1，a+1，2a+3，那么这个等差数列的通项公式为（ ） A． an=2n﹣4 B． an=2n﹣3 C． an=2n﹣1 D． an=2n+1

10．在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A． 等腰直角三角形 B． 直角三角形 C． 等腰三角形 D． 等边三角形

二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）

11．若扇形的周长是8cm，面积4cm，则扇形的圆心角为 rad．

12．在△ABC中，a+b+ab=c，则∠C= ．

13．tan25°+tan35°+

tan25°tan35°= ．

＜φ＜0）的最小值是﹣2，周期为

且图象经过

2

2

2

2

14．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，﹣

点（0，﹣），则函数解析式为 ．

三、解答题（共80分）

15．已知向量和是两个互相垂直的单位向量，且=（3，﹣2），=（4，﹣1）

求：（1）•； （2）与的夹角的余弦值．

16．在等差数列{an}中：

（1）已知a5=﹣1，a8=2，求a1与d； （2）已知a1+a6=12，a4=7，求a9．

17．已知α、β∈（0，π），且cos（2α+β）﹣2cos（α+β）cosα=，求sin2β的值．

18．已知△ABC三个顶点的直角坐标分别为A（3，4）、B（0，0）、C（c，0）． （1）若

，求c的值；

（2）若c=5，求sinA的值．

19．一个人在建筑物的正西A点，测得建筑物顶的仰角是60°，这个人再从A点向南走到B点，再测得建筑物顶的仰角是30°，设A、B间的距离是10米，求建筑物的高．

20．已知函数f（x）=2sinx+sinx•cosx+cosx，x∈R． 求： （1）f（

）的值；

2

2

（2）函数f（x）的最小值及相应x值； （3）函数f（x）的递增区间．

2014-2015学年广东省肇庆四中高一（下）月考数学试卷（2月

份）

参与试题解析

一、选择题（每小题5分，共10小题，共50分，每小题只有一个正确答案） 1．sin300°的值为（ ） A．

B．

C．

D．

考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 三角函数的求值． 分析： 由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果． 解答： 解：sin300°=sin（360°﹣60°）=﹣sin60°=﹣

，

故选：C． 点评： 本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．

2．下列命题正确的是（ ） A． 小于90°的角是锐角 B． 钝角是第二象限角

C． 第一象限角一定不是负角

D． 第二象限角必大于第一象限角

考点： 任意角的概念． 专题： 三角函数的求值． 分析： 由锐角、钝角的范围判断A、B，再由象限角的概念举例说明C、D错误． 解答： 解：∵0°＜90°，但0°角不是锐角，∴A错误； ∵钝角的范围是（90°，180°），是第二象限角，∴B正确； ∵﹣350°是第一象限角，∴C错误；

﹣210°是第二象限角，30°是第一象限角，∵﹣210°＜30°，∴D错误． 故选：B． 点评： 本题考查象限角的概念，是基础的会考题型．

3．下列各式中，值为

的是（ ）

B． cos15°﹣sin15°

22

D． sin15°+cos15°

2

2

A． 2sin15°cos15°

2

C． 2sin15°﹣1

考点： 三角函数中的恒等变换应用．

分析： 这是选择题特殊的考法，要我们代入四个选项进行检验，把结果是要求数值的选出来，在计算时，有三个要用二倍角公式，只有最后一个应用同角的三角函数关系． 解答： 解：∵

故选B 点评： 能将 要求的值化为一个角的一个三角函数式，培养学生逆向思维的意识和习惯；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力．

4．已知向量

，

，则与（ ）

B． 不垂直也不平行 D． 平行且反向

A． 垂直

C． 平行且同向

考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题： 计算题． 分析： 根据向量平行垂直坐标公式运算即得． 解答： 解：∵向量∴⊥，

，

，得，

故选A． 点评： 本题单纯的考两个向量的位置关系，且是坐标考查，直接考垂直或平行公式． 5．当

时，函数f（x）=sinx+

cosx的（ ）

B． 最大值是1，最小值是﹣

A． 最大值是1，最小值是﹣1

C． 最大值是2，最小值是﹣2 D． 最大值是2，最小值是﹣1

考点： 三角函数中的恒等变换应用． 分析： 首先对三角函数式变形，提出2变为符合两角和的正弦公式形式，根据自变量的范围求出括号内角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域． 解答： 解：∵f（x）=sinx+cosx =2（sinx+=2sin（x+∵

cosx） ），

，

∴f（x）∈[﹣1，2]，

故选D 点评： 了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，本题主要是公式的逆用和对三角函数值域的考查．

