【名师优卷】2019年江西省高安二中高一数学上学期期中试题A42

高安二中2018—2019上学期高一期中考试

数学(A)试题

考试时间：120分钟 分值：150分

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）

1. 设集合A{x|yx}，B{y|ylgx}，则AB（ ）

A．0, B．0, C．R D．,0

2.设圆x＋y－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C 交于A，B两点，若 |AB|＝23，则直线l的方程为( )

A．3x＋4y－12＝0或x＝0 B．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 3.已知点

A．

，

，C2,1，D3,4，则向量AB在CD方向上的投影为（ ）

D．

2

2

 B．2 C．

24. 已知函数f(x)xlog2x，则不等式f(x1)f(1)0的解集为（ ）

A．(0,2) B．(1,2) C．(0,1)(1,2) D．(1,1)(1,3)

5． 已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，

m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )

A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β 6.已知为锐角，为第二象限角，且cos()则sin(3)( ) A．11,sin()， 221133 B． C．  D． 2222cos10°

7. 4sin80°－＝( )

sin10°

A. 3 B．3 C. 2 D．223

8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

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A．8 B．16 C．24 D．48

9，若方程fxa恰好有三个根，分别为9.设函数fxsin2x x0,48x1,x2,x3 (x1x2x3)，则2x13x2x3的值为（ ）

37 D． 2410. 己知f(x)是定义在R上的增函数，函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，若对

A．

B．

3 4C．

任意的x,yR，不等式f(x26x21)f(y28y)0恒成立，则当x3时，

x2y2的取值范围是（ ）

A． (3,7) B． (9,25) C． (13,49） D． (9,49) 11.已知定义在0,上的函数fx为增函数，且fxffx则f1等于（ ） A. 11， x15151515 B． C. 或 D．5 2222x,x01212.已知函数f(x)2，若方程f(x)bf(x)0有六个相异实根，

4x2x,x0则实数b的取值范围（ ） A．2,0

B．2,1

5C． ,0

4D．,1

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上） 13. 已知向量a,b满足a1,b2,ab1,则 tan_______．

14. 已知函数fx5sinx12cosx，当xx0时，fx有最大值13，则

3，记向量a,b的夹角为，

cosx0= ．

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15. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球的表面积为4，则正方体外接球的

体积为

16. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.下列有关说法中：

①对圆O:x2y21的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；

2②函数fxsinx1是圆O:xy11的一个太极函数；

2ex1③存在圆O，使得fxx是圆O的太极函数；

e12④直线m1x2m1y10所对应的函数一定是圆O:x2y1RR022的太极函数；

所有正确说法的序号是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分) 已知向量 a222,2cos2x0,0,b,， fxa·b,

222函数fx的图象过点B1,2，点B与其相邻的最高点的距离为4.

（Ⅰ）求fx的单调递增区间； （Ⅱ）计算f1f2...f2017。 18.(本小题满分12分) 已知函数fx2sin2x．对任意22cosx5a2x0,， 442不等式fx62a恒成立，求a的取值范围． 19.(本小题满分12分)

如图（1）所示，已知四边形SBCD是由直角SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其

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中SABSDC90，且点A为线段SD的中点，AD2DC1，ABSD，现将

SAB沿AB进行翻折，使得平面SAB平面ABCD，得到的图形如图（2）所示，连接SC，

点E、F分别在线段SB、SC上．

（Ⅰ）证明：BDAF；

（Ⅱ）若三棱锥BACE的体积是四棱锥SABCD体积的

平面ABCD的距离．

20.(本小题满分12分)

2，求点E到 5已知函数fx的定义域为R，值域为0,，且对任意m,nR，都有

fmnn xfmf，

fx1fx1.

（1）求f0的值，并证明x为奇函数；

（2）若x0时， fx1，且f34，判断fx的单调性（不要求证明），并利用判断结果解不等式x

21.(本小题满分12分)

2已知圆M:xy44，点P是直线l:x2y0上的一动点，过点P作圆M的

215. 17切线PA,PB，切点为A,B．

(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；

(2)若PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； (3)求线段AB长度的最小值．

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22.(本小题满分12分)

已知fx为奇函数，gx为偶函数，且fxgx2log21x． （1）求fx及gx的解析式及定义域；

（2）若关于x的不等式f2xm0恒成立，求实数m的取值范围．

（3）如果函数Fx2gx，若函数yF2x13k2x12k有两个零点，求

实数k的取值范围．第 5 页 共 10 页

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高安二中2018—2019上学期高一期中考试

数学(A)参

二、选择题： BABCD BABDC AD 二、填空题： 13. 三、解答题

17.(本小题满分10分) 解：(1)

向量a15 14. 12 15. 36 16. ②④ 1322， 2,2cos2x,b,22fxa·b2222cos2x1cos2x22，

fxmax2,点B1,2为函数fx图象上的一个最高点， 点B与其相邻的最高点

的距离为4， 24,， 24函数fx图象过点B1,2，

1cos22,sin21， ---------------4分

2

02,4， fx1cos2x1sinx，

424由2k22x2k2kZ，得14kx14kkZ，

fx的单调增区间是14k,14kkZ. ---------------7分

(2) 由（1）知fx1sin2x,fx的周期为4，

且f12,f21,f30,f41， f1f2f3f44， 而201745041,f1f2...f2017450422018.

