2022年一轮复习讲义加练习和答案【集合篇】

【基础性考点知识突破】一、集合的表示方法与性质1．集合中元素的性质集合的概念及运算

集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性．(1)任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素，这是集合的最基本特征．(2)集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素．(3)在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序．2．集合的表示集合的表示有三种方法，分别是列举法、描述法和Venn图法．一般地，表示有限集合常用列举法；表示无限集合常用描述法；描述抽象集合常用Venn图法．正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征．3．元素与集合的关系“属于”或“不属于”，记为“”或“”．二、集合与集合之间的关系1．集合与集合之间的关系(1)包含关系子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB或BA，显然AA，A.(2)相等关系如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，反过来，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素，那么就说集合A等于集合B，记作A=B.对于两个集合A与B，如果AB，同时BA，那么集合A与集合B相等，记作A=B．(3)真子集关系对于两个集合A与B，若AB，且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A⊊B或B⊊A．显然有下面的结论：①对于集合A、B、C，如果AB，BC，则AC；②对于集合A、B、C，如果A⊊B，B⊊C，则AC．2．空集不含任何元素的集合叫做空集，记作．1空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集．3．有限集的子集、真子集的个数关于有限集的子集个数有下列结论：若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集的个数有2个，即2nnnn

C0nCnCn2（个），非空子集的个数有（21）个；真子集的个数有（21）个；非空真子n

集的个数有（22）个，三、集合的交、并、补集的运算1．交集(1)定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，n

A∩B={x|x∈A且x∈B}.(2)性质：A∩A=A；A∩B=B∩A(交换律)；A∩=；(A∩B)A；(A∩B)B；若AB，则A∩B=A．2．并集(1)定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，A∪B={x|x∈A或x∈B}.(2)性质：A∪A=A；A∪B=B∪A(交换律)；A∪=A；A(A∪B)；B(A∪B)；若AB，则A∪B=B．3．补集(1)定义：在研究某一集合问题的过程中，所有集合都是一个给定集合的子集，这个给定的集合就称为全集，记作U．设AU，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在集合U中的补集，记作ðUA，即ðUA={x|x∈U且xA}（如图）．(2)性质：A∪(ðUA)=U；A∩(ðUA)=，ðU(ðUA)=A，ðU=U,ðUU=．4．集合运算中常用的结论(1)ðU(A∩B)=(ðUA)∪(ðUB)，ðU(A∪B)=(ðUA)∩(ðUB)（）(2)ABA∩B=A；ABA∪B=B.1．在处理有关集合的问题时首先确定集合中的元素是点集还是数集，然后明确集合中的元素所满足的条件，理解并正确掌握集合的相关术语及符号表示是解决集合问题的关键．22．判断两集合间的关系①化简集合，从表达式中寻求两集合间的关系；②用列举法表示两集合，从元素中寻求关系．3．根据两集合的关系求参数的方法①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到．【提示】①题目中若有条件BA，则应分B和B两种情况进行讨论．②已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析．③两集合之间的关系与运算可以相互转化，即ABABBABB．4．应当考虑空集的几种情况：在AB，AB，ABA，ABB，都应当考虑到A时的情况．5．要注意表示集合的语言、文字、符号、图形的沟通与转化，对于某些集合运算的问题，文字描述较为抽象，可借助于Venn图及坐标轴，利用几何图形的直观性，以“形”助“数”．同时加强与其他章节的渗透，在复习中要控制难度．考点分类精讲

考点1集合的概念2

2

【例1】(2018全国卷Ⅱ)已知集合A{(x,y)|xy≤3，xZ，yZ}，则A中元素的个数为A．9B．8C．5D．4【例2】已知集合M{a22a3,2a,log2a}，若1M，则实数a的取值集合为A．{0,1}B．{0,2}C．{2}D．{1}3【例3】集合A{0,2,a}，B{1,a}，若AB{0,1,2,4,16}，则a的值为A．0B．1C．2D．42

【例4】若集合A{xR|ax3x20}中只有一个元素，则a＝(A．2

)92B．98C．0D．0或98【例5】(2020全国卷Ⅲ)已知集合A{(x,y)|x,yN,y≥x}，B{(x,y)|xy8}，则AB中元素的个数为()A．2B．3C．4D．6*