6．函数y=﹣xcosx的部分图象是（ ）

A． B．

C． D．

考点： 函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象． 专题： 数形结合． 分析： 由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别． 解答： 解：设y=f（x），则f（﹣x）=xcosx=﹣f（x），f（x）为奇函数； 又

时f（x）＜0，此时图象应在x轴的下方

故应选D． 点评： 本题考查函数的图象，选择图象的依据是根据函数的性质与函数本身的局部特征．

7．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=5，c=10，A=30°，则角B等于（ ） A． 105° B． 60° C． 15° D． 105°或15°

考点： 正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 由正弦定理可得sinC=值．

解答： 解：由正弦定理可得：从而可得：sinC=

=

=

， ，

=

，从而可求C的值，由B=π﹣A﹣C即可求出B的

∵0＜C＜π， ∴C=45°或135°， ∵B=π﹣A﹣C，

∴角B等105°或15°． 故选：D． 点评： 本题主要考察了正弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．

8．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长是（ ） A．

B．

C．

D．

考点： 正弦定理． 专题： 计算题． 分析： 由B=45°，C=60°可得A=75°从而可得B角最小，根据大边对大角可得最短边是b，利用正弦定理求b即可

解答： 解：由B=45°，C=60°可得A=75°， ∵B角最小，∴最短边是b， 由

=

可得，b=

=

=

，

故选A． 点评： 本题主要考查了三角形的内角和、大边对大角、正弦定理等知识的综合进行解三角形，属于基础试题．

9．等差数列的前三项依次为a﹣1，a+1，2a+3，那么这个等差数列的通项公式为（ ） A． an=2n﹣4 B． an=2n﹣3 C． an=2n﹣1 D． an=2n+1

考点： 等差数列的通项公式；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 利用等差中项可知2（a+1）=（a﹣1）+（2a+3），进而计算可得结论． 解答： 解：由题可知2（a+1）=（a﹣1）+（2a+3）， 解得：a=0，

∴该数列{an}是以﹣1为首项、2为公差的等差数列， ∴an=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3， 故选：B． 点评： 本题考查等差中项的性质，注意解题方法的积累，属于基础题．

10．在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A． 等腰直角三角形 B． 直角三角形 C． 等腰三角形 D． 等边三角形

考点： 两角和与差的正弦函数． 专题： 计算题． 分析： 在△ABC中，总有A+B+C=π，利用此关系式将题中：“2cosB•sinA=sinC，”化去角C，最后得到关系另外两个角的关系，从而解决问题．

解答： 解析：∵2cosB•sinA=sinC=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0， 又B、A为三角形的内角， ∴A=B． 答案：C

点评： 本题主要考查三角函数的两角和与差的正弦函数，属于基础题，在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，另一个方向是角，走三角变换之路．

二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）

2

11．若扇形的周长是8cm，面积4cm，则扇形的圆心角为 2 rad．

考点： 弧长公式． 专题： 计算题． 分析： 设扇形的圆心角为α，半径为R，则根据弧长公式和面积公式有求扇形的圆心角．

解答： 解：设扇形的圆心角为α，半径为R，则

⇒

．

，故可

故答案为：2． 点评： 本题主要考察了弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．

12．在△ABC中，a+b+ab=c，则∠C=

2

2

2

．

考点： 余弦定理． 专题： 计算题． 分析： 直接利用余弦定理，求出C的余弦值，然后求出C的大小．

解答： 解：在△ABC中，a+b+ab=c，由余弦定理可知，cosC=﹣，C是三角形内角，所以C=故答案为：

．

．

2

2

2

点评： 本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．

13．tan25°+tan35°+tan25°tan35°= ．

考点： 两角和与差的正切函数． 专题： 三角函数的求值． 分析： 利用两角和差的正切公式即可得出． 解答： 解：原式=tan（25°+35°）（1﹣tan25°tan35°）+tan25°tan35°=tan60°=故答案为：． 点评： 本题考查了两角和差的正切公式，属于基础题．

．

14．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，﹣点（0，﹣

＜φ＜0）的最小值是﹣2，周期为

） ．

且图象经过

），则函数解析式为 y=2sin（±3x﹣

考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 依题意，易知A=2，ω=3；又它的图象经过（0，﹣﹣

＜φ＜0，可求得φ=

，从而可得答案．

=

，

），可求得sinφ=﹣

，利用

解答： 解：依题意知，A=2，T=∴ω=±3；

又它的图象经过（0，﹣∴2sinφ=﹣， ∴sinφ=﹣∴φ=

，又﹣，

），

＜φ＜0，

∴这个函数的解析式是y=2sin（±3x﹣故答案为：y=2sin（±3x﹣

）．

），

点评： 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的图象与性质，

属于中档题．

三、解答题（共80分）

15．已知向量和是两个互相垂直的单位向量，且=（3，﹣2），=（4，﹣1） 求：（1）•； （2）与的夹角的余弦值．

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 根据平面向量的坐标表示，计算它们的数量积与夹角的余弦值即可． 解答： 解：（1）∵=（3，﹣2），=（4，﹣1）， ∴•=3×4+（﹣2）×（﹣1）=14； （2）∵||=

