高中数学三角函数知识点及试题总结

高中数学三角函数知识

点及试题总结

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

高考三角函数

1.特殊角的三角函数值：

sin00=0 cos00=1 tan00=0 1sin30= 23cos300= 23tan300= 302sin45= 22cos450= 2tan450=1 03sin60= 21cos600= 2tan600=3 0sin900=1 cos900=0 tan900无意义 2．角度制与弧度制的互化：36002,1800,

0 300 600 900 1800 2700 3600 3.弧长及扇形面积公式

弧长公式：l.r扇形面积公式:S=l.r

----是圆心角且为弧度制。r-----是扇形半径

124.任意角的三角函数

设是一个任意角，它的终边上一点p（x,y）,r=x2y2 (1)正弦sin=余弦cos=正切tan= (2)各象限的符号：

y +

O —— +

x y —+ O —+ x y —+ O +— yrxryx

sincostan 5.同角三角函数的基本关系：

（1）平方关系：sin2+cos2=1。（2）商数关系：

sin=tan cos（2k,kz）

26.诱导公式：记忆口诀：把k的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank． 2sinsin，coscos，tantan． 3sinsin，coscos，tantan．

4sinsin，coscos，tantan．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

5sincos，cossin． 226sincoscos，sin．

22口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 8、三角函数公式： 两角和与差的三角函数关系 降幂公式：升幂公式： 1cos22·2sin()=sincossincos·1+cos=cos2cos  22倍角公式 sin2=2sin·cos cos2=cos2-sin2 =2cos2-1 =1-2sin2 1cos22·=2·cos()=cossin21-cos cossinsinsin 229．正弦定理： abc2R. sinAsinBsinC 余弦定理： a2b2c22bccosA; b2c2a22cacosB;

c2a2b22abcosC.

111三角形面积定理.SabsinCbcsinAcasinB.

2221．直角三角形中各元素间的关系：

如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；

（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）

abasinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。

ccb2．斜三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 abc2R。 sinAsinBsinC（R为外接圆半径）

（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。 3．三角形的面积公式：

111（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；

222111（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；

222a2sinBsinCb2sinCsinAc2sinAsinB（3）△＝＝＝；

2sin(BC)2sin(CA)2sin(AB)（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）

abc（5）△＝；

4R1（6）△＝s(sa)(sb)(sc)；s(abc)；

2（7）△＝r·s。

4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形

解斜三角形的主要依据是：

设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。 （1）角与角关系：A+B+C=π；

（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－bb； （3）边与角关系： 正弦定理

abc2R（R为外接圆半径）； sinAsinBsinC余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA；

b2c2a2sinAa它们的变形形式有：a=2RsinA，。 ，cosA2bcsinBb5．三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

（1）角的变换

因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－

ABCABCtanC。sincos,cossin；

2222（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r为三角形内切圆半径，p为周长之半。

（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠

B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。

四．【典例解析】 题型1：正、余弦定理

（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC中，ABa，ACb，ab0，SABCa3,b5，则BAC

15，4

（）

A.．30B．150C．1500D．30或1500 答案C

例1．（1）在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形；

（2）在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。

例2．（1）在ABC中，已知a23，c62，B600，求b及A； （2）在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形 解析：（1）∵b2a2c22accosB =(23)2(62)2223(62)cos450 =12(62)243(31) =8 ∴b22.

