乌什县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 已知向量

，

，其中

．则“

”是“

”成立的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2． 已知△ABC是锐角三角形，则点P（cosC﹣sinA，sinA﹣cosB）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3． 若当xR时，函数f(x)a|x|（a0且a1）始终满足f(x)1，则函数y（ ）

loga|x|的图象大致是 x3

【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等． 4． 不等式x（x﹣1）＜2的解集是（ ）

A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x＞1或x＜﹣2} D．{x|x＞2或x＜﹣1} 5． 已知双曲线的方程为A．

6． 如图，空间四边形OABC中，则

等于（ ）

，

，

，点M在OA上，且

，点N为BC中点，

B．

C．

或﹣

=1，则双曲线的离心率为（ ） D．

或

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A． B． C． D．

7． 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）

A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 8． 已知双曲线 A．

B．

（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为

C．

D．

，则双曲线的离心率为（ ）

9． 若fx是定义在,上的偶函数，x1,x20,x1x2，有（ ）

fx2fx10，则

x2x1A．f2f1f3 B．f1f2f3 C．f3f1f2 D．f3f2f1 10．设a=0.5A．c＜b＜a

，b=0.8

，c=log20.5，则a、b、c的大小关系是（ ）

C．a＜b＜c

D．b＜a＜c

B．c＜a＜b

11．圆x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是（ ） A． B．21 C．

21 D．221 212．∃x∈R，x2﹣2x+3＞0的否定是（ ）

A．不存在x∈R，使∃x2﹣2x+3≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+3≤0 C．∀x∈R，x2﹣2x+3≤0 D．∀x∈R，x2﹣2x+3＞0

二、填空题

13．已知a，b是互异的负数，A是a，b的等差中项，G是a，b的等比中项，则A与G的大小关系为 ．

14．已知实数x，y满足，则目标函数z=3y﹣2x的最大值为 ．

15．已知各项都不相等的等差数列an，满足a2n2an3，且a6a1a21，则数列2Sn项中 n12的最大值为_________.

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116．已知两个单位向量a,b满足：ab，向量2ab与的夹角为，则cos . 217．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=5，BC=4，AA1=3，沿该长方体对角面ABC1D1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为 ．

18．设实数x，y满足为 ．

，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，则实数m的最大值

三、解答题

19．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=

，g（x）=

*

，其中n∈N

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及函数g（x）的单调区间；

y=c（Ⅱ）若存在直线l：（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，求n的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）

20．（本小题满分12分）

一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号． （Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；

（Ⅱ）设为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求的分布列与数学期望．

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21．（本小题满分13分）

在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//DC，ABC（Ⅰ）在棱PB上确定一点E，使得CE//平面PAD；

（Ⅱ）若PAPD6，PBPC，求直线PA与平面PBC所成角的大小．

2，AD22，AB3DC3．

PDCA

B

22．已知函数f（x）=alnx﹣x（a＞0）． （Ⅰ）求函数f（x）的最大值；

（Ⅱ）若x∈（0，a），证明：f（a+x）＞f（a﹣x）；

（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f（α）=f（β），且α＜β，证明：α+β＞2α

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23．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣（1）求ω，φ；

（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称点为（

，0），求θ的最小值．

，

]时，方程f（x）=m有两个不等根，求m的取值范围．

＜φ＜

）的部分图象如图所示；

（3）对任意的x∈[

24．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．

（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；

（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表： 18 19 20 21 22 周需求量n 频数 1 2 3 3 1 X表示当周的利润以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，（单位：元），求X的分布列及数学期望．

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乌什县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】若反过来，若