考点2集合之间的关系【例6】(2020全国卷Ⅰ)设集合A{x|x4≤0}，B{x|2xa≤0}，且AB{x|

2

2≤x≤1}，则a()A．–4B．–2C．2D．4【例7】设集合A{x|(x3)(xa)0,aR}，B{x|(x1)(x4)0}，则AB的子集个数最多为()A．2B．4C．8D．1【例8】已知集合A{x|xa

1

,cZ}，则A，B，C之间的关系(6A．A=B

1b1c,aZ}，B{x|x,bZ}，C{x|x6232)C．A

CB．AB=CBCD．BC=A

【例9】集合S{a,b,c,d,e}，包含{a,b}的S的子集共有(A．2个B．3个C．5个D．8个).考点3集合的运算【例10】如图所示的Venn图中，若A{x|log2x≤3}，B{x|x11x10≤0}，则阴影部分表示的集合为()B．{x|8≤x≤10}

D．{x|0x1或8x≤0}

2

A．{x|0x1}

C．{x|0x≤1或8≤x≤10}

【例11】(2017全国卷Ⅱ)设集合A{1,2,4}，B{x|x4xm0}．若AB{1}，则B=(A．{1，3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}2

)5【例12】已知集合A{x||x2|≤a}，B{x|x5x4≥0}．若AB，求实数a的取值范围．2

【例13】设全集IR，已知集合M{x|(x3)≤0}，N{x|xx60}．(1)求(ðIM)N；(2)记集合A＝(ðIM)N，已知集合B{x|a1≤x≤5a,aR}，若22

BAA，求实数a的取值范围．考点4集合的综合运用【例14】(2020浙江卷)设集合S，T，SN，TN，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：①对于任意的x，yS，若xy，则xyT；②对于任意的x，yT，若xy，则正确的是()（提示：此题可用特殊值法）B．若S有4个元素，则ST有6个元素D．若S有3个元素，则ST有4个元素**y

S．下列命题xA．若S有4个元素，则ST有7个元素C．若S有3个元素，则ST有5个元素6【例15】(2019年全国Ⅲ卷)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(A．0.5)B．0.6C．0.7D．0.8【例16】(2016北京)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种．【例17】已知P{a|a(1,0)m(0,1),mR}，Q{b|b(1,1)n(1,1),nR}是两个向量集合，则P与Q的交集为()A．{(1,1)}

B．{(1,1)}

C．{(1,0)}

D．{(0,1)}

【例18】某试验班有21个学生参加数学竞赛，17个学生参加物理竞赛，10个学生参加化学竞赛，他们之间既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，问需要预订多少张火车票？7【例19】定义集合运算:ABzzxy,xA,yB．设A1,2，B0,2，则集合AB的所有元素之和为(A．0)B．2C．3D．61．A．2B．2C．1D．2）2．已知集合A{x|x2}，B{32x0}，则（A．AB{x|x}33

B．ABC．AB{x|x}D．ABR22kk,kZ}，集合N{x|x,kZ}，则（3．已知集合M{x|x）4484A．MNB．MNC．NMD．MNM

4．已知集合A{1,}，B{x|mx10,mR}，若ABB，则所有符合条件的实数m组成的集合是（）B．{

2

1

2A．{0，1，2}1

，0，1}2C．{1，2}D．{1，0，1}2）5．已知集合M{x|32xx0}，N{x|xa}，若MNM，则实数a的取值范围是（A．[3，+∞)2

B．(3，+∞)C．(∞，1]D．(∞，1)）6．已知集合A{x|x2019x20180}，B{x|log2xm}，若AB，则整数m的最小值是（A．12B．11C．102

D．17．已知集合A{x|2x1}，B{x|xta,tA}，若AB，则实数a的取值范围是（）

A．(，2]

2

B．[2，3]C．[2，3]D．[3，)