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2c2a2(22)2(62)2(23)21, 解法一：∵cosA∴A600. 2bc2222(62)（2）由余弦定理的推论得：

b2c2a287.82161.72134.62cosA0.53, 2bc287.8161.7A56020；

c2a2b2134.62161.7287.82cosB 0.8398, 2ca2134.6161.7B32053；

例3．在ABC中，sinAcosA积。

2，AC2，AB3，求tanA的值和ABC的面2又0A180,A4560,A105.

tanAtan(4560)1323, 13SABC11263ACABsinA23(26)。 2244AC

的值等于， cosA

例4．（2009湖南卷文）在锐角ABC中，BC1,B2A,则

AC的取值范围为. 答案2

(2,3)

解析设A,B2.由正弦定理得 由锐角ABC得0290045，

又01803903060，故304523cos， 22例5．（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，

且满足cosA25，ABAC3． 25（I）求ABC的面积；（II）若bc6，求a的值． 解（1）因为cosA25A34，cosA2cos21,sinA，又由ABAC3 252551得bccosA3,bc5，SABCbcsinA2

2（2）对于bc5，又bc6，b5,c1或b1,c5，由余弦定理得

a2b2c22bccosA20，a25

例6．（2009全国卷Ⅰ理）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知

a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC,求b

解法一：在ABC中sinAcosC3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理

a2b2c2b2c2a23c,化简并整理得：2(a2c2)b2.又由已知有:a2ab2bca2c22b4bb2.解得b4或b0(舍）.

例7．ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA2cos值，并求出这个最大值。

解析：由A+B+C=π，得=－，所以有cos=sin。 cosA+2cos=cosA+2sin=1－2sin2+2sin=－2(sin－)2+； 当sin=，即A=时,cosA+2cos取得最大值为。

BC取得最大2例8．（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，

且满足cosA25，ABAC3． 25（I）求ABC的面积；（II）若c1，求a的值． 解（Ⅰ）cosA2cos2A252312()1 255又A(0,)，sinA1cos2A43，而AB.ACAB.AC.cosAbc3，所以55114bc5，所以ABC的面积为：bcsinA52

225（Ⅱ）由（Ⅰ）知bc5，而c1，所以b5 所以ab2c22bccosA2512325

例9．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及

bsinB的值。 c∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。 又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。

b2c2a2bc1在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。

2bc2bc2bsinA在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，

a3bsinBb2sin60∴=sin60°=。 2cac例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tan的值。

ACACtan3tantan2222解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°， 从而

ACAC3.由两角和的正切公式， ＝60°，故tan

22ACtan223。 得

AC1tantan22tan所以tanACACtan33tantan, 2222tanACACtan3tantan3。 2222例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）

A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 答案：C

B.直角三角形 D.等边三角形

解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B

例12．（2009四川卷文）在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为

a、b、c，且sinA（I）求AB的值；

510,sinB 510（II）若ab21，求a、b、c的值。 解（I）∵A、B为锐角，sinA510,sinB 510∴cosA1sin2A∵0AB ∴AB25310,cosB1sin2B 5104

23，∴sinC

24（II）由（I）知C由

abc得 sinAsinBsinC5a10b2c，即a2b,c5b

又∵ab21 ∴2bb21∴b1 ∴a2,c5 21.（2009四川卷文）在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

且sinA510,sinB 510（I）求AB的值；

（II）若ab21，求a、b、c的值。 解（I）∵A、B为锐角，sinA510,sinB 510∴cosA1sin2A∵0AB ∴AB25310,cosB1sin2B 5104

23，∴sinC

24（II）由（I）知C由

abc得 sinAsinBsinC5a10b2c，即a2b,c5b

又∵ab21 ∴2bb21∴b1 ∴a2,c5 五．【思维总结】

1．解斜三角形的常规思维方法是：

（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b； （2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角；

（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；

（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C。 2．三角形内切圆的半径：rabc斜2S，特别地，r直；

2abc3．三角学中的射影定理：在△ABC中，bacosCccosA，… 4．两内角与其正弦值：在△ABC中，ABsinAsinB，…

5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”

1如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）

（A）（B）（C）(D)

2、右图所示的是函数图象的一部分，则其函数解析式是

A．B．C．D．

3、已知函数的最小正周期为，则该函数图象

A．关于直线对称?B．关于点(，0)对称

C．关于点(，0)对称?D．关于直线

对称

4、由函数的图象

A．向左平移个单位?B．向左平移个单位

C．向右平移个单位?D．向右平移个单位

5、若是函数图象的一条对称轴，当取最小正数时?