，则，则

或

”成立的充分而不必要条件。

成立；

所以“”是“故答案为：A 2． 【答案】B

【解析】解：∵△ABC是锐角三角形， ∴A+B＞∴A＞

， ﹣B，

﹣B）=cosB，

∴sinA＞sin（

∴sinA﹣cosB＞0， 同理可得sinA﹣cosC＞0， ∴点P在第二象限． 故选：B

3． 【答案】C

|x|【解析】由f(x)a始终满足f(x)1可知a1．由函数yloga|x|是奇函数，排除B；当x(0,1)时，3xloga|x|0，此时y4． 【答案】B

loga|x|0，排除A；当x时，y0，排除D，因此选C． 3x【解析】解：∵x（x﹣1）＜2， ∴x﹣x﹣2＜0，

2

即（x﹣2）（x+1）＜0， ∴﹣1＜x＜2，

即不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}． 故选：B

5． 【答案】C

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【解析】解：双曲线的方程为﹣=1，

222

焦点坐标在x轴时，a=m，b=2m，c=3m，

离心率e=．

222

焦点坐标在y轴时，a=﹣2m，b=﹣m，c=﹣3m，

离心率e=故选：C．

=．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．

6． 【答案】B 【解析】解：又∴故选B．

【点评】本题考查了向量加法的几何意义，是基础题．

7． 【答案】A 【解析】

，

，

．

=，

=

=

；

考

点：斜二测画法． 8． 【答案】A

【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上， ∴设双曲线的方程为

，（a＞0，b＞0）

由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x， 得=，设b=4t，a=3t，则c=∴该双曲线的离心率是e==． 故选A．

=5t（t＞0）

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【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．

9． 【答案】D 10．【答案】B 【解析】解：∵a=0.5∴0＜a＜b， ∵c=log20.5＜0， ∴c＜a＜b， 故选B．

，b=0.8

，

【点评】本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．

11．【答案】B 【解析】

22试题分析：化简为标准形式x1y11，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半径，d11222，半径为1，所以距离的最大值是21，故选B.

考点：直线与圆的位置关系 1 12．【答案】C

22

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，∃x∈R，x﹣2x+3＞0的否定是：∀x∈R，x﹣2x+3≤

0． 故选：C．

二、填空题

13．【答案】 A＜G ． 【解析】解：由题意可得A=

，G=±

，

由基本不等式可得A≥G，当且仅当a=b取等号， 由题意a，b是互异的负数，故A＜G． 故答案是：A＜G．

【点评】本题考查等差中项和等比中项，涉及基本不等式的应用，属基础题．

14．【答案】 9 ．

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【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

化目标函数z=3y﹣2x为由图可知，当直线故答案为：9．

15．【答案】 【解析】

，

过C（0，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值，等于3×3﹣2×0=9．

考

点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．

【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及

a1,an,d,n,Sn五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公

式在解题中起到变量代换作用,而a1,d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 16．【答案】27． 7第 10 页，共 16 页

【解析】

考点：向量的夹角．

【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）

求平面向量的数量积有三种方法：一是定义ababcos；二是坐标运算公式abx1x2y1y2；

三是利用数量积的几何意义．

（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 17．【答案】 114 ．

【解析】解：根据题目要求得出：

当5×3的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为（5×4+5×5+3×4）×2=114． 故答案为：114

【点评】本题考查了空间几何体的性质，运算公式，学生的空间想象能力，属于中档题，难度不大，学会分析判断解决问题．

18．【答案】 6 ．

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【解析】解：∵ =（2x﹣y，m），=（﹣1，1）． 若∥， ∴2x﹣y+m=0， 即y=2x+m，

作出不等式组对应的平面区域如图： 平移直线y=2x+m，

由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大． 由解得

，

，代入2x﹣y+m=0得m=6．

即m的最大值为6． 故答案为：6

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m的几何意义结合数形结合，即可求出m的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，

，

令 f′（x）=0，解得

．

当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示： x 第 12 页，共 16 页

f′（x） f（x） + ↗ 0 ﹣ ↘ 上为单调递增，区间

）=

=

．

上为单调递减．

所以函数f（x）在区间

所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（g′（x）=

，令g′（x）=0，解得x=n．

当x变化时，g′（x）与g（x）的变化如下表所示： x n （0，n） （n，+∞） g′（x） g（x） ﹣ ↘ 0 + ↗ 所以g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+∞）上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=