=

，

||==，

∴与夹角的余弦值是 cos＜，＞=

==

．

点评： 本题考查了平面向量的坐标运算及其求数量积和夹角的应用问题，是基础题目．

16．在等差数列{an}中：

（1）已知a5=﹣1，a8=2，求a1与d； （2）已知a1+a6=12，a4=7，求a9．

考点： 等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 根据等差数列的定义，建立方程关系即可求出数列的首项和公差即可． 解答： 解：（1）∵a5=﹣1，a8=2， ∴

，

解得a1=﹣5，d=1；

（2）∵a1+a6=12，a4=7， ∴

，

解得a1=1，d=2； 则a9=1+8×2=17． 点评： 本题主要考查等差数列通项公式的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．

17．已知α、β∈（0，π），且cos（2α+β）﹣2cos（α+β）cosα=，求sin2β的值．

考点： 二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数． 专题： 三角函数的求值．

分析： 利用两角和差的三角公式化简所给的条件求得cosβ=﹣．再根据 α、β∈（0，π），可得sinβ=

的值，再利用二倍角的正弦公式取得 sin2β 的值．

解答： 解：∵cos（2α+β）﹣2cos（α+β）cosα=[cos（α+β）cosα﹣sin（α+β）sinα]﹣2cos（α+β）cosα

=﹣cos（α+β）cosα﹣sin（α+β）sinα=﹣cos[（α﹣β）﹣α]=﹣cosβ=， ∴cosβ=﹣．

再根据 α、β∈（0，π），可得sinβ=∴sin2β=2sinβcosβ=2××（﹣）=﹣

．

=

点评： 本题主要考查两角和差的三角公式，以及二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．

18．已知△ABC三个顶点的直角坐标分别为A（3，4）、B（0，0）、C（c，0）． （1）若

，求c的值；

（2）若c=5，求sinA的值．

考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算． 专题： 计算题． 分析： （1）根据已知三点的坐标分别表示出法则，根据

和

，然后利用平面向量数量积的运算

列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值；

（2）把c的值代入C的坐标即可确定出C，然后利用两点间的距离公式分别求出|AB|、|AC|及|BC|的长度，由|AB|、|AC|及|BC|的长度，利用余弦定理即可求出cosA的值，然后由A的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sinA的值． 解答： 解：（1）由A（3，4）、B（0，0）、C（c，0）． 得到：

=（﹣3，﹣4），

=（c﹣3，﹣4），则

•

=﹣3（c﹣3）+16=0，解得c=

=2

；

（2）当c=5时，C（5，0），则|AB|==5，|AC|=，|BC|=5，

根据余弦定理得：cosA===，

由A∈（0，π），得到sinA==．

点评： 此题考查学生掌握平面向量数量积的运算法则，灵活运用余弦定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．

19．一个人在建筑物的正西A点，测得建筑物顶的仰角是60°，这个人再从A点向南走到B点，再测得建筑物顶的仰角是30°，设A、B间的距离是10米，求建筑物的高．

考点： 解三角形的实际应用． 专题： 解三角形． 分析： 设出建筑物的高度，求出AC，BC，利用勾股定理即可得到结论 解答： 证明：设建筑物的高为h米，则AC=

2

2

2

2

2

2

，BC=

2

2

=100，

在Rt△ABC中，AB+AC=BC，∴AB=BC﹣AC=3h﹣h=所以h=

米，

米．

所以建筑物的高为

点评： 本题考查解三角形的运用，考查勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题

20．已知函数f（x）=2sinx+sinx•cosx+cosx，x∈R． 求： （1）f（

）的值；

2

2

（2）函数f（x）的最小值及相应x值； （3）函数f（x）的递增区间．

考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 利用倍角公式降幂，然后利用辅助角公式化简． （1）直接把x=

代入求得f（

）的值；

（2）由相位的终边落在y轴负半轴上求得函数f（x）的最小值及相应x值； （3）利用复合函数的单调性求得函数f（x）的递增区间．

22

解答： 解：f（x）=2sinx+sinx•cosx+cosx =1+sinx+sinx•cosx=1+=

=

2

．

（1）f（=

）

=，此时

，得：

．

，即

； ；

（2）f（x）的最小值为（3）由

∴函数f（x）的递增区间为[]，k∈Z．

点评： 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象和性质，属中档题．