第01计+芝麻开门+点到成功-跳出题海我有36计之高中数学破题之道+Word版含解析

【计名释义】

七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.

数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.

“点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一

【典例示范】

[例1］如图所示，在矩形ABCD中， AB4， AD2， P为边AB的中点，现将DAP绕直线DP翻转至DA'P处，若M为线段A'C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的正切值为（ ）

A.

11 B. 2 C. D. 4 24【分析】本题是选择题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，题中并没有支出DA'P在几何图形的位置关系，我们就把A与A看作重合即可 【解析】找点----A与A重合，即如图所示

DCMA(A/)PB

PBM即为所求角

因为M,P为中点

所以MPAB 所以tanPBM故答案选A

【例2】将集合{2t2s|0st,且s,tZ}中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形表:

PM1 PB2

则该数表中，从小到大第50个数为__________． 【答案】1040

【强化训练】

x2y21的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，1．如图把椭圆

2516P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.

2．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为

.

【解析】找“点”——动点P、Q的极限点.

如图所示，令A1P = CQ = 0. 即动点P与A1重合，动点Q与C重合.

则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1 . 显然VC—A 1B 1C 113V棱柱.

1 2∴VC—A 1B 1C 1∶VC—AA 1B 1B=于是奇兵天降——答案为2.

13.已知向量OA， OB，满足OA1， OB2， AOB3， M为OAB内一点（包括边界），

OMxOAyOB，若OMBA1，则以下结论一定成立的是（ ）

A.

2122xy2 B. xy C. 1x3y D. xy1 323【答案】B

【 方法点睛】本题主要考查平面向量数量积以及平面向量基本定理、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.

AB的平行线交BC于点Q1， AQ1交 4.．梯形ABCD中AB//CD，对角线AC,BD交于P1，过P1作BD于PAB的平行线交BC于点Q2,2，过P2作

(用a,b,n表示)

.，若ABa,CDb，则PnQn______

ab,nN*, anbPQBQ1PQCQ1PQPQPQPQab,111111111111PQ【解析】由题意得11 11CDBCABBCCDABbaabP2Q2BQ2P2Q2Q1Q2PQPQPQPQab ,2222122221P2Q2abPQBQABBQPQABaa2b111111abab类推可得PnQn

anb【答案】

5．如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，

数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第20行从左至右算第4个数字为_______.

【答案】194.

考点：数列的运用.

【思路点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，q1或q1等.

6．在直角梯形ABCD中， ABAD,DC//AB,ADDC1,AB2， E,F分别为AB,BC的中点，以A为圆心， AD为半径的圆弧DE的中点为P (如图所示).若APEDAF，则的值是__________．

【答案】

32 4【解析】

7．在锐角ABC中， tanA1， D为边BC上的点， ABD与ACD的面积分别为2和4，过D做2DEAB于E， DFAC于F，则DEDF__________．

【答案】16 15【解析】tanA121cosA,sinA, 255因为DEAB， DFAC，所以D,E,A,F四点共圆，即

DEDFDEDFcosA2DEDF| 5111DEAB2,DFAC4,ABACsinA24 222DEDF1632328 ,因此DEDF 1215ABAC3515点睛：(1)向量数量积为一个实数,将向量数量积与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.

(2)以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.

8．如图所示，在正方体ABCDA点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F．给1BC11D1中，出下列命题：

①存在点E，使得AC1//平面BED1F；

②对于任意的点E，平面AC11D平面BED1F； ③存在点E，使得B1D平面BED1F；

④对于任意的点E，四棱锥B1BED1F的体积均不变. 其中正确命题的序号是______．（写出所有正确命题的序号）. 【答案】②④ 【解析】

①E为棱CC1上的中点时，此时F也为棱AA1 上的中点，此时AC满足AC∴①11EF；1//平面BED1F，

正确． ②

B1D平面BED1F，∴不可能存在点E，使得B1D平面BED1F ，∴②错误．

③连结D1B， 则D1B平面AC11D，而B1D平面BED11D平面BED1F，∴平面AC1F，成立，∴③正确．

④

四棱锥B1-BED1F的体积等于VD1BB1FVD1B1BF， 设正方体的棱长为1，∵无论E，F在何点，三角形BB1E的面积为

1111＝ 为定值，三棱锥D1BB1E的高D1C11，保持不变．三角形BB1F的面积为221111＝为定值，三棱锥D1BB1F的高为D1A11，保持不变． 22∴三棱锥D1BB1E和三棱锥D1BB1F体积为定值，

即四棱锥B1BED1F的体积等于VD1BB1FVD1B1BF 为定值，∴④正确． 故答案为：①③④

9．在长方体ABCDA ABBC1,AA点E,F分别为CD,DD1的中点，点G在棱AA11BC11D1中，12，上，若CG//平面AEF，则四棱锥GABCD的外接球的体积为__________． 【答案】3 2P在对角线BD1上，给10．正方体ABCDA1BC11D1中， M,N,Q分别是棱C1D1,A1D1,BC的中点，点

出以下命题：

①当P在线段BD1上运动时，恒有MN//平面APC； ②当P在线段BD1上运动时，恒有AB1平面BPC；

0③过点P且与直线AB1和AC所成的角都为的直线有且只有3条. 6011其中正确命题为__________． 【答案】②③