）8．已知集合A{x|x3x10≤0}，B{x|x≥m}，若m≤2，则（A．A⊊BB．B⊊AC．AB

D．ABR

．已知全集UR，集合A{x|x4x3≥0}，B{2,m}，其中mZ，若(ðUA)B，则m

的值为()A．1B．2C．3D．4)2

10．设集合A{0,1,2,3}，B{x|xA,1xA}，则集合B中元素的个数为(A．12

B．22

C．3D．411．已知集合A{(x,y)|xy1}，B{(x,y)|kxy2≤0}，其中x，yR．若AB，则实数k的取值范围是(A．k≥3

)B．k≤3C．3≤k≤3D．k≤3)12．已知集合A{(x,y)|2xy0}，B{(x,y)|xmy10}．若AB，则实数m(A．2B．

1

2C．12D．213．已知集合P{x|4xm≤0}，Q{x|5xn0}，m,nN，且PQN={1，2，3}，则整数对(m,n)的个数为(A．10)B．15C．20D．30)14．已知集合S{a,b,c}中的三个元素是ABC的三边长，那么ABC一定不可能是(A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形)15．已知集合P{0,1}，M{x|xP}，则集合M的子集个数为(A．16B．322

C．8x

D．16．设函数f(x)x4x3，g(x)32，集合M{xR|f(g(x))0}，N{xR|g(x)2}，则MN=(A．(1，+∞)B．(0，1))D．(∞，1)C．(1，1)17．定义差集AB{x|xA,且xB}，现有三个集合A、B、C分别用圆表示，则下列图中阴影部分表示集合C(AB)的为A．B．C．9D．18．以区间(0,m)内的整数(m1，且mN)为分子，以m为分母的分数组成集合A1，其所有元素之和为a1；以区间(0,m)内的整数(m1，且mN)为分子，以m为分母组成不属于A1的分数集合A2，其所有元素之和为a2……以此类推，以区间(0,m)内的整数(m1，且mN)为分子，以m为分母组成不属于集合A1，n

n

2

2

A2，…，An1的分数集合An，其所有元素之和为an，则a1a2a3an=(mn1

A．2mn1B．2mnC．2D．)n2．19．已知集合A{x|log2x1}，B{x|0xc}，若AB，则c的取值范围是20．某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A，B，C，D，E五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是B就行；小张说：B，C，D，E都行；小刘说：除了E之外，其他的都可以．．小李说：我喜欢D，但是只要不是C就行；据此判断，他们四人可以共同看的影片为21．设集合M{x1,x2,x3,x4,x5}．若x1x2x3x4x5，对于M的两个非空子集A

和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法种数共有．22．已知k为合数，且1k100，当k的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为k的“衍生质数”．(1)若k的“衍生质数”为2，则k=；(2)设集合A{P(k)|P(k)为k的“衍生质数”}，B{k|P(k)为k的“衍生质数”}，则集合AB中元素的个数是．101．C【解析】依题意知(2)4a0，解得a1，∴A{1}．∵AÜ{b,b}，∴b1，得b1(b1舍去)，故选C．点拨：由非空集合AÜ{b,b}，知A中有且只有一个元素，故判别式为0，得到集合A，再根据集合中元素的互异性确定实数b的值．【易错点拨】由AÜ{b,b}知b1或b1，若b1，则b1，此时集合{b,b}不满足元素的互异性．2

2

2

2

2

2

2

2

3322(2k4)2n,kZ}{x|x,nZ}，3．B【解析】M{x|x

84842k(2k1)N{x|x或x,kZ}，所以MN．84842．A【解析】∵B{x|x}，∴AB{x|x}，AB{x|x2}．故选A．4．A【解析】因为ABB，所以BA．若B为，则m0；若B，则m10或解得m1或2．综上，m∈{0，1，2}．故选A．5．C【解析】由32xx0，即x2x30，可得1x3，故M{x|1x3}．由MNM可得MN，故a≤1．6．B【解析】由x2019x20180，解得1x2018，故A{x|1x2018}．由log2xm，解得0x2，故B{x|0x2}．由AB，可得2≥2018，解得m≥log22018．因为2

10

m

m

m

2

2

2

1

m10，21024，2112048，所以整数m的最小值为11，故选B．7．C【解析】由题可知t(2,1)，所以xta[a,4a)，所以B{x|a≤x4a}，2

a≤2,

由AB，得解得2≤a≤3，故选C．4a≥1,

8．A【解析】由x3x10≤0，得2≤x≤5，所以A{x|2≤x≤5}．112

而B{x|x≥m}，m≤2，如图所示，可知AÜB．9．B【解析】因为A{x|x4x3≥0}{x|x≥3或x≤1}，所以ðUA(1,3)，因为(ðUA)B，且mZ，所以m2．10．A【解析】若xB，则xA，故x只可能是0，1，2，3，当0∈B时，10=1A；当1B时，1(1)2A；当2B时，1(2)3A；当3B时，2

