竞赛模拟试题

1. 讨论函数f(x)[x]sinx在(,)的可导性. (其中[x]为取整函数)

2. 设f(x)在[0,1]上可导，f(0)0,f(x)在(0,1)内取得最大值2，在

(0,1)内取得最小值

m，证明：（1）使f()'（2）(0,1)，2；(0,1)，

使f\")4. 3. 设(x)x(1x)x1x(0x1),

（1）求(x)的最小值； （2）求(00)与(10)；

11（3）设1r1，证明方程(x)r在区间与区间0,,1中

222分别都有唯一解.

x2y2z24. 1)过椭球面2221上位于第一卦限的点

abcM作切平面，

它与Ox、Oy、Oz轴的截点分别为（A，O，O），（O，B，O），（O，O，C）。试求A+B+C为最小时M点的坐标。

2)设椭球体的密度函数P(x,y,z)与该点(x,y,z)到xoy平面的距离成正比，求它在第一卦限内的质量。

5. 设f(x)定义在[0,)内，函数值f(x)为x到2k(k0,1,2,)的最小距离，求证：

（1）f(x)是连续函数；

1

（2）f(x)是周期为2的周期函数； （3）求10f(nx)dx的值(n1,2,)。

6．证明: x2y24exy2,x0,y0成立.

7. 设an0,(n1,2,)，且an收敛，rnk.试证:

n1akn 1) an发散;2) n1ran收敛.

nn1rn

高等数学竞赛模拟试题（三）

1、设x111,xn0min{x,xn1}dx,(n2,3,)，证明limnxn存在，并求

2

limnxn。

2、设

x|y|,x2y2022f(x,y)xy试问f(x,y)在点(0,

x2y200,0)是否连续？

偏导数是否存在？是否可微？说明理由。

3. 曲线yx(tx)(t0)与x轴交于原点O和点A，且曲线在点A的切线交于y轴于B，AB为由点A至点B的直线段，求t的值，使曲线积分

IAB(sinyy1)dx[cosyln(x1)x1]dy最小。 x1

4、设参数R,P(t)为m次实系数多项式，函数x(t),y(t)分别满

m足以下微分方程：

d2x（1）23dx2xPm(t)etsint;dtdt(B)dy2yx2(t)f(x) dt（1）当满足什么条件时，对方程（A）的任意解x(t)有

tlimx(t)0；

（2）当满足什么条件时，对方程（B）的任意解y(t)有

tlimy(t)0。

5、设函数xf(u,v),yg(u,v)满足方程fugfg,，又函数vvu2w2w证明：函数ww[f(u,v),g(u,v)]满足方ww(x,y)满足方程220，

xy程

2w2w0 u2v26、证明(xyz3a)3dS108a5,(a0),其中：(xa)2(ya)2(za)2a2.

7、一无盖圆柱形容器，高为h米，底面半径为r米（h2r），

3

当容器的底平面倾斜与水平面成角支撑时，试问该容器可

4贮存多少立方米的水？

高等数学竞赛模拟试题（四）

1. 若m为常数且对任何正数x有

mx2 mxxln(1x)1x2求证 2. 设

uf(x2y2)1m. 2有连续的二阶导数，且满足方程：

u.

2u2u2x2y2，求函数2xy3. 设曲面是锥面xy2z2与两球面x2y2z21,x2y2z22

所围立体表面的外侧,计算曲面积分

333xdydz(yf(yz))dzdx(zf(yz))dxdy其中f(u)是连续可微的奇函数. 4.设函数(x)在(,)连续，周期为1，且在[0,1]上有连续导数，设an1010(x)dx0，函数f(x)2收敛. f(x)(nx)dx，求证：级数ann15. 设annn0x|sinx|dx，求证：(1)n1n1an收敛，并求其和.

6. 设函数fx在闭区间0,上连续并且单调减少, 求证:

2fxsinxdxfxcosxdx.

2020 4

7. 试求内接于定圆的三角形中面积最大者。

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