JESD51-14标准翻译(修改版)

目录

1. 2. 3. 4. 4.1

范围 .................................................................................................................................. 5 参考标准 .......................................................................................................................... 5 专业名词及定义 .............................................................................................................. 5 结壳热阻测试（测试方法） .......................................................................................... 6 瞬态冷却曲线测试（热阻抗ZJC） ............................................................................. 6 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.2

结温测试 ..................................................... 6 瞬态冷却曲线的记录 ........................................... 6 偏移校正 ..................................................... 7 ZθJC曲线 ..................................................... 8 备注 ......................................................... 8

热瞬态测试界面法步骤 ............................................................................................... 9 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6

测试原理 ..................................................... 9 控温热沉 ..................................................... 9 干接触ZθJC曲线的测量 ........................................ 10 加导热胶或油脂的ZθJC曲线测量 ................................ 10 两ZθJC曲线达到稳态后的最小差值 .............................. 10 备注 ........................................................ 11

5 5.1 5.2

热瞬态测试界面法的计算 ............................................................................................ 11 初步评估 ..................................................................................................................... 11 方法1:以ZΘjc曲线分离点计算θJC ............................................................................ 12 5.2.1 5.2.2

确定分离点 .................................................. 12 怎样选择ε值 ............................................... 14

5.2.3 5.3

评估的详细步骤 .............................................. 15

方法2：结构函数法 .................................................................................................. 16 5.3.1 5.3.2

初步评估 .................................................... 16 评估的详细步骤 .............................................. 17

6 7 7.1 7.2 7.3

信息报告 ........................................................................................................................ 18 参考文献 ........................................................................................................................ 19 附件A 时间常数谱和积分结构函数的定义 ............................................................ 19 附件B 从Zth函数获得时间常数谱 ........................................................................ 26 附件C FOSTER与CAUER RC网络模型之间的转换 .............................................. 29

前 言

本文已在JEDEC JC-15关于热性能的会议上作了充分准备。旨在详细规定从半导体的热耗散结到封装外壳表面的一维传热路径下，半导体器件结壳热阻RJC（JC）的可重复性测量方法。一维传热也就是说，热流方向是直线的。但是很明显实际上垂直方向的热扩散是三维传热的。

结壳热阻是半导体器件最重要的热性能参数之一。将半导体器件的表面与高性能的热沉相接触，结壳热阻说明了器件在最理想的冷却条件下热性能的极限。RJC应在器

件的数据手册中给出。RJC值越小热性能越好。

半导体器件结壳热阻RJC（JC）传统的定义是：将器件表面与水冷铜热沉相

接触，直接测量结与壳的温度差，如MIL-883标准[N1]所述。壳温需用热电偶测量，很容易产生误差，测量的结果不具有可重复测量性。原因之一是器件的壳温分布不均匀，热电偶只测得与它相接触位置的壳温，这一点很可能不是壳温的最大值。另外一个原因是读取的壳温值偏低，热电偶不能充分与热沉绝热，热电偶测量点的热量会被热电偶引线和热沉导走。考虑到固定器件与热沉的压力会使分层不明显，可能引起更多的问题。还有一个系统误差是热沉中热电偶钻孔的影响。对于较小的器件，这一影响更明显。

本文详细说明了半导体器件结壳热阻RJC（JC）的测量方法，而且不需要用热

电偶测量壳温。这种方法大大提高了RJC测量的可重复性，同时保证了企业间测量方法的一致性和数据的可比性。

本文是半导体器件热性能JESD51系列标准[N2]的补充，应与JEDED JESD51-1中描述的电学法一同使用。

介绍

结壳热阻JC 是衡量半导体器件从芯片表面到封装表面的热扩散能力的参量，其中封装表面与热沉相接触。JESD51-1将之定义为当半导体器件外壳与热沉良好接触以使其表面温度变化最小时，热源到离芯片峰值区最近的外壳表面的热阻。

MIL833标准中给出的传统热电偶测量方法要求确定结温Tj，壳温Tc以及热耗散功率PH，并且器件外壳与热沉良好接触。结壳热阻采用下式计算：

JCTJTC （1） PH式（1）中JC指的是稳态热阻，因为它是在稳态条件下得到的，并且它取决于热流路径上的结壳温度差。该测量方法的难点在于外壳与热沉紧密接触时，很难用热电偶精确测量封装体的壳温。因此不同的测量设备可能会得到不同的JC值。

与其相反，本文描述的方法在热沉表面采用不同的冷却条件，是仅基于结温的瞬态测试。它无需知道壳温Tc，从而消除了Tc引入的误差。该方法仅仅取决于结温的测量。为保证与热沉良好的热接触也无需很大的压力。

瞬态双界面（TDI）测试原理和过程

t＝0时给半导体器件施加恒定功率PH，同时外壳与热沉良好接触，器件的热阻抗ZJC(t)定义如下：

(2)

即：热阻抗等于结温TJ(t)随时间的变化量除以热耗散功率。即使外壳的冷却条件改变，对热阻抗也没有影响，除非与热沉接触的外壳开始升温。每次测量若接触热阻不同得到的稳态总热阻也不同，因此不同测量下的热阻抗曲线将从外壳表面接触热阻的贡献点开始分离。