1(3)4A，所以B{3}，故集合B中元素的个数为1．11．C【解析】根据集合的意义，集合A可以看作坐标平面内的单位圆上的点，集合B可以看作坐标平面内的半平面上的点集，利用数形结合法解决．解法一本题的实质是圆xy1在直线kxy20的上方，直线kxy20是斜率为k且在y

2

2

轴上的截距为2的直线，根据图形可知k[3,3]．解法二根据子集的定义，AB即集合A中的任意一个元素都在集合B中，我们不妨设集合A中的xcos，ysin，说明kcossin≤2对任意恒成立，即k21sin()≤2对任意恒成立，即k1≤2恒成立，解得3≤k≤3．综上，选C．21

．故选C．2mn

13．C【解析】因为P{x|4xm≤0}={x|x≤}，Q{x|5xn0}={x|x}，所以45nm

PQ{x|x≤}．nm

又PQN={1，2，3}，所以0≤1且3≤4，即0≤n5且12≤m16．12．C【解析】因为AB，所以直线2xy0与直线xmy10平行，所以m

由m,nN，可知m的值可以为12，13，14，15，n的值可以为0，1，2，3，4，所以整数对(m,n)的个数为4×5=20．故选C．14．D【解析】因为集合中a，b，c三个元素是互异的，故ABC一定不是等腰三角形，故选D．15．A【解析】由题知M{x|xP}，P{0,1}，则x有如下几种情况：，{0}，{1}，{0，1}，即M={，{0}，{1}，{0，1}}，其包含4个元素，故子集个数为2=16个，选A．124

16．D【解析】由f(g(x))0得[g(x)]4g(x)30，则g(x)1或g(x)3，即321或323．所以x1或xlog35，M{x|x1或xlog35}．由g(x)2得322，即34，所以xlog34，N{x|xlog34}，故MN{x|x1}，选D．17．A【解析】观察选项A，我们就不难发现，它正好表示集合C(AB)．故选A．x

x

x

x

2

12m2112m1

18．B【解析】由题意得a1，a222a1，mmm2mmm

12m31

a333a2a1，3mmm

12mn1所以annnan1an2a2a1，mmmn12mn11n

a1a2annn[12(m1)]nnmmmm1(mn1)(1mn1)mn1

．故选B．n

m2219．[2，+∞)【解析】由题知，A{x|log2x1}{x|0x2}．因为AB，所以c≥2，即c的取值范围是[2，+∞)．20．D【解析】小赵可以看的电影的集合为{A，C，D，E}，小张可以看的电影的集合为{B，C，D，E}，小李可以看的电影的集合为{A，B，D，E}，小刘可以看的电影的集合为{A，B，C，D}，这四个集合的交集中只有元素D，故填D．21．49【解析】分四类：(1)A中仅含有x1时，B可以是{x2,x3,x4,x5}的任意一个非空子集，共有15种；(2)A中含有x2时，集合A可能有2个，此时，集合B可以是{x3,x4,x5}的任意一个非空子集，有7个，此类中符合要求的共有2×7=14(种)；(3)A中含有x3时，集合A可能有4个，此时，集合B可以是{x4,x5}的任意一个非空子集，有3个，此类中符合要求的共有4×3=12(种)；(4)A中含有x4时，集合A可能有8个，此时，集合B只能是{x5}，此类中符合要求的共有8×1=8(种)．综上，不同的选择方法共有15+14+12+8=49(种)．1322．20；30【解析】(1)依题设k10ab(aN，bN)，则ab2，又aN，bN，则a2，b0，故k20；(2)由(1)知“衍生质数”为2的合数有20，同理可推“衍生质数”为3的合数有12，21，30，“衍生质数”为5的合数有14，32，50，“衍生质数”为7的合数有16，25，34，52，70，“衍生质数”为11的合数有38，56，65，74，92，“衍生质数”为13的合数有49，58，76，85，94，“衍生质数”为17的合数有98，所以集合A有7个元素，集合B有23个元素，故集合AB中有30个元素．**

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