山东省沾化二中2015届高三模拟考试理科数学试题及答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）

1．集合A{3,2}，B{a,b}，若AB{2}，则AB（ ）

A．{1,2,3}

B．{0,1,3}

C．{0,1,2,3}

D．{1,2,3,4}

a2i（ ） 1iA. 1 B. 1 C. i D. i

33. 已知cos(x),则cosxcos(x) ( )

3632323A． B． C．1 D．1

339xax4.函数f(x)的图像关于原点对称，g(x)lg(101)bx是偶函数，则ab（ ） x311A.1 B. 1 C.  D.

222.设i是虚数单位，复数i3据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为（ ）

A．51个 B．50个 C．49个 D．48个 6.下列说法正确的是 （ ） ．．

A．命题“xR，ex0”的否定是“xR，ex0”

B．命题 “已知x,yR，若xy3，则x2或y1”是真命题

C．“x22xax在x1,2上恒成立”“(x22x)min(ax)max在x1,2上恒成立” D．命题“若a1，则函数fxax2x1只有一个零点”的逆命题为真命题

2ˆ4，ˆaˆbxˆ中的b5.某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程y7.已知函数f(x)xsinx(xR)，且f(y22y3)f(x24x1)0，则当y1时，

y 的取值范围是（ ） x11331444444338．设函数f(x)ln(1x)x ，记af(1),bf(3),cf(7)则 （ ）

A.bac B.cba C.abc D.acb

A． [,] B．[0,] C．[,] D．[0,] 9. 在△ABC中，ABBC3，ABC60，AD是边BC上的高，则ADAC的值等于（ ）

A．9 4

B．

927 C． 44 B．82

D．9

10．如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为V1，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为V2,则V1:V2（ ） A．122

C．62

D．42

11.若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝4－y2对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）

A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 12.已知yf(x)为R上的可导函数，当x0时， f'(x)f(x)10，则函数g(x)f(x)的零点个数为（ ） xxA.1 B.2 C.0 D.0或2 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）

a113.x2x的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．

xxx2y214.设x,y满足约束条件exy0，则M(x,y)所在平面区域的面积为___________.

0x251114的最小值为________. 1，则aba1b1x2y2b16．已知F1,F2是双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，若点F2关于直线yx的对称点M也在双曲线上，则该双曲线的离心率为________.

aab15.若正数a,b满足三、解答题（共70分）

17. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若a6，求bc的取值范围.

18.（12分）某站针对2014年中国好声音歌手A,B,C三人进行上网投票，结果如下

观众年龄 支持A 支持B 支持C

200 400 800 20岁以下 100 100 400 20岁以上（含20岁）

（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值.

（2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从7人中任意抽取3人，用随机变量X表示抽取出3人中支持B的人数，写出X的分布列并计算E(X),D(X). 19．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P -ABCD的底面为菱形，∠BCD= 120°,AB= PC =2,AP= BP=2 （I）求证：AB⊥PC：

（Ⅱ）求二面角B一PC—D的余弦值．

a3cosAc， sinC220.设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足an14Sn4n1,nN,且a2,a5,a14恰好是等比数列bn的前三项．

（Ⅰ）求数列an、bn的通项公式；

（Ⅱ）记数列bn的前n项和为Tn,若对任意的nN*，(Tn)k3n6恒成立，求实数k的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知圆C:(x1)y20点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P． （I）求动点P的轨迹C1的方程；

（Ⅱ）设M(0,)，N为抛物线C2:yx2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线Cl于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．

22.（本小题满分12分）.已知函数f(x)xlnx，g(x)(x2ax3)ex（a为实数）． (Ⅰ) 当a=5时，求函数yg(x)在x1处的切线方程； (Ⅱ) 求f(x)在区间[t，t+2]（t >0）上的最小值；

(Ⅲ) 若存在两不等实根x1，x2[，e]，使方程g(x)2exf(x)成立，求实数a的取值范围．

24.已知函数f(x)xax2,

（1）当a3时，求不等式f(x)3的解集;

（2）若f(x)x4的解集包含[1,2]，求a的取值范围.

2232151e

数学答案

{2}，得2a=2，所以a1,b2.即A{3,2}，B{1,2}，因此AB{1,2,3}

2i1i2i32.【答案】【解析】A 解析：复数iii1i1． i1i1i1i1.【答案解析】A 解析：由AB3，∴cosx+cos（x- ）=cosx+cosxcos+sinxsin 3633333331=cosx+sinx=3（cosx+sinx）=3cos（x-）=3×（-）=-1故选C． 2232269xa4.【答案】【解析】D 解析：∵f(x)关于原点对称，∴函数f(x)是奇函数，

3xx-xx\\a=1，∴f(0)=0，∵g(x)lg(101)bx是偶函数，∴g(-x)=g(x)对任意的x都成立，∴lg10+1-bx=lg10+1+bx，

3.【答案解析】C ∵cos（x- ）=-()()10x+1x∴lg=lg10+1+2bx， x10()11，∴a+b=，故选：D 225.【答案】C 解析：由题意知x17.5,y39，代入回归直线方程得a109,10915449，故选C.