瞬态测试法中，接触热阻不同的两次热阻抗测量可确定与热沉接触的外壳表面。两次测量中分离点处的热阻定义为RJC（JC）。

1. 范围

本文详细说明了从半导体的热耗散结到封装外壳表面的一维传热路径下，将半导体器件外壳表面与外部理想热沉相接触，结壳热阻RJC（JC）的测量方法（这里指瞬态双界面法）。

本文中测量的热阻是RJCx（JCx），x表示封装外壳的散热面，通常为上表面

（x=top）或下表面（x=bot）。

2. 参考标准

以下的标准文件在本文中以参考文献的形式出现，组成了本标准的条规。对于注明日期的参考文献，不采用任何补充版或修订版。不过，人们希望参与本标准协议的成员能够研究并采用参考标准的最近版本。对于未注明日期的参考文献，采用最新的版本。

[N1] MIL-STD-883E, METHOD 1012.1, Thermal Characteristics of Integrated Circuits , 4 November 1980 [N2] JESD51, Methodology for the Thermal Measurement of Component Packages (Single Semiconductor Devices) . This is the overview document for this series of specifications.

[N3] JESD51-1, Integrated Circuit Thermal Measurement Method - Electrical Test Method [N4] JESD51-4, Thermal Test Chip Guideline (Wire Bond Type Chip)

[N5] JESD51-12, Guidelines for Reporting and Using Electronic Package Thermal Information

[N6] SEMI Test Method #G43-87, Test Method, Junction-to-Case Thermal Resistance Measurements of Moulded Plastic Packages

[N7] JESD51-13, Glossary of thermal measurement terms and definitions

3. 专业名词及定义

本标准中的专业名词及定义采用[N7] JESD51-13。其他的专业名词及定义已在前文中给出。

4. 结壳热阻测试（测试方法）

4.1 瞬态冷却曲线测试（热阻抗ZJC）

4.1.1 结温测试

按照JESD51-1描述的方法测量待测器件（DUT）结温（TJ）,去掉加热功率PH后采集ZJC曲线（冷却曲线）。测试中温度敏感参数（TSP）不会受到加热电压和加热电流的影响，也不需要控制加热功率的大小。这种测试方法适用于大部分器件及热测试芯片。在测试每个待测器件的ZJC曲线之前都要先确定其K系数，K系数是芯片温度与温度敏感参数之间的关系系数。

原则上不建议采用加热曲线，但如果加热时间内加热功率PH保持恒定，芯片的温度敏感参数不受电子干扰，此方法同样适用。采用加热曲线必须记录结果数据。

4.1.2 瞬态冷却曲线的记录

首先给待测器件（DUT）施加恒定的加热电流IH，使其加热并达到热稳定状态，即芯片结温保持不变。如果在加热过程中，芯片没有的结构进行加热和测试以监测敏感温度参数，结温可以在动态模式下监测（见JESD51-1）或者给器件加热足够长的时间以使结温达到稳定。测试过程中由于待测器件与水冷热沉相接触（见4.2节），大多数情况下100s的加热时间已经足够。控制和调整使器件达到热稳态的加热时间也可通过实验测试完成。

当器件达到热稳态，记录最终的加热电压VH和加热电流IH，切断加热电流或者将电流切换至测试电流IM，这会产生一个很大的功率差ΔPH。通常IM相比于IH很小，可以忽略不计，测试电流IM产生的功率也可忽略不计。但测试原理中要求精确知道功率差ΔPH。也就是说，器件的热功耗若考虑了PM（由IM电流产生的功耗），该方法会更准确。加热功率差ΔPH=PH-PM越大，测试的信噪比越大（SNR），同时得到的热阻（θJC）越精确。

因而，在避免器件过热情况下，加热电流应尽可能大，同时PM应尽可能小，不过较大的IM会减少初始时刻的电子漂移（见4.1.3部分）。t=0时刻的信号可使温度敏感参数（TSP）信号作为时间的函数从t=0开始记录直到冷却稳态。采样率应保证每个时间段内至少采集50个点。

根据待测器件的K系数，将TSP转换为结温TJ(t)。图1给出了一个冷却曲线的例子。切断加热电流，在ZθJC起始阶段不可避免地会受到电子干扰，因而使得开始时刻短时间内测得的信号无效。为了重建t=0时的结温TJ0，需要加一个“偏移校正”，参见N1的说明。

图1 切断加热电流短时间内信号受电子干扰的冷却曲线的半对数图

4.1.3 偏移校正

由于在测试的初始阶段有电子干扰，去掉在一定的切断时间tcut内记录的信号点。这个时间段内的温度变化ΔTJ(tcut)不可忽略。在这段时间内，ΔTJ(tcut)与时间的平方根近似成线性关系，这样就可推导出t=0时的结温TJ0，如图2所示。

对于材质均匀的半无限板（也就是一块表面积无穷大——保证一维热流与该表面垂直——和无穷厚的板），其表面加热功率密度恒定为PH/A（见例[1]），当施加或切断加热功率时，表面温度升高/降低与加热/冷却时间的平方根成线性关系。