A．在单调递增?B．在单调递减

C．在单调递减?D．在单调递增

6、函数

函数为奇函数，则

（

的值为（）

）的最小正周期是，若其图像向左平移个单位后得到的

A．B．C．D．

7、（2012年高考（新课标理））已知范围是（ ）

,函数在上单调递减.则的取值

A．B．C．D．

8、（2012年高考（福建文））函数的图像的一条对称轴是（ ）

A．B．C．D．

9、下列命题中的真命题是?

A．函数内单调递增B．函数的最小正周期为2

C．函数的图象是关于点（，0）成中心对称的图形

D．函数的图象是关于直线x=成轴对称的图形

10、已知，则等于

A． ?B． C．5 D．25

的值为

11、已知正六边形ABCDEF的边长为1，则

A．B．C．D．

12、已知平面向量）

C.－2D.－1

，，与垂直，则是（

13、设，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则

的最小值是?

A．2B．4C．6D．8

14、设∠POQ=60°在OP、OQ上分别有动点A，B，若是( )

B．2C．3D．4

·=6，△OAB的重心是G，则||的最小值

15、若是夹角为的单位向量，且，则＝

B.－4C.D.

16、已知圆O的半径为，圆周上两点A、B与原点O恰构成三角形，则向量的数量积是

A．B．C．D．

17、如图，已知点O是边长为1的等边△ABC的中心，则（）

）·（）等于（

A．B．C．D．

18、（2012年高考（大纲文））若函数是偶函数,则（ ）

A．B．C．D．

19、若<0，且<0，则有在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D第四象限

20、函数y=cosx(o≤x≤，且x≠)的图象为

21、在

中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知

求b.

，且

22、已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）已知面积

．

中，角所对的边长分别为，若，，求的

23、已知向量

（I）若,求的值;

（II）记，在，求函数

中，角的对边分别是，且满足

的取值范围。

24、设=3，计算：（1）；（2）。

25、已知向量，

（1）当∥时，求的值；（2）求在

上的值域.

26、已知函数f(x)=

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；

（Ⅱ）若函数f(x)的图像向右平移m(m＞0)个单位后，得到的图像关于原点对称，求实数m的最小值.

27、已知函数

（1）求函数的最小正周期；

（2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

28、函数()的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为,

(1)求函数的解析式;(2)设,则,求的值.

29、已知函数

的最小值为0。

的最小正周期为，且当时，函数

（I）求函数的表达式；

（II）在△ABC，若

的值。

30、设函数

（I）求函数的最小正周期；（II）设函数对任意，有，且当

时，；求函数在上的解析式。

31、已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期和值域；

（Ⅱ）若为第二象限角，且，求

的值．

32、已知两个不共线的向量a,b夹角为，且为正实数。

（1）若垂直，求；

（2）若，求的最小值及对应的x值，并指出向量a与xa－b的位置关系；

（3）若为锐角，对于正实数m，关于x的方程取值范围。

有两个不同的正实数解，且的

33、设△的内角所对边的长分别为

。

，且有

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ)若，，为的中点，求的长。

34、已知函数，。

(1)求函数的最小正周期，并求函数在上的最大值、最小值；

(2)函数的图像经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数的图像

35、已知向量，函数·，

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足域．

，且边b所对的角为，试求的范围及函数的值

36、的值为＿＿＿＿＿＿。

37、设向量⊥,则||=____________.

38、已知平面向量，，则

与的夹角余弦值等于．

39、已知A、B、C的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)、C()，．

(1)若，求角的值；

(2)若，求的值．

1、故选A2、．A3、B4、B5、A6、C7、C19、D20、C 21、

。

8、C9、C10、C11、D12、D13、D14、B 15、C16、C17、D18、

m的取值范围为

33、（Ⅰ）

（II）