∴-x=2bx对一切x恒成立，∴b=-6.【答案解析】A、“∀x∈R，ex＞0”的否定是“∃x0∈R，ex≤0”；∴命题错误； B、∵x=2且y=1时，x+y=3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题； x22xC、“x+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（）min≥amax在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误； x2D、“若a=-1，则函数f（x）=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x-1有一个零点时， a=-1”，∵f（x）有一个零点时，a=-1或a=0；∴命题错误．故选：B． 【思路点拨】B. A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假； B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假； 2x2xC、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”转化为“（ x）min≥amax在x∈[1，2]上恒成立”； D、写出原命题的逆命题再判定真假．

7.

kPE13131y3|2k1k|.设PD:yk(x1)，由.选A. 1得k1,k20.结合图形可知，k即44444x14k21(x)f(x)ln(1x)x，得f，x， 1x8.【解析】 试题分析：已知当x>0时，所以x0， 1xf(x)ln(1x)x在（0，+）上单调递减， f，(x)731f7f3f1，即cba，故选B.

9.【答案】C 解析：分别以BC，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示平面直角坐标系；

ruuuruuu【思路点拨】根据已知条件可以分别以BC，DA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，而根据已知的边长及角的值可求出向量AD，AC的坐标，根据数量积的坐标运算即

uuuruuur可求出ADAC． 10.【答案】【解析】D 解析：三视图复原的几何体如图， 它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是22，

348282212该几何体的外接球的体积V1=2 ，V2=2121 ，∴V1：V2=:42 ，故选D

3333333330,0根据已知条件可求以下几点坐标：A0,，D，C,0； 22uuuruuur27uuurr33333uuu∴AD0,，；∴ADAC．故选C． AC2,242．.

【思路点拨】判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，由此求出结果．

121(x)24， 11.【答案解析】B ①x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x2-|x|=(x1)212411134在 x=和 x=- 处的切线都是y=-，故②有自公切线．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ= ，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最22455低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于|x|+1=4y2，即 x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为B． 【思路点拨】①x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在 x=11 和 x=-处的切线都是22y=-1，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过4图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④结合图象可得，此曲线没有自公切线． 12.【答案】C

13【答案】40

11解析：令x1则有1a2，得a1，所以二项式为x2xxx214【答案】e2

【解析】

5所以其常数项为223C523C5240所以答案为40.

x2y2试题分析：画出exy0对应的平面区域，如图所示.

0x221221e2e01e22. M(x,y)所在平面区域的面积为exdxSAOBex|00215.4,16【答案】5

18.【答案解析】（1）40（2）

20 49

（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人， ∴6n=，解得n=40， 100200200400600800100100400X P 0 2 7 （2）X=0，1，2 1 4 7 2 1 7 ∴E（X）=1×416261620+2×=，D（X）=×(0-)2+×(1-)2+×(2-)2=． 77777777749【思路点拨】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值． （2）X=0，1，2，求出相应的概率，可得X的分布列并计算E（X），D（X）． 19. （I）证明：取AB的中点O，连接PO,CO，AC

QVAPB为等腰三角形 POAB………………………2分

又Q四边形ABCD是菱形，BCD120

VACB是等边三角形 COAB…………………………4分 

POO AB平面PCO，又PC平面PCO

ABPC ……………………………………6分

又COI

20.

b1(1qn)3(13n)3n133n1332n4*解：(Ⅱ) Tn， (对恒成立，----9分， )k3n6对nN*恒成立， knNn221q1323

21（Ⅰ）由已知可得，点P满足

PBPCAC252BC

x2y2所以，动点P的轨迹C1是一个椭圆，其中2a25，2c2 动点P的轨迹C1的方程为1.

y2txt222222342（Ⅱ）设N(t,t)，则PQ的方程为：yt2t(xt)y2txt，联立方程组x2，消去整理得：(420t)x20tx5t200，……6yy145分

80(420t2t4)0有， 而PQ20t3x1x2420t25t420x1x2420t214t2x1x214t280420t2t4420t2,

12t15点M到PQ的高为h,由SMPQ|PQ|h代入化简得： 214t2551301302即SMPQ；当且仅当t10时，SMPQ可取最大值. (t210)210410410105513111t4ae20tf(x)f()miny4ex3e (II) 当e e时f(x)minf(t)tlnt eee (III) 22【解析】(I)

解析：(Ⅰ)当

a5时

g(x)(x25x3)ex,g(1)e.

g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为g(1)4e.

所以切线方程为:ye4e(x1),即y4ex3e. (Ⅱ)f(x)lnx1,

1时,在区间(t,t2)上f(x)为增函数,所以f(x)minf(t)tlnt e111②当0t时,在区间(t,)上f(x)为减函数,在区间(,e)上f(x)为增函数,

eee ①当t

 所以f(x)minf()(Ⅲ) 由g(x)1e1 e2exf(x)，可得：2xlnxx2ax3，

3, xax2lnxh(x)x2lnx令

23(x3)(x1)3h(x)12xxx, x2 .

113h()3e2,h(1)4,h(e)e2 .eee12h(e)h()42e0.

ee3实数a的取值范围为4ae2 .

e24【答案解析】（1）{xx1或x4}（2）-3a0

（1）当a3时，f(x)3x3x23

x2x32x3或或

3x2x33xx23x3x23x1或x4

（2）原命题f(x)x4在[1,2]上恒成立xa2x4x在[1,2]上恒成立

2xa2x在[1,2]上恒成立3a0

【思路点拨】利用零点分段求出解集，求出最值求出参数a。