T(t)PHkthermt （3） A其中 ktherm2 （4） cc，ρ和λ分别是材料的热容、密度和热导率。短时间内，硅芯片内部可认为是一维的热扩散，并且不受芯片底部边界条件的影响，所以半无限板模型适用于芯片表面的加热或冷却，试验已证明其正确性，如图2所示。所以初始温度TJ0可以通过T(t)与t的关系得到。同时，芯片的面积也可通过方程3与斜率

mTJ(tcut)/tcut求出：

A=P·ktherm/m （5） 这种方法计算得到的芯片面积能够验证修正方法是否合理。 4.1.4 ZθJC曲线

根据冷却曲线T(t)计算ZθJC：

ZJC(t)4.1.5 备注

TJ0TJ(t) （t>tcut） （6）

PH1. 瞬态热阻抗ZJC(t)常用于表征功率半导体器件，记录冷却曲线的测试设备通常可实现。

2. 如果待测器件有的结构可同时加热芯片和检测结温，也可以用加热曲线替代冷却曲线，但是必须保证加热时耗散功率PH保持恒定，其修正方法相同，公式6需作如下改变：

ZJC(t)TJ(t)TJ0 （t>tcut） （7）

PH3. 由于器件温度像电导率和热导率一样与材料属性有关，由冷却曲线和加热曲线分别得到的ZθJC曲线存在微小差异，同样，计算的θJC值也不同。主要原因是加热过程中耗散功率发生微小变化，采用冷却曲线可以避免这个问题。因此，采用加热曲线得到结壳热阻时需说明这一情况。

4.2 热瞬态测试界面法步骤

4.2.1 测试原理

瞬态双界面测试法要求对同一个半导体器件在控温热沉上测量两次ZθJC。第一次测量时器件与冷却台（热沉）直接接触（干接触），第二次测量时器件与热沉之间涂一层很薄的导热胶或油脂，如图3所示。第一次测量时，由于器件与热沉之间的接触面有一定的粗糙度，使得接触热阻增大，所以在某一时刻ts开始ZθJC曲线存在明显的分离，如图4所示。由于热流进入热界面层时，两条ZθJC曲线就开始分离，因此ZθJC（ts）在该点的值接近于方程1定义的稳态热阻θJC。通过ZθJC曲线点可以估算得到θJC。

4.2.2 控温热沉

待测器件应放置在控温热沉上，这样器件的主要散热面（这里指外壳）就与热沉表面接触。为了达到理想的冷却效果，热沉应良好导热，所以热沉必须由铜块组成，冷却液体（通常为水）通入铜块中的钻孔来维持恒温。通冷却液的孔离 上表面的距离最大不能超过2mm。同时，用一个恒温器控制液体温度，测量并在结果中记录液体或冷却板的温度。

给热沉上方的待测器件施加一个适量的压力来固定器件，这个压力应足够大以保证器件外壳与热沉良好地热接触。但是，压力过大会阻碍两条ZθJC曲线分离，这样就很难甚至不能估算器件的结壳热阻。压力过大使曲线不分离也会对θJC造成不期望的影响。因此这个压力应控制在10N/cm2内，例如可以通过弹簧实现。

为了使从被测器件上表面散发出的热达到最小，应使用热导率小于0.5W/(m·K)的塑料做夹杆，夹杆至少5mm厚。图5是一个典型的热沉装置。

4.2.3 干接触ZθJC曲线的测量

第一步：认真清洁器件与热沉的接触面，避免之前测试时残留在器件与热沉表面的导热胶或油脂以及任何微小粒子影响接触热阻，确保实验可进行重复性测量；

第二步：参照4.2.2将待测器件安装在控温热沉上，接触面之间不加任何导热物质；

第三步：参照4.1测量ZθJC曲线； 测出的ZθJC曲线记为ZθJC1

4.2.4 加导热胶或油脂的ZθJC曲线测量

除第二步与4.2.3不同，其他步骤相同：

第二步：将待测器件安装在控温热沉上，在待测器件与热沉之间加一层很薄的导热胶或油脂，确保覆盖整个接触面。

此时测出来的ZθJC曲线记为ZθJC2。

4.2.5 两ZθJC曲线达到稳态后的最小差值

最小差值∆θ=ZθJC1-ZθJC2≥0.5K/W，如图1所示。

从经验上讲，两曲线的差值越小就很难甚至不能找出分离点。这一差值应比分离点的分散度大很多。

4.2.6 备注

传统的结壳热阻θJC测试中，在冷却板安装待测器件的位置上钻个孔置入热电偶。这种冷却板不能用于本标准的测试，除非在安装位置上将钻孔去除。否则，冷却板中的孔会影响到封装半导体内部的热流分布，进而影响结壳热阻测试结果。

5 热瞬态测试界面法的计算

5.1 初步评估

ZθJC1和ZθJC2两曲线在分离点的值ZθJC（ts）不一定等于稳态时的结壳热阻θJC（方程1定义的热阻），原因是在稳态时（需要很长时间）和在瞬态ts时器件内部的热流分布不一样。

对于高热导率芯片粘结层的功率器件，ZθJC（ts）值十分接近稳态的结壳热阻，可作为θJC的一种可靠测量手段。通过有限元仿真分析发现，预期的误差比θJC的定义方程1的内在不确定因素还要小。

如果半导体器件的粘结层（例如热导率低的胶）阻碍热流传导，两条ZθJC曲线就会“过早”分离，也就是ZθJC(ts)< θJC[2]。这种情况下， ZθJC1和ZθJC2两条曲线就需要转换成与其对应的结构函数来确定结壳热阻[3]。关于结构函数在附录A-C中会详细介绍。

结构函数反应了热传导路径上热容的分布，这条路径的坐标由从结开始累积的热阻Rθ∑表示。因此，测量（1）和（2）的结构函数在热流途径改变处（即待测器件外壳表面）开始分离，如图6所示。结构函数的分离点就是θJC的值。 结构函数法原则上适用于一维传热路径下（不考虑芯片粘结层）的所有器件，实际上，当θJC很小时，结构函数法失效[3]。因此，这两种计算方法在一定范围内可以互补：当器件的芯片粘结层为焊料时， ZθJC曲线分离法更适用，当器件的芯片粘结层为胶体时，使用结构函数法更好。

基于上述讨论，计算方法的选择如下：

1. 对于高热导率粘结层（如焊料）的功率半导体器件： 使用方法1：由ZθJC1和ZθJC2曲线的分离点计算（见5.2）。 2. 对于低热导率粘结层（通常为胶）的功率半导体器件： 使用方法2：由相应的结构函数分离点计算（见5.3） 3. 功率半导体器件的粘结层材料未知时： 综合两种方法，取其中较高的热阻值作为θJC值。

对于结壳热阻很小（θJC<1K/W）的器件，方法2通常不可用，而方法1更可靠。

5.2 方法1:以ZΘjc曲线分离点计算θJC

适用于高热导率粘结层（如焊料）的半导体器件（见5.1）

5.2.1 确定分离点

严格来讲，ZΘjc曲线分离点不能很精确的确定，但是在一定时间后曲线间的间隙逐渐变宽（如图7）。因此，更精确确定在时间ts的分离点至关重要。

用ZθJC1和ZθJC2的微分曲线替代原始曲线有以下几个优点： 1. ZθJC微分曲线的分离点通常比原始曲线更容易确定；

2. 修正方法（4.1.3）中潜在的误差对微分曲线的分离点没有影响。 基于以上优点，应用ZθJC的微分曲线确定分离点。设时间对数为z=ln(t)，a(z)表示ZθJC曲线关于z的函数，则有

a(z)= ZθJC(t=exp(z)) z=ln(t) (8)

图11表示t到z的变量转换，a(z)是ZθJC（t）在对数时间坐标下的图。

da/dz 是ZθJC曲线在对数时间坐标下的斜率，da1/dz和da2/dz分别是曲线ZθJC1和ZθJC2的微分。

两条ZθJC曲线在稳态的距离Δθ也会影响到微分曲线的差值Δ(da/dz)= da1/dz-da2/dz。为了将这一影响减至最小，将Δ(da/dz)除以相应的Δθ使其归一化。归一化后的差值曲线以ZθJC2（t）(含导热胶的曲线)的值为横坐标，如图9所示，这样就可以从图中直接得到θJC：

(Zth2(t))(da/dz)(t) （9）

解释：分离点的时间ts是δ（ZθJC2(ts)）的值在小于或等于ε时相对应的最大时间点。

结论：结壳热阻θJC是在分离点处ZθJC2(ts)的值，从图9可以看出，ZθJC2(ts)的值是δ小于或等于ε时的最大值。

5.2.2 怎样选择ε值

上述定义的热阻θJC值是关于ε的函数。为了与传统结壳热阻的定义保持一致，ε的取值应使θJC尽可能接近公式2中定义的稳态热阻。由于半导体器件的实际稳态热阻θJC是一个未知数（没有有效的方法测出其精确值），需通过有限元仿真的方法来确定ε值。

有限元仿真[3]揭示了ε与芯片尺寸及其引线框架几何形状有关。作为一个普遍趋势，θJC小的器件ε值较小，反之ε值较大。

根据不同芯片尺寸及其引线框架几何形状的有限元模拟，下式可计算ε：

ε=0.0045W/K·θJC+0.003 （10）

结壳热阻θJC是δ-曲线与ε-曲线相交点的横坐标值，如图10所示。为了避

免δ-曲线的随机波动造成错误的结果，用一条近似的拟合曲线代替它，例如，拟合成指数曲线

•exp(•ZJC) (11)

利用参数α和β使θJC附近区域的拟合曲线最优化。（见5.2.3，第四步） 5.2.3 评估的详细步骤

假定在第4章节描述的干接触及带胶接触的ZθJC曲线已测量。按照以下步骤计算结壳热阻：

第一步：将测试中的时间坐标（ti，...，tn）转换为对数时间坐标（zi=ln（ti）），最小（最大）对数时间坐标值记为zmin(zmax).

第二步：计算微分曲线da1/dz和da2/dz。将测量点进行分段线性插值计算可以求得，如图11所示。为了求出da1/dz和da2/dz的差值，必须对两条微分曲线在相同的横坐标范围内进行求解，这些坐标值在[zmin,zmax]区间内等间距分布，并且插入的点数不少于100个。

ZθJC-曲线在插值点处的值{a（Zj）}也可用相同的分段线性插值求出 第三步：计算归一化的差值δ=（da1/dz-da2/dz）/Δθ，以ZθJC2（t）(含导热胶的曲线)的值为横坐标绘出δ曲线，如图10所示；

第四步：用指数函数ZJC•exp(•ZJC)拟合δ曲线，使得拟合曲线与δ曲线在[0,x]区间内围住的面积最小。区间右极限x的选取应使δ-曲线的上升部分可以被正确地拟合。

第五步：通过δ-曲线与ε-曲线(方程10)的相交点求出结壳热阻θJC。

5.3 方法2：结构函数法

适用于低热导率粘结层（通常为胶）的半导体器件。（见5.1）

5.3.1 初步评估

热流路径上的积分结构函数CθΣ(RθΣ)即：积分热容CθΣ关于从结点开始沿热流路径的积分热阻RθΣ的函数，如果热流路径基本上是一维的，比如包含有助于散热的金属块或芯片焊盘的半导体器件，结构函数法能够给出相关的热流路径图，从图中可识别器件部分物理结构的热阻。因此两次测量的结构函数曲线在

热流路径发生变化的地方（即待测器件的外壳表面）开始分离。积分结构函数的分离点就是θJC值，如图6所示。

可用专业软件处理ZθJC-曲线得到结构函数，例如，本文提供的TDIM-MASTER[4]。处理过程包括几个步骤（见附件A-C）。这里先简单的介绍下，首先，通过数值反卷积法计算时间常数谱R(z)。

假定z表示对数时间z=ln(t),a(z)为z的单位阶跃响应函数(见5.2.1)，则有

da/dz=R(z)w(z) (12)

其中 w(z)=exp(z-exp(z))

也就是时间常数谱R(z)是通过da(z)/dz与w(z)的反卷积计算求得。通过时间常数谱R(z)的离散化可以得到等效的Foster RC热网络模型，然后将它转换成Cauer RC网络模型。Cauer模型中的积分热容-积分热阻图近似于积分结构函数。时间常数谱离散化越精细，则RC模型的阶数越多，得到的积分结构函数越好。 从数值角度来看，反卷积问题至关重要。数值方法对输入数据中的噪声极其敏感，因此测量时高的信噪比至关重要。由于反卷积计算法的分辨率有限，得到的结构函数与ZθJC-曲线不能完全匹配 [5]。

反卷积计算法的有限分辨率对粘结层为胶的器件影响较小，因为θJC很大，并且结构函数计算的误差几乎与θJC[3]无关。因此对于粘结层为胶的器件，其误差更小。而对于θJC很小的器件，积分结构函数分析法常因数值效应（如模糊的或虚假峰）的干扰而失效（图13）。

5.3.2 评估的详细步骤

假定在第4章节描述的干接触及带胶接触的ZθJC曲线已测量。按照以下步骤计算结壳热阻：

第一步：运用专业软件将ZθJC1和ZθJC2的ZθJC-曲线转换为相应的积分结构函数CθΣ1和CθΣ2[4]。为了得到更好的测量结果，必须有高的信噪比；

第二步：在相同RθΣ范围内对两个结构函数进行插值计算，求得差值ΔCθΣ=CθΣ2-CθΣ1。（图12）；

第三步：差值ΔCθΣ明显上升点为结壳热阻θJC。如果虚假峰点使得θJC难以确定，测量中对器件施加更大的耗散功率提高信噪比SNR；

6 信息报告

所有测试条件和数据计算方法的信息以及测得的结壳热阻，都要完整地记录；参考表1提供的相关热学数据信息。没有热学数据和说明这些信息的报告是毫无意义的。

表1 报告需给出的热相关数据及信息

测量区域 器件标识 器件结构 环境 数据参数和结果 器件标识 测量的数据 参考相关文件 参考相关文件 冷却板 TCP或者TFliuid[℃] 可选：材料、结构、孔离上表面厚度、粘结胶、压力 加热法 例如，基底二极管 TSP（温度敏感参二极管电压 数） 冷却/加热曲线 PH 测试过程 IM 加载功耗 ZΘjc1,ZθJC2 测试电流 ZθJC-曲线 修正 tcut,△TJ(tcut) 条件参数 测量方法 数据计算 计算方法1或2 分离距离 1:Δda/dz 或者2：ΔCθ∑ ε 7 参考文献

7.1 附件A 时间常数谱和积分结构函数的定义

A.1 前言

在过去10年里，人们对半导体封装的动态热性能引入了一个新的表述：结构函数[A1]。附件主要作用是准确定义结构函数，并对标准可能实现的更多的要求给出它的主要特性。

由于结构函数与RC网络理论及其含义密切相关，因此引进时间常数概念，“canonic”代表RC网络单端口，在结构函数中代表时间常数谱。这里定义的RC网络具有以下特征：

1. 网络是线性和无源的； 2. 驱动点行为已知； 3. 假定热流基本上是一维的。 条件说明如下：

线性意味着热阻与热容于其自身的温度。换句话说：热导率和热容都是与温度无关的常数。准确地说，这个理论条件实际上并不成立，但在实际问题中可作为合理的近似。

驱动点的意思是对结构中同一位置加热并测量它的温度响应。

一维热流：除了纵向热流外，还包括更复杂的热扩散，这些热扩散通过一些坐标系变换可等效为迪卡尔坐标系中的纵向热流。这包括圆盘结构中的径向扩散，如功率LED的MCPCB或JEDEC测试板，圆柱形热扩散或锥形热扩散。半导体器件封装通常多个域依次连接在一起，并具有如上描述的散热特性，其热流路径可认为是一维的，只有热流路径的分离存在问题。 当分离点与主驱动点以及寄生热流路径一致，并且寄生路径的总热阻已知时，将可能消除结构函数中寄生路径的影响[A11]。尽管由于不知道寄生热阻的值或者分离点不同于驱动点而不能修正，依然能导出一个等效的物理结构，但是这个物理结构与实际的物理结构不相符。

A.2 热时间常数的概念

为了介绍时间常数概念，首先看一个例子，假设一个小正立方体，四周绝热，将它和一个理想的热沉相接触。在其上表面施加一个单位的功率并均匀地分布在表面上，如图A-1左图所示。这个简单的热模型就是一个一阶RC网络模型，如图A-1右图所示。这可以看作一个简单的半导体封装器件的近似热模型。

在最简单的封装热模型中，含有一个热阻和一个热容。这两个因素是并联连接，如图A-2所示。假如给这个模型施加PH的功率，温度将以指数形式上升：

T(t)PH•Rth•[1exp(t/)] （A1）

其中

Rth•Cth （A2）

式A2为模型的时间常数。

这个模型由时间常数及Rth值来描述其大小，如图A-3所示：

器件的物理结构通常是复杂的，并且具有多个时间常数。因此，以指数函数之和表示器件的温度响应会更精确：

T(t)PH•Rthi•[1exp(t/i)] (A3)

i1nn对Rthi-τi的值可表征器件的结构。将这些数据与网络模型相联系，如图A-4所示。每对Rthi-Cthi（Cthi=τi/Rthi ）对应方程A3中的一组。这一网络模型结构是FOSTER网络的标准形式。

Rth-τi值可用图形表示，如图A-5所示。线条的横坐标值代表时间常数，纵坐标值代表Rth的大小。下图可视为一个离散频谱，该谱给出了网络的响应时间常数和对应的幅值。

这可能使人误以为FOSTER网络模型中的热阻、热容对应于实际的不同物理结构。但FOSTER网络模型包含节点至节点的热容，它没有物理意义，与实际的物理结构不相符。RC单端口网络存在一个等效的模型—CAUER网络。CAUER模型是一个梯形网络，如图A-6所示，这一模型的网络单元能与物理区域很好地对应起来。CAUER模型是结构函数分析热流路径的基础。

FOSTER模型和CAUER模型的RC端口是等效的。两者都是以最少组件描述给定电路行为的最简网络。这两个模型可以相互转换，具体转换的算法见附件C。

假设施加功耗PH=1W，温度响应函数（Zth曲线）即为单位阶跃响应，用a(t)表示：

a(t)Rthi•[1exp(t/i)] （A4）

i1n对于一个实际的离散RC系统-例如热系统-研究的阶数是无限的，离散的热时间常数值被连续的热时间常数谱替换（见图A-7），同时用积分公式描述单位阶跃函数响应函数来替换总和。

a(t)R()•[1exp(t/)]d （A5）

0R(τ)为时间常数谱。 A.3 热阻抗的频域表示

热阻抗可以通过并联的Rth与1/sCth容阻抗（图A-2与图A-3）来计算。也可用时间常数表达热阻抗：

Z(s)Rth•1/sCthRthRth （A6）

Rth1/sCth1sRthCth1s式中s是复频率，令s=jw可得到频域的特性，w是一个小正弦信号的角频率。

在s=-1/τ复频率处存在一个局部奇异函数：|Z|→∞。这种奇异性称为极点。RC电路的极点总是在复s平面的负实轴，在复函数理论中，一个与极点有关的量是残值。 这个残值很容易计算出来：Res= Rth/τ。

系统的热阻抗具有有限个时间常数，其方程类似方程式A6：

Z(s)Rthi （A7） 1si1in图A-5和图A-6a有助于理解上式。FOSTER与CAUER模型（见附件C）之间的转换算法就是基于公式A7。

A.4 时间常数谱的标准定义

图A-7a显示了Rthi-τi对，代表有限阶模型网络。在实际器件和封装的物理结构中，热阻与热容不可分割。任何极小的物体都具有阻性和容性。热容随着材料的热阻而分布；这就是分布式参数网络[A3]。

这种分布式结构可近似为一个具有精细网格的模型网络。将该结构划分为许多个基本单元格，每个单元格的子网络由它自身的热容与相邻单元格间的热阻组成，如图A-8所示（由于实际原因只能以二维显示）。划分的单元格越密集就越接近实际的分布式结构。

这个网络模型包含了大量的时间常数和累积的电容。图A-7a中包含大量的线条，这些线条可以组成连续的时间常数谱如图A-7b所示。

通常，有限长的分布式结构（例如一块给定材料的平板）有无限个离散的时间常数，而无限长的结构（例如从IC芯片至外环境的传热路径）由连续的常数谱组成。

为了准确表达时间常数谱的定义，首先引入一个对数时间坐标：

Zln(t)和ln() （A8）

时间常数函数R(ζ)的定义如下：

R()limRth0与之间的时间常数的总和 （A9）

方程A5及图A-7b中直观表示的时间常数谱，方程A9通过方程A8进行变量转换，给出了它在对数坐标下的标准定义式。其他的数据处理也是基于这一转换（例如图A-9）。t和z分别表示线性时间和对数时间，希腊字母τ和ζ分别表示对应的时间常数。

假如复阻抗Z(s)已知，通过下式可以计算时间常数谱[A2]：

R()1lm(Z(sexp())) （A10）

仿真可以提供精确的Z(s)函数。通过这种方法可以直接得到R(z)谱，从模拟结构中能够产生结构函数和等效的物理模型。由于s的负实轴可能存在极点，运用此方程时需采取措施预防极点。

各种代表性的分布式参数RC网络的理论背景知识的详细信息，参考技术文献：[A1][A2][A7][A8]

A.5 结构函数

时间常数谱R(z) 确定后很容易画出“热流图”（描述沿热流路径分布的热阻与热容的函数）。

这个时间常数谱可认为是分布式热阻网络FOSTER RC模型的扩展，图A-9所示为集总元件的FOSTER模型结构。为了建立集总元件模型，将R(z)划分成若干个长度为z的片段。每个z片段对应于一个并联的RC(RthCth)电路，

RthR(z)/z (A11)

（A12）

及

Cthexp(z)/Rthz越小，Rth-Cth阶数越多，得到的模型就越精确。假如z0，这个函数就转换为具有无限个相连Rth-Cth阶的FOSTER模型。

时间常数谱是连续情况下的FOSTER模型。离散的时间常数谱可以生成FOSTER网络。

虽然FOSTER网络这一数学模型能够正确地表述器件的瞬态行为，但由于它包含的是节至节的热容，它不能描述热结构的特性。实际的热容总是连接到系

统的基准点（该点保持恒定的指定温度）——类似于电气“接地”——因为存储的热能与一个节点的温度成比例，而不是FOSTER模型中所给的两个节点的温度差。适合热结构特性的RC模型是CAUER网络。假如FOSTER模型已知，CAUER网络模型可以通过FOSTER-CAUER转换计算得到，转换方法见附件C。

A.5.1 积分结构函数（Protonotarios-Wing函数）

早在PROTONOTARIOS和WING文章[A4]中就引入了一个函数，这个函数更适合描述非均匀分布的一维RC结构。此函数将积分热容阻

R的函数。

xC转换为积分热

Ccv()A()d0 （A14）

R11d()A()0x （A15）

cv是单位热容，λ是热导率，A(x)是横截面积。曲线的驱动点通常在x=0处，其优势在于更符合器件的真实情况。Protonotarios-Wing函数。

假如将分布式RC结构沿着x轴分成若干个Δx，每个Δx等效为一个串行电

阻与一个并行电容，进而可以得到一个很长的阶梯式CAUER模型。假设Δx→0，CAUER网络的阶数趋于无穷。积分结构函数直接定义了图A-8所示的无限阶CAUER网络。

换句话说：积分结构函数是连续情况下的CAUER模型。离散的积分结构函数可以生成CAUER网络。

C(

R)称为积分结构函数或

A.5.2 实际应用中如何构造积分结构函数？

首先要回答下面的问题：怎样得到积分结构函数？一种近似方法可以满足实际应用。如图A-9所示，集总元件FOSTER模型能从R(z)谱中获得(附件B描述了怎样从Zth曲线获得时间常数谱)。通过 FOSTER—CAUER转换(附件C)，FOSTER模型可转换为阶梯式CAUER模型。如图A-10所示，这个阶梯模型是积分结构函数的离散近似。

半导体封装器件的积分热容幅值变化很大，因此积分结构函数通常以线性—对数坐标表示，如图A-10所示。

A.6 参考文献

7.2 附件B 从Zth函数获得时间常数谱

时间常数谱与热系统的时间响应有着密切的联系，这种联系就是Zth曲线。Zth曲线等价于方程A5中介绍的单位阶跃响应函数，只是要将方程A5中的线性时间坐标换成对数时间坐标。假如用对数时间坐标下的a(z)表示Zth值，则有

a(z)Zth(texp(z))zln(t) （B1）

这个公式可以证明（见参考文献[A1]和[A7]）单位阶跃热响应函数a(z)与时间常数谱R()之间的关系9。

d a(z)dzR()[exp(z0exp(z))]d

（B2）

wz(z)exp[zexp(z)] （B3） 由此式A5为

da(z)R()•wz(z)d （B4） dz0式B4右边可用卷积积分10实现，用符号表示卷积运算，单位阶跃热响应

与热时间常数谱的关系可用下式表示：

da(z)•R(z)wz(z) （B5） dz固定wz(z)函数（见公式B3），a(z)函数(Zth曲线)能够通过测量得到，因此热时间常数谱R(z)可以利用反卷积运算求得。计算公式如下：

•R(z)[1da(z)]wz(z) （B6) dz符号1代表反卷积运算。

各种反卷积算法已成功应用于这一运算中，其中有贝氏反卷积和傅里叶反卷积，傅里叶反卷积也称为频域反卷积，在此将详细介绍这种算法。

对方程B5两边进行傅里叶变换可得：

M()V()•W() （B7）

为广义频率、da/dz,R(z)和w(z)的傅里叶转换分别为M()，V()和W()。值得注意的是不是通常意义上的频率，因为A10方程中的变量z表示的不是时间，而是对数时间。

应用傅里叶卷积方程B5变成一个简单的乘法。通过以上变换，时间常数谱R(z)的计算就相当简单：首先计算V()=M()/W()，然后转换V()至z域：R(z)=F-1(V())。实际上并不是那么简单。

因为总有噪声n(z)叠加在信号da/dz上， “测量”的信号m*(z)如下：

m*(z)dan(z) （B8） dz即使Zth曲线是通过仿真得到，由于数字的有限长数值表示引起的量化误差，使得系统中存在不可忽略的噪声成分。因此，含噪声的信号m*(z)的傅里叶转换为

M*()M()N()V*()•W() （B9）

N()是n(z)的傅里叶转换，则有

（B10）

W()的高频成分非常少，而噪声谱中主要是高频成分。因此，方程B10中分式N()/W()越大，V*()中的噪声越大。图B-1给出了从测量功率谱∣M*(Φ)∣中2获得功率谱∣W(Φ)∣2的一个例子。∣W(Φ)∣2在高频Φ以后迅速消失，而∣M*(Φ)∣2的噪声成分在高频后依然保持在一个常值附近波动。假如不减小v*(Φ)中的噪声，反变换F-1(V*())将得不到理想的时间常数谱。

**V()M()/W()中引入一个滤波函因此，进行反变换前有必要在方程

数F()：

V'()V*()•F()M*()•F()/W() （B11）

这个滤波器不会改变M*()中的低频成分，而且可以极大地减少高频中的

噪声成分，也就是当时，F()≈1，而时，F()≈0。参数0

)0)0称为滤波带宽。

F()由费米-狄拉克函数得到，而且实用性很好

01 （B12） F()exp1函数的形状由两个参数决定：滤波带宽Φ0和波前陡度σ（如图B-2）。滤波带宽Φ0越大，得到的结构函数分辨率越好，但同时也会增加信号中的高频噪声，可能产生对结构函数人为的影响。波前陡度σ的影响更为复杂：如果σ减小，则F()图形变得更陡峭，增加了信号在频率Φ<Φ0范围内的权重，但是减小了信号在频率Φ>Φ0范围内的权重。应该避免过小的σ值，因为过小的σ同样有可能为结构函数带来人为的影响。因此，这两个参数应该在分辨率和噪声之间折衷选取。最优值根据测量数据的信噪比而定。Φ0=0.45和σ=0.05是值得考虑的初始值。

时间常数谱的计算归结为以下几个步骤：

1. 对时间取对数z=ln(t),并计算Zth曲线的微分da/dz； 2. 根据方程B3计算w(z)；

3. 分别计算da/dz和w(z)的傅里叶变换：M*(Φ)和W(Φ)；应使用快速傅里叶算法快速计算这些变换。

4. 根据方程B12计算滤波函数F(Φ)；

V'()V*()•F()M*()•F()/W()

5. 通过计算V’(Φ)的傅里叶逆变换得到时间常数谱R(z)。

7.3 附件C FOSTER与CAUER RC网络模型之间的转换

接下来要讨论的网络类型是线性无源的RC单端口网络，设置以下条件： Zth(w=0)=Rth ，而Zth(w→∞)=0 对于热阻抗以上条件总是适用的。

FOSTER—CAUER模型转换：假设FOSTER模型（见图C-1a）中的Ri、Ci值已知。根据方程A7，网络的复阻抗为

Z(s)Ri （C1）

1sRCi1iin将上式的各部分通分求和，可以得到两个多项式：

n0n1sn2s2...nN1sN1 (C2) Z(s)d0d1sd2s2...dNsNni、di为实数部分的系数。

首先，从Z(s)中提取一个并行热容，假设s→∞，则热容的导纳可以近似为：

Y(s)d1NsC1s （C3） Z(s)nN1因此，提取的热容C1=dN/nN-1。从Y(s)中减去热容的导纳，可以消除sN项：

d0d1sd2s2...dNsNd0d1sd2s2...dNsN1Y(s)Y(s)C1sC1sn0n1sn2s2...nN1sN1n0n1sn2s2...nN1sN1*

（C4）

其次，从Z*(s)中提取串行热阻，假如s→∞，热阻抗可以近似写为：

Z*(s)nN1R1 （C5） d*N1从Z*(s)中减去热阻R1，可以消除sN-1项：

n0n1sn2s2...nN1sN1n0n1sn2s2...nN2sN2Z(s)Z(s)R1R1d0d1sd2s2...dN1sN1d0d1sd2s2...dN1sN1***

(C6)

现在，我们再次得到一个类似于方程B2的热阻抗公式，但是分子和分母都

少了一项。以此类推可以求出C2、R2等因子，按照以上步骤可以计算出梯形网络的每个因子（如图B-1b）。按照这种方法一直计算下去，直到达到Z=0。 CAUER—FOSTER模型转换：假设CAUER模型中Ci、Ri的值已知，则网络的复阻抗为

Z(s)sC1R1111sC21R2... (C7)

上式可由方程C2通过基本转变得到。然后需要计算分母的N个根。si个根是负实数，可求得系统的时间常数RiCi，RiCi=1/│si│.

n0n1sn2s2...nN1sN1Ri （C8）

d2N(d0d1sd2s...dNs)dsssi还要考虑一个实际问题。为了得到良好的结构函数分辨率，应在R(z)函数离

散化中分割更多的△z片段。附件A中图A-9所示的RC阶数可能达到100甚至200个。像这样的大电路的FOSTER—CAUER模型转换存在数值效应问题。 浮动数值的小数部分的长度和范围需要扩展。通常“长双精度型”（通常为10字节）的精度也不够精确。必须使用扩展精度的算法，例如GNU多精度算法库：(http://gmplib.org/).