---------------10分

18.(本小题满分12分)

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解: fx1cos2x2cosxsinx5a2sin2x2cosxsinx5a3 2设tsinxcosx，所以sin2xt21，其中t2,2， 设gtt22t5a2，t2,2． ---------------4分

当x0,时，， tsinxcosx2sinx1,2422又gtt22t5a2t15a1在区间1,2上单调递增，

所以gtming115a，从而fxmin15a， ---------------8分 要使不等式fx62a在区间0,上恒成立，只要15a62a， 2解得：a． ---------------12分

19.(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）因为平面SAB平面ABCD，又SAAB，所以SA平面ABCD． 又BD平面ABCD， 所以SABD．

在直角梯形ABCD中，BADADC90，AD2CD1，AB2， 所以tanABDtanCAD531， 又DACBAC90， 2所以ABDBAC90， 即ACBD， 又ACSAA， 所以BD平面SAC．

因为AF平面SAC，所以BDAF. ---------------6分 （Ⅱ）设点E到平面ABCD的距离为h，因为VBAECVEABC，且

VEABC2，

VSABCD5所

VSABCDVEABC1S梯形ABCDSA31SABCh31511522，

121h22即h

11，故点E到平面ABCD的距离为. ---------------12分

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20.(本小题满分12分)

解：（1）解：令mn0，得f0f0f0， ∵fx值域为0,， ∴f01， ∵fx的定义域为R， ∴x的定义域为R， 又∵f0fxfx，

11fx1fx1fxx， ∴x1fx111fxfxx为奇函数. ---------------6分

（2）判断： fx为R上的增函数， x∵f34， ∴16f3f3f6， 又fx为R上的增函数， ∴fx16x6， 故xfx11515fx16， 17fx11715的解集为xx6. ---------------12分 1721.(本小题满分12分)

解： (1)由题意知，圆M的半径r2,M0,4，设P2b,b， ∵PA是圆M的一条切线，∴MAP900， ∴MP02b4b22AMAP4，解得b0,b228， 5∴P0,0或P168,．---------------2分 55(2)设P2b,b，∵MAP900，∴经过A,P,M三点的圆N以MP为直径，其方程为

2b44bb4，---------------4分 xby242222即2xy4bxy4y0，

2第 8 页 共 10 页

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8x2xy40x05由2，解得或， 24xy4y0y4y5∴圆过定点0,4，,84，---------------7分 552222b44bb4(3)因为圆N方程为xby， 24即xy2bxb4y4b0，

222圆M:xy44，即x2y28y120，

2②-①得：圆M与圆N相交弦AB所在直线方程为：

2bxb4y124b0，---------------9分

点M到直线AB的距离d45b8b162，---------------10分

相交弦长即：

AB24d241444125b28b1， 5b55当b4时，AB有最小值11．---------------12分 5

22.(本小题满分12分)

解：（1）因为fx是奇函数，gx是偶函数， 所以fxfx，gxgx，

fxgx2log21x，①

∴令xx代入上式得fxgx2log21x， 即fxgx2log21x，②

联立①②可得，fxlog1xlog1xlog21x1x1， 1xgxlog1xlog1xlog21x21x1． ---------------4分

1x12xx（2）因为fxlog2，所以f2log2，

1x12x12x12x2设t，则，因为fx的定义域为1,1，2x0， t1xxx121212第 9 页 共 10 页

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所以02x1，112x2，

112，， 1011，xx21212即0t1，log2t0，因为关于x的不等式f2xm0恒成立，则mf2x又

max，

f2x0，m0，故m的取值范围为m0,． ---------------8分

（3）Fx1x2，x1,1，12x11，可得x,1， y12x13k2x12k，x,1，

2设t2x10,1，yt23kt2k1，t0,1， ∵当t0,1，yt与y2x1有两个交点， 要使函数yF2x13k2x12k有两个零点，

即使得函数yt23kt2k1在t0,1有一个零点，（t0时x0，y只有一个零点） 即方程t23kt2k10在0,1只有一个实根，且0， 令utt23kt2k1，则使u0u10，即得k1k的取值范围k,21或k0 20,． ---------------12分

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