，

∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧， ∴即e

≥

n+1

，

≥nn﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，

当n=1时，成立， 当n≥2时，设h（n）=

≥lnn，即

，n≥2，

≥0，

则h（n）是减函数，∴继续验证， 当n=2时，3﹣ln2＞0， 当n=3时，2﹣ln3＞0， 当n=4时，

，

当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0， 则n的最大值是4．

【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．

20．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，

22C4C416∴所求概率为P122（6分）

C5C525112C323C2C3C231（Ⅱ）0,1,2, P(0)2，P(1)，，（9分） P(2)C510C525C5210故的分布列为：

 P 0 1 2 3 103 51 10 （10分）

∴E0331412 （12分） 10510521．【答案】

1PB时，CE//平面PAD. 31设F为PA上一点，且PFPA，连结EF、DF、EC，

31那么EF//AB,EFAB.

31∵DC//AB，DCAB，∴EF//DC，EFDC，∴EC//FD．

3又∵CE平面PAD， FD平面PAD，∴CE//平面PAD． （5分）

【解析】解： （Ⅰ）当PE（Ⅱ）设O、G分别为AD、BC的中点，连结OP、OG、PG，

∵PBPC，∴PGBC，易知OGBC，∴BC平面POG，∴BCOP． 又∵PAPD，∴OPAD，∴OP平面ABCD． （8分）

建立空间直角坐标系Oxyz（如图），其中x轴//BC，y轴//AB，则有A(1,1,0),B(1,2,0),

C(1,2,0)．由POPA2AO2(6)2(2)22知P(0,0,2)． （9分）

uur设平面PBC的法向量为n(x,y,z)，PB(1,2,2),CB(2,0,0)

x2y2z0nPB0则 即，取n(0,1,1). 2x0nCB0uuur|APn|3设直线PA与平面PBC所成角为，AP(1,1,2)，则sin|cosAP,n|， |AP||n|2∴，∴直线PB与平面PAD所成角为. （13分）

33第 14 页，共 16 页

zPFEDCOAGByx22．【答案】

，所以x=a．

【解析】解：（Ⅰ）令

易知，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0． 故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）递减． 故f（x）max=f（a）=alna﹣a．

（Ⅱ）令g（x）=f（a﹣x）﹣f（a+x），即g（x）=aln（a﹣x）﹣aln（a+x）+2x． 所以

，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0．

所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a﹣x）． （Ⅲ）依题意得：a＜α＜β，从而a﹣α∈（0，a）．

由（Ⅱ）知，f（2a﹣α）=f[a+（a﹣α）]＞f[a﹣（a﹣α）]=f（α）=f（β）． 又2a﹣α＞a，β＞a．所以2a﹣α＜β，即α+β＞2a．

【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．

23．【答案】

【解析】解：（1）根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣•

=

，

＜φ＜

）的部分图象，可得

求得ω=2．

再根据五点法作图可得2•

+φ=

，求得φ=﹣

，∴f（x）=2sin（2x﹣

）．

）的图

（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）=2sin=2sin（2x+2θ﹣象，

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∵y=g（x）图象的一个对称点为（故θ的最小正值为（3）对任意的x∈[

． ，

，0），∴2•+2θ﹣=kπ，k∈Z，∴θ=﹣，

]时，2x﹣∈[，，

]，sin（2x﹣ ）∈，即f（x）∈，

∵方程f（x）=m有两个不等根，结合函数f（x），x∈[]时的图象可得，1≤m＜2．

24．【答案】

【解析】解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000， 当n≤19时，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000， ∴

．

（ II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400， ∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1， X的分布列为

X 8800 9400 10000 10200 P 0.1 0.2 0.3 0.3 ∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860．

10400 0.1 第 16 页，